高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫 考點23 等差數(shù)列及其前n項和（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1. （xx·新課標(biāo)Ⅰ高考理科·Ｔ7）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,,，則（ ） A. B. C. D. 【解題指南】利用，求出及的值，從而確定等差數(shù)列的公差，再利用前項和公式求出的值. 【解析】選C.由已知得，,，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，又因為，所以，因為，所以，又，解得. 2.（xx·安徽高考文科·Ｔ7）設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，，則a9=（ ） A.-6 B.-4 C.-2 D.2 【解題指南】利用等差數(shù)列的前n項和公式及通項公式求出首項及公差。 【解析】選A。由，聯(lián)立解得，所以。 3. （xx·遼寧高考文科·Ｔ4）與（xx·遼寧高考理科·Ｔ4）相同 下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題： 數(shù)列是遞增數(shù)列；數(shù)列是遞增數(shù)列； 數(shù)列是遞增數(shù)列；數(shù)列是遞增數(shù)列； 其中的真命題為（ ） 【解題指南】借助增函數(shù)的定義判斷所給數(shù)列是否為遞增數(shù)列 【解析】選D. 命題 判斷過程 結(jié)論 數(shù)列是遞增數(shù)列 由知數(shù)列是遞增數(shù)列 真命題 數(shù)列是遞增數(shù)列 由 ，僅由是無法判斷 的正負(fù)的，因而不能判定 的大小關(guān)系 假命題 數(shù)列是遞增數(shù)列 顯然，當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，不是遞增數(shù)列， 假命題 數(shù)列是遞增數(shù)列 數(shù)列的第項減去數(shù)列的第項 所以 即數(shù)列是遞增數(shù)列 真命題 二、填空題 4. （xx·重慶高考文科·Ｔ12）若2、、、、9成等差數(shù)列，則 ． 【解題指南】可根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解. 【解析】因為2、、、、9成等差數(shù)列，所以公差,. 【答案】 5．（xx·上海高考文科·T2）在等差數(shù)列中，若a1+ a2+ a3+ a4=30，則a2+ a3= . 【解析】 【答案】 15 6. （xx·廣東高考理科·Ｔ12）在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=　　　  【解題指南】本題考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算,可利用通項公式和整體代換的思想求解. 【解析】設(shè)公差為d,則a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20. 【答案】20 7.(xx·新課標(biāo)全國Ⅱ高考理科·T16)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為　　　　. 【解題指南】求得Sn的表達(dá)式,然后表示出nSn,將其看作關(guān)于n的函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)求得最小值. 【解析】由題意知:解得d=, a1=-3,所以 即nSn=,令f(n)= , 則有令f'(n)>0,得,令f'(n)<0,得又因為n為正整數(shù),所以當(dāng)n=7時, 取得最小值,即nSn的最小值為-49. 【答案】-49 8.（xx·安徽高考理科·Ｔ14））如圖，互不相同的點A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分別在角O的兩條邊上，所有相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等。設(shè)若a1=1,a2=2則數(shù)列的通項公式是_______。 【解題指南】利用三角形的面積比等于相似比的平方得到等式關(guān)系化簡求解. 【解析】 由題意可得： ① 即 ② ①②兩式相加得，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.故，即 【答案】 三、解答題 9. （xx·大綱版全國卷高考文科·Ｔ17）等差數(shù)列中， （I）求的通項公式； （II）設(shè) 【解題指南】（I）根據(jù)條件中給出的特殊項求出等差數(shù)列的首項和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出的通項公式. （II）將（I）中的通項公式代入到中,采用裂項相消法求和. 【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則. 因為，所以，解得. 所以的通項公式為. （II）因為 所以. 10.（xx·大綱版全國卷高考理科·Ｔ17）等差數(shù)列的前項和為的通項式. 【解析】設(shè)的公差為，由，得，故或. 由，，成等差數(shù)列得. 又，，. 故. 若，則，解得，此時，不符合題意. 若，則，解得或. 因此得通項公式為或. 11.（xx·安徽高考文科·Ｔ19） 設(shè)數(shù)列滿足,且對任意n∈，函數(shù) ，滿足。 （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若求數(shù)列的前n項和。 【解題指南】（1）由證得是等差數(shù)列；（2）求出 的通項公式，利用等差、等比數(shù)列的求和公式計算。 【解析】（1）由題設(shè)可得，，對任意n∈，，即為等差數(shù)列.由解得的公差d=1，所以an=2+1·(n-1)=n+1. （2）由知， 。 12. （xx·湖北高考文科·T19）已知是等比數(shù)列的前項和，，，成等差數(shù)列，且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；若不存在，說明理由． 【解題指南】（Ⅰ）由條件，，成等差數(shù)列和列出方程組，解出首項和公比，運(yùn)用等比數(shù)列通項公式得出的通項公式。（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)，使得，解不等式，求n的解集。 13. （xx·新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科·Ｔ17）已知等差數(shù)列的公差不為零，，且成等比數(shù)列。 （1）求的通項公式； （2）求； 【解題指南】(1)設(shè)出公差d,利用成等比數(shù)列，求得d，可得通項公式 （2）發(fā)現(xiàn)構(gòu)成新的等差數(shù)列，確定新數(shù)列的公差與項數(shù)，然后利用公式求和. 【解析】(1)設(shè)的公差為.由題意，， 即. 于是. 又所以（舍去）， 故 （2）令， 由（1）知故是首項為25,公差為-6的等差數(shù)列.從而