2．2.1　綜合法和分析法 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解綜合法、分析法的意義，掌握綜合法、分析法的思維特點(diǎn).2.會用綜合法、分析法解決問題． 知識點(diǎn)一　綜合法 思考　閱讀下列證明過程，總結(jié)此證明方法有何特點(diǎn)？ 已知a，b>0，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 證明：因?yàn)閎2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因?yàn)閏2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 答案　利用已知條件a>0，b>0和重要不等式，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論． 梳理　(1)定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． (2)綜合法的框圖表示 ―→―→―→…―→ (P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論) 知識點(diǎn)二　分析法 思考　閱讀證明基本不等式的過程，試分析證明過程有何特點(diǎn)？ 已知a，b>0，求證：≥. 證明：要證≥， 只需證a＋b≥2， 只需證a＋b－2≥0， 只需證(－)2≥0， 因?yàn)?－)2≥0顯然成立，所以原不等式成立． 答案　從結(jié)論出發(fā)開始證明，尋找使證明結(jié)論成立的充分條件，最終把要證明的結(jié)論變成一個(gè)明顯成立的條件． 梳理　(1)定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法． (2)分析法的框圖表示 ―→―→―→…―→ 1．綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法．(　×　) 2．分析法就是從結(jié)論推向已知．(　×　) 3．分析法與綜合法證明同一問題時(shí)，一般思路恰好相反，過程相逆．(　√　) 類型一　綜合法的應(yīng)用 例1　在△ABC中，三邊a，b，c成等比數(shù)列．求證：acos2＋ccos2≥b. 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問題 證明　因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac. 因?yàn)樽筮叄剑? ＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A) ＝(a＋c)＋ ＝(a＋c)＋b≥＋ ＝b＋＝b＝右邊， 所以acos2＋ccos2≥b. 反思與感悟　綜合法證明問題的步驟 跟蹤訓(xùn)練1　已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)． 求證：＋＋>3. 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問題 證明　因?yàn)椋? ＝＋＋＋＋＋－3， 又a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)， 而＋≥2，＋≥2，＋≥2， 且上述三式等號不能同時(shí)成立， 所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3， 即＋＋>3. 類型二　分析法的應(yīng)用 例2　設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求證：≥(a＋b)． 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　分析法解決不等式問題 證明　當(dāng)a＋b≤0時(shí)，∵≥0， ∴≥(a＋b)成立． 當(dāng)a＋b>0時(shí)，用分析法證明如下： 要證≥(a＋b)， 只需證()2≥2， 即證a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab對一切實(shí)數(shù)恒成立， ∴≥(a＋b)成立． 綜上所述，不等式得證． 反思與感悟　分析法格式與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件、已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等)．這種證明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的．它的常見書寫表達(dá)式是“要證……只需……”或“?”． 跟蹤訓(xùn)練2　已知非零向量a，b，且a⊥b， 求證：≤. 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　分析法解決不等式問題 證明　a⊥b?a·b＝0，要證≤， 只需證|a|＋|b|≤|a＋b|， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即證(|a|－|b|)2≥0， 上式顯然成立，故原不等式得證． 類型三　分析法與綜合法的綜合應(yīng)用 例3　△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對邊分別為a，b，c.求證：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. 考點(diǎn)　分析法和綜合法的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　分析法和綜合法的綜合應(yīng)用 證明　要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1， 即證＋＝， 即證＋＝3， 即證＋＝1. 即證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 即證c2＋a2＝ac＋b2. 因?yàn)椤鰽BC三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°. 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac. 所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命題得證． 引申探究　 本例改為求證>. 證明　要證>， 只需證a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c， 即證a＋b>c. 而a＋b>c顯然成立， 所以>. 反思與感悟　綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因，因此在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程． 跟蹤訓(xùn)練3　已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1. 求證：logx＋logx＋logx<logxa＋logxb＋logxc. 考點(diǎn)　分析法和綜合法的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　分析法和綜合法的綜合應(yīng)用 證明　要證logx＋logx＋logx<logxa＋logxb＋logxc， 只需證 logx<logx(abc)， 由已知0<x<1，只需證 ··>abc， 由公式≥>0，≥>0，≥>0. 又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)， ∴··>＝abc. 即··>abc成立． ∴l(xiāng)ogx＋logx＋logx<logxa＋logxb＋logxc成立. 1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的證明過程為：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，其應(yīng)用了(　　) A．分析法 B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用 D．類比法 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決三角形問題 答案　B 2．設(shè)0<x<1，則a＝，b＝x＋1，c＝中最大的是(　　) A．a(chǎn) B．b C．c D．隨x取值不同而不同 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問題 答案　C 解析　∵0<x<1，∴b＝x＋1>2>＝a， ∵－(x＋1)＝＝>0，∴c>b>a. 3．要證－<－成立，只需證(　　) A．(－)2<(－)2 B．(－)2<(－)2 C．(＋)2<(＋)2 D．(－－)2<(－)2 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　尋找結(jié)論成立的充分條件 答案　C 解析　根據(jù)不等式性質(zhì)，當(dāng)a>b>0時(shí)，才有a2>b2， 只需證＋<＋， 即證(＋)2<(＋)2. 4．已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且a2＋b2－c2＝ab，則角C的值為________． 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決三角形問題 答案　 解析　cos C＝＝＝， ∵0<C<π，∴C＝. 5．已知a，b，c都為正實(shí)數(shù)，求證：≥. 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　分析法解決不等式問題 證明　要證≥， 只需證≥2， 只需證3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca， 只需證2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca， 只需證(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而這是顯然成立的， 所以≥成立． 1．綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?；分析法是從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因． 2．分析法證題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“要證”、“只需證”、“即證”等詞語． 3．在解題時(shí)，往往把綜合法和分析法結(jié)合起來使用． 一、選擇題 1．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式xy>1，x＋y≥0，則(　　) A．x>0，y>0 B．x<0，y<0 C．x>0，y<0 D．x<0，y>0 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問題 答案　A 解析　由得 2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證(　　) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a(chǎn)2＋b2－1－≤0 C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　尋找結(jié)論成立的充分條件 答案　D 解析　要證a2＋b2－1－a2b2≤0， 只需證a2b2－(a2＋b2)＋1≥0， 即證(a2－1)(b2－1)≥0. 3．在非等邊三角形ABC中，A為鈍角，則三邊a，b，c滿足的條件是(　　) A．b2＋c2≥a2 B．b2＋c2>a2 C．b2＋c2≤a2 D．b2＋c2<a2 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決三角形問題 答案　D 解析　由余弦定理的推論，得cos A＝， ∵A為鈍角，∴cos A<0，則b2＋c2<a2. 4．A，B為△ABC的內(nèi)角，A>B是sin A>sin B的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決三角形問題 答案　C 解析　由正弦定理得＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)， 又A，B為三角形的內(nèi)角， ∴sin A>0，sin B>0， ∴sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B. 5．設(shè)a，b>0，且a≠b，a＋b＝2，則必有(　　) A．1≤ab≤ B．a(chǎn)b<1< C．a(chǎn)b<<1 D.<ab<1 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問題 答案　B 解析　因?yàn)閍≠b，故>ab， 又因?yàn)閍＋b＝2>2， 故ab<1，＝＝2－ab>1， 即>1>ab. 6．若a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決函數(shù)問題 答案　C 解析　利用函數(shù)單調(diào)性． 設(shè)f(x)＝，則f′(x)＝， ∴當(dāng)0<x<e時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減． 又a＝，∴b>a>c. 7．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒為負(fù) B．恒等于零 C．恒為正 D．無法確定正負(fù) 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決函數(shù)問題 答案　A 解析　由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的減函數(shù)． 由x1＋x2>0，可知x1>－x2， 所以f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)， 所以f(x1)＋f(x2)<0. 二、填空題 8．命題“函數(shù)f(x)＝x－xln x在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程為“對函數(shù)f(x)＝x－xln x取導(dǎo)得f′(x)＝－ln x，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＝－ln x>0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了________的證明方法． 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決函數(shù)問題 答案　綜合法 9．如果a＋b>a＋b，則正數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是________． 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　尋找結(jié)論成立的充分條件 答案　a≠b 解析　∵a＋b－(a＋b) ＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b) ＝(－)2(＋)． ∴只要a≠b，就有a＋b>a＋b. 10．設(shè)a＝，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關(guān)系為________． 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問題 答案　a>c>b 解析　∵a2－c2＝2－(8－4)＝4－6 ＝－>0，a>0，c>0，∴a>c. ∵c>0，b>0，＝＝>1， ∴c>b.∴a>c>b. 11．比較大?。涸O(shè)a>0，b>0，則lg(1＋)____________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問題 答案　≤ 解析　∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b) ＝2－(a＋b)≤0， ∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)， 則lg(1＋)2≤lg(1＋a)(1＋b)， 即lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 12.如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件________時(shí)，有A1C⊥B1D1(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮所有可能的情形)． 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　尋找結(jié)論成立的充分條件 答案　對角線互相垂直(答案不唯一) 解析　要證A1C⊥B1D1， 只需證B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1， 因?yàn)樵撍睦庵鶠橹彼睦庵?，所以B1D1⊥CC1， 故只需證B1D1⊥A1C1即可． 三、解答題 13．已知a>0，求證：－≥a＋－2. 考點(diǎn)　分析法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用分析法解決不等式問題 證明　要證－≥a＋－2， 只需證＋2≥a＋＋. 因?yàn)閍>0， 所以只需證2≥2， 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 從而只需證2≥ ， 只需要證4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立． 四、探究與拓展 14．若不等式(－1)na<2＋對任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問題 答案　 解析　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a<2－， 而2－≥2－＝，所以a<； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a>－2－， 而－2－<－2，所以a≥－2. 綜上可得，－2≤a<. 15．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形． 考點(diǎn)　綜合法及應(yīng)用 題點(diǎn)　利用綜合法解決不等式問題 證明　由A，B，C成等差數(shù)列，得2B＝A＋C.① 由于A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角， 所以A＋B＋C＝π.② 由①②，得B＝.③ 由a，b，c成等比數(shù)列，得b2＝ac，④ 由余弦定理及③， 可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， 再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0， 從而a＝c，所以A＝C.⑤ 由②③⑤，得A＝B＝C＝， 所以△ABC為等邊三角形． 13