2022高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題9 概率與統(tǒng)計 第2講 綜合大題部分真題押題精練 文 1. (2018·高考全國卷Ⅰ)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下： 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用水量 [0，0．1) [0.1，0．2) [0.2，0．3) [0.3，0．4) [0.4，0．5) [0.5，0．6) [0.6，0．7) 頻數(shù) 1 3 2 4 9 26 5 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1，0．2) [0.2，0．3) [0.3，0．4) [0.4，0．5) [0.5，0．6) 頻數(shù) 1 5 13 10 16 5 (1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖； (2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率； (3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表) 解析：(1)如圖所示． (2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35 m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48， 因此該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率的估計值為0.48. (3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48. 該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為 2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 估計使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)． 2．(2018·高考全國卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖． 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； (2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． 解析：(1)利用模型①，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)． 利用模型②，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為＝99＋17.5×9＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： (ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． (ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①看到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． (說明：以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可．) 3．(2018·高考全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由． (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2＝， 解析：(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： ①由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． ②由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． ③由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． ④由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可．) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 1. 某工廠每日生產(chǎn)一種產(chǎn)品x(x≥1)噸，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日銷售完畢，日銷售額為y萬元，產(chǎn)品價格隨著產(chǎn)量變化而有所變化，經(jīng)過一段時間的產(chǎn)銷，得到了x，y的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 日產(chǎn)量x 1 2 3 4 5 日銷售額y 5 12 16 19 21 (1)請判斷＝x＋與＝ln x＋中，哪個模型更適合刻畫x，y之間的關(guān)系？可從函數(shù)增長趨勢方面給出簡單的理由； (2)根據(jù)你的判斷及下面的數(shù)據(jù)和公式，求出y關(guān)于x的回歸方程，并估計當(dāng)日產(chǎn)量x＝6時，日銷售額是多少？ 附：≈0.96，(ln 1)2＋(ln 2)2＋(ln 3)2＋(ln 4)2＋(ln 5)2≈6.2,5ln 1＋12ln 2＋16ln 3＋19ln 4＋21ln 5≈86，ln 6≈1.8. 線性回歸方程＝x＋中， ＝，＝－·. 解析：(1)＝ln x＋更適合刻畫x，y之間的關(guān)系， 理由如下： x值每增加1，函數(shù)值的增加量分別為7,4,3,2，增加得越來越緩慢，適合對數(shù)型函數(shù)的增長規(guī)律，與直線型函數(shù)的均勻增長存在較大差異，故＝ln x＋更適合刻畫x，y之間的關(guān)系． (2)令zi＝ln xi，計算知y＝＝＝14.6. 所以＝≈＝10， ＝y(tǒng)－d·≈14.6－10×0.96＝5，所以所求的回歸方程為＝10ln x＋5. 當(dāng)x＝6時，銷售額為＝10ln 6＋5≈23(萬元)． 2．根據(jù)《大氣污染防治工作方案》，要多措并舉強化冬季大氣污染防治，全面降低區(qū)城污染排放負荷，方案涉及北京、天津兩座城市及周邊26座城市，共計28座城市，同時中央指出嚴抓環(huán)保，更要保障民生．就上述區(qū)城的100戶(隨機抽取)農(nóng)村居民取暖“煤改氣”后增加的費用(單元：元)對居民生活的影響程度，有關(guān)部門進行了調(diào)研，統(tǒng)計結(jié)果如下： “煤改氣”后 增加的費用 [0， 50) [50， 100) [100， 150) [150， 200) [200， 300) [300， 500] 對生活的 影響程度 沒有 影響 稍有 影響 較小 影響 較大 影響 很大 影響 嚴重 影響 居民戶數(shù) 7 16 16 24 19 18 (1)若本次抽取的樣本中有80戶居民屬于除北京、天津兩座城市之外的周邊26座城市，這其中有10戶居民認為“煤改氣”增加的費用對其生活有嚴重影響(其他情況均為非嚴重影響程度)，根據(jù)提供的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否至少有99%的把握認為“煤改氣”對居民生活造成嚴重影響與所在城市有關(guān)； 非嚴重影響戶數(shù) 嚴重影響戶數(shù) 總計 “北京、天津2座城市”戶數(shù) “周邊26座城市”戶數(shù) 總計100 (2)將頻率視為概率，政府決定對實施“煤改氣”的居民進行補貼，把受到嚴重影響的居民定義為“A類戶”，其余居民定義為“B類戶”，B類戶每戶補貼x(x>1)萬元，A類戶每戶補貼x2萬元，若所有居民的戶均補貼不超過2.36萬元，那么“B類戶”每戶最多補貼多少錢？ 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解析：(1)根據(jù)題中的數(shù)據(jù)補全的2×2列聯(lián)表如下： 非嚴重影響戶數(shù) 嚴重影響戶數(shù) 總計 “北京、天津2座城市”戶數(shù) 12 8 20 “周邊26座城市”戶數(shù) 70 10 80 總計 82 18 100 所以K2的觀測值 k＝≈8.198>6.635， 所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“‘煤改氣’對居民生活造成嚴重影響與所在城市有關(guān)”，即有99%的把握認為“‘煤改氣’對居民生活造成嚴重影響與所在城市有關(guān)”． (2)將頻率視為概率，由(1)可知，“A類戶”的概率為＝0.18. “B類戶”的概率為＝0.82. 記居民的戶均補貼為y萬元，則y＝0.82x＋0.18x2， 由題意可得 解得1<x≤2.所以“B類戶”每戶最多補貼2萬元． 3．2017年全國兩會繼續(xù)關(guān)注了鄉(xiāng)村教師的發(fā)展問題，隨著城鄉(xiāng)發(fā)展失衡，鄉(xiāng)村教師的待遇得不到保障，鄉(xiāng)村教師流失現(xiàn)象嚴重，教師短缺會嚴重影響鄉(xiāng)村孩子的教育問題，為此，某市今年要為某所鄉(xiāng)村中學(xué)儲備招聘未來三年的教師，現(xiàn)在每招聘一名教師需要2萬元，若三年后教師嚴重短缺時再進行招聘，由于各種因素，則每招聘一名教師需要5萬元，已知現(xiàn)在該鄉(xiāng)村中學(xué)無多余教師，為決策應(yīng)儲備招聘多少名鄉(xiāng)村教師，該鄉(xiāng)村中學(xué)的工作人員搜集并整理了該市100所鄉(xiāng)村中學(xué)在過去三年內(nèi)流失的教師數(shù)，得到的條形圖如圖所示，x表示一所鄉(xiāng)村中學(xué)在未來三年內(nèi)流失的教師數(shù)(單位：名)，y表示未來四年內(nèi)一所鄉(xiāng)村中學(xué)在儲備招聘教師上所需的費用(單位：萬元)，n表示今年為該鄉(xiāng)村中學(xué)儲備招聘的教師數(shù)，為保障鄉(xiāng)村孩子的教育不受影響，若未來三年內(nèi)教師有短缺，則第四年馬上招聘． (1)若n＝19，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式； (2)若要求“三年內(nèi)流失的教師數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值； (3)假設(shè)今年該市為這100所鄉(xiāng)村中學(xué)的每一所都招聘了19名教師或20名教師，分別計算該市未來四年內(nèi)為這100所鄉(xiāng)村中學(xué)儲備招聘教師所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，今年該鄉(xiāng)村中學(xué)應(yīng)招聘19名還是20名教師？ 解析：(1)當(dāng)x≤19時，y＝19×2＝38； 當(dāng)x>19時，y＝38＋5(x－19)＝5x－57， 所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 y＝(x∈N)． (2)由條形統(tǒng)計圖知，三年內(nèi)流失的教師數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19. (3)若每所鄉(xiāng)村中學(xué)在今年都招聘19名教師，則未來四年內(nèi)這100所鄉(xiāng)村中學(xué)中有70所在儲備招聘教師上所需的費用為38萬元，20所在儲備招聘教師上所需的費用為43萬元，10所在儲備招聘教師上所需的費用為48萬元，因此未來四年內(nèi)這100所鄉(xiāng)村中學(xué)在儲備招聘教師上所需費用的平均數(shù)為×(38×70＋43×20＋48×10)＝40(萬元)． 若每所鄉(xiāng)村中學(xué)在今年都招聘20名教師，則這100所鄉(xiāng)村中學(xué)中有90所在儲備招聘教師上所需的費用為40萬元，10所在儲備招聘教師上所需的費用為45萬元，因此未來四年內(nèi)這100所鄉(xiāng)村中學(xué)在儲備招聘教師上所需費用的平均數(shù)為×(40×90＋45×10)＝40.5(萬元)． 比較兩個平均數(shù)可知，今年應(yīng)為該鄉(xiāng)村中學(xué)招聘19名教師．