3.1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念.3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法． 知識(shí)點(diǎn)一　復(fù)平面 建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)二　復(fù)數(shù)的幾何意義 知識(shí)點(diǎn)三　復(fù)數(shù)的模 復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，對(duì)應(yīng)的向量為，則向量的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|.由模的定義可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 1．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上．(　√　) 2．在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)．(　×　) 3．若|z1|＝|z2|，則z1＝z2.(　×　) 類型一　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的關(guān)系 例1　實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在： (1)第三象限； (2)直線x－y－3＝0上． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)系 解　因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是實(shí)數(shù)． (1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足 即當(dāng)－3<x<2時(shí)，點(diǎn)Z在第三象限． (2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(x2＋x－6，x2－2x－15)， 當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0， 即當(dāng)x＝－2時(shí)，點(diǎn)Z在直線x－y－3＝0上． 引申探究　 若本例中的條件不變，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在： (1)虛軸上；(2)第四象限． 解　(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足x2＋x－6＝0， 即當(dāng)x＝－3或2時(shí)，點(diǎn)Z在虛軸上． (2)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足 即當(dāng)2<x<5時(shí)，點(diǎn)Z在第四象限． 反思與感悟　按照復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值． 跟蹤訓(xùn)練1　在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上和實(shí)軸負(fù)半軸上，分別求復(fù)數(shù)z. 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)系 解　若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，則m2－m－2＝0， 所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0. 若復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸負(fù)半軸上， 則所以m＝1，所以z＝－2. 類型二　復(fù)數(shù)的模 例2　設(shè)z為復(fù)數(shù)，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用定義求復(fù)數(shù)的模 解　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)． ∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝1， ∴即 即解得 ∴|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝ ＝＝. 反思與感悟　利用模的定義將復(fù)數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實(shí)部、虛部滿足的條件，是一種復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想． 跟蹤訓(xùn)練2　已知0<a<3，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是(　　) A．(1，) B．(1，) C．(1,3) D．(1,10) 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用定義求復(fù)數(shù)的模 答案　A 解析　0<a<3，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)， 則|z|＝∈(1，)． 類型三　復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系 例3　(1)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－4i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－5＋4i，則＋對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i (2)設(shè)O是原點(diǎn)，向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)由復(fù)數(shù)的幾何意義，可得 ＝(5，－4)，＝(－5,4)， 所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以＋對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為0. (2)由復(fù)數(shù)的幾何意義，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)． 所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i. 反思與感悟　(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量． (2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化． 跟蹤訓(xùn)練3　在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　2－i 解析　復(fù)數(shù)2＋i表示的點(diǎn)A(2,1)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)為B(2，－1)，∴對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i. 1．當(dāng)<m<1時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　D 解析　∵<m<1，∴0<3m－2<1，m－1<0， ∴復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限． 2．若＝(0，－3)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　) A．0 B．－3 C．－3i D．3 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　C 3．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i(i為虛數(shù)單位)，且|z1|<|z2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)<－1或a>1 B．－1<a<1 C．a(chǎn)>1 D．a(chǎn)>0 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用模的定義求參數(shù) 答案　B 解析　因?yàn)閨z1|＝，|z2|＝＝， 所以<，即a2＋4<5， 所以a2<1，即－1<a<1. 4．若復(fù)數(shù)z＝(m－2)＋(m＋1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，其中m∈R，則|z|＝________. 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用定義求復(fù)數(shù)的模 答案　3 解析　復(fù)數(shù)z＝(m－2)＋(m＋1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3. 5．當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn) (1)位于第四象限； (2)位于x軸的負(fù)半軸上． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 解　(1)由 得所以－7<m<3. (2)由 得所以m＝4. 1．復(fù)數(shù)的幾何意義 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑． (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)而不是(a，bi)； (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對(duì)應(yīng)向量是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與相等的向量有無數(shù)個(gè)． 2．復(fù)數(shù)的模 (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝； (2)從幾何意義上理解，表示點(diǎn)Z和原點(diǎn)間的距離，類比向量的?？蛇M(jìn)一步引申：|z1－z2|表示點(diǎn)Z1和點(diǎn)Z2之間的距離. 一、選擇題 1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝cos 3＋isin 3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限為(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　B 解析　∵<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0， 故復(fù)數(shù)z＝cos 3＋isin 3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限． 2．已知復(fù)數(shù)z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－3,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　A 解析　由題意得解得－3<m<1. 3．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)a－ai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　B 解析　若復(fù)數(shù)z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是純虛數(shù)， 則得得a＝－1， 則復(fù)數(shù)a－ai＝－1＋i對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(－1,1)，位于第二象限，故選B. 4．復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則(　　) A．a(chǎn)≠2或a≠1 B．a(chǎn)≠2且a≠1 C．a(chǎn)＝0或a＝2 D．a(chǎn)＝0 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　C 解析　∵z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上， ∴a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2. 5．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i，若點(diǎn)A關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為B，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　) A．－2－i B．－2＋i C．1＋2i D．－1＋2i 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　B 解析　∵A(－1,2)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為B(－2,1)， ∴向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋i. 6．已知復(fù)數(shù)z＝a＋i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z等于(　　) A．－1＋i B．1＋i C．－1＋i或1＋i D．－2＋i 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用模的定義求復(fù)數(shù) 答案　A 解析　因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限， 所以a<0，由|z|＝2知， ＝2，解得a＝±1， 故a＝－1，所以z＝－1＋i. 7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，則z2等于(　　) A．4＋5i B．5＋4i C．3＋4i D．5＋4i或＋i 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)模的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用模的定義求復(fù)數(shù) 答案　D 解析　設(shè)z2＝x＋yi(x，y∈R)， 由條件得， ∴或 二、填空題 8．若復(fù)數(shù)3－5i,1－i和－2＋ai在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)a的值為________． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　5 解析　由點(diǎn)(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共線可知a＝5. 9．已知復(fù)數(shù)z＝x－2＋yi的模是2，則點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是________． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　利用幾何意義解決軌跡、圖形 答案　(x－2)2＋y2＝8 解析　由模的計(jì)算公式得＝2， ∴(x－2)2＋y2＝8. 10．在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－4i，若點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)A關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　3＋4i 解析　因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，－4)， 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3,4)， 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4)， 所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋4i. 11．若復(fù)數(shù)z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則|z|的取值范圍是________． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用定義求復(fù)數(shù)的模 答案　 解析　復(fù)數(shù)z＝(a－2)＋(a＋1)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a－2，a＋1)， 因?yàn)樵擖c(diǎn)位于第二象限， 所以解得－1<a<2. 由條件得|z|＝＝ ＝ ＝ . 因?yàn)椋?<a<2，所以|z|∈. 三、解答題 12．設(shè)z為純虛數(shù)，且|z－1|＝|－1＋i|，求復(fù)數(shù)z. 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用 題點(diǎn)　利用模的定義求復(fù)數(shù) 解　因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以可設(shè)z＝ai(a≠0，且a∈R)， 則|z－1|＝|ai－1|＝. 又|－1＋i|＝，所以＝，解得a＝±1， 所以z＝±i. 13．已知復(fù)數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用 解　方法一　∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝， 由已知得32＋a2<42， ∴a2<7，∴a∈(－，)． 方法二　利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)， 由z＝3＋ai知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＝3上， 所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z的集合． 由圖可知－<a<. 四、探究與拓展 14．設(shè)A，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z＝(cos B－tan A)＋itan B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案　B 解析　因?yàn)锳，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以A＋B>，即A>－B，sin A>cos B，cos B－tan A＝cos B－<cos B－sin A<0，又tan B>0，所以點(diǎn)(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故選B. 15．已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，與實(shí)軸正方向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，求復(fù)數(shù)z. 考點(diǎn)　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系 解　根據(jù)題意可畫圖形如圖所示， 設(shè)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(a，b)， ∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°， ∴a＝－1，b＝±， 即點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(－1，)或(－1，－)， ∴z＝－1＋i或z＝－1－i. 10