2022年高三數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試題 文(I) 考生注意: 1.本試卷共160分.考試時(shí)間120分鐘. 2.答題前,考生務(wù)必將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚. 3.請將各題答案填在試卷后面的答題卷上. 4.交卷時(shí),可根據(jù)需要在加注“”標(biāo)志的夾縫處進(jìn)行裁剪. 5.本試卷主要考試內(nèi)容:第1次聯(lián)考內(nèi)容+三角函數(shù)與解三角形+平面向量. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分. 1.設(shè)集合M={x|-<x<},N={x|x2≤x},則M∩N=　　▲　　.  2.函數(shù)y=ln x-2x在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為　　▲　　.  3.已知sin 2α=sin α,α∈(0,π),則sin 2α=　　▲　　.  4.設(shè)a=(,cos θ)與b=(-1,2cos θ)垂直,則cos 2θ=　　▲　　.  5.在正三角形ABC中,AB=3,D是BC上一點(diǎn),且=3,則·=　　▲　　.  6.設(shè)函數(shù)f(x)=的最小值為-1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　▲　　.  7.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的一部分圖象如右圖所示,如果A>0,ω>0,|φ|<,則φ=　　▲　　.  8.若四邊形ABCD滿足:+=0,(+)·=0,則該四邊形的形狀是　　▲　　.  9.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且atan B=,bsin A=4,則a=　　▲　　.  10.已知非零向量a,b的夾角為60°,且滿足|a-2b|=2,則a·b的最大值為　　▲　　.  11.若函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R,ω>0),又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值為,則函數(shù)g(x)=f(x)-1在[-2π,0]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為　　▲　　.  12.已知△ABC各角的對應(yīng)邊分別為a,b,c,且滿足+ ≥ 1,則角A的取值范圍是　　▲　　.  13.已知函數(shù)f(x)=,函數(shù)g(x)=asin(x)-2a+2(a>0),若存在x1∈[0,1],對任意x2∈[0,1]都有f(x1)=g(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　▲　　.  14.已知△ABC的三邊a,b,c和其面積S滿足S=c2-(a-b)2,則tan C=　　▲　　.  二、解答題:本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15.(本小題滿分14分) 已知兩個(gè)集合A={x|m<},B={x|lox>2},p:實(shí)數(shù)m為小于5的正整數(shù),q:“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件. (1)若p是真命題,求A∩B; (2)若p且q為真命題,求m的值. 16.(本小題滿分14分) 已知向量m=(sin ωx,cos ωx),n=(cos ωx,-cos ωx)(ω>0),函數(shù)f(x)=m·n的最小正周期為. (1)求ω的值; (2)設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足:b2=ac,且邊b所對的角為x,若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 17.(本小題滿分14分) 已知在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對的邊,△ABC的面積S=,且bc=1. (1)求b2+c2的最大值; (2)當(dāng)b2+c2最大時(shí),若bsin(-C)-csin(-B)=a,求角B和C. 18.(本小題滿分16分) 在平行四邊形ABCD中,E是DC的中點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)M,||=4,||=2,,的夾角為. (1)若=λ+μ,求λ+3μ的值; (2)當(dāng)點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的邊BC和CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),求·的取值范圍. 19.(本小題滿分16分) 已知函數(shù)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)cos(x-),x∈R. (1)若對任意x∈[-,],都有f(x)≥a成立,求a的取值范圍; (2)若先將y=f(x)的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,然后再向左平移個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)-在區(qū)間[-2π,4π]內(nèi)的所有零點(diǎn)之和. 20.(本小題滿分16分) 已知函數(shù)φ(x)=,a為常數(shù). (1)若a=,求函數(shù)f(x)=ln x+φ(x)的單調(diào)增區(qū)間; (2)若g(x)=|ln x|+φ(x),對任意x1,x2∈(0,2],且x1≠x2,都有<-1,求a的取值范圍. xx屆高三第二次聯(lián)考·數(shù)學(xué)試卷 參　考　答　案 1.[0,)　由已知得:N={x|0≤x≤1},所以M∩N={x|0≤x<}. 2.x+y-3=0　y'=-2,y'=-1,所以切線方程為y-2=-(x-1),化簡為x+y-3=0. 3.　由已知得2sin αcos α=sin α,即cos α=, ∵α∈(0,π),∴sin α=,sin 2α=2××=. 4.-　根據(jù)題意得-+2cos2θ=0,∴cos2θ=,則cos 2θ=2cos2θ-1=2×-1=-. 5.　因?yàn)?3,所以=, 所以·=·(+)=+·=32+×32cos 120°=. 6.[-,+∞)　當(dāng)x≥時(shí),4x-3≥-1,∴當(dāng)x<時(shí),f(x)=-x+a≥-1,即-+a≥-1,得a≥-. 7.　由圖知A=2,B=2.T=(π-)×4=π,則ω==2,將(,4)代入y=2sin(2x+φ)+2得φ=. 8.菱形　∵+=0,∴AB∥DC且AB=DC,即四邊形ABCD是平行四邊形, 又∵(+)·=0,∴·=0,即BD⊥AC,∴四邊形ABCD是菱形. 9.5　∵atan B=,bsin A=4,∴=,即=cos B=,則tan B=, ∴a=?a=5. 10.1　∵a,b的夾角為60°,且|a-2b|=2,∴a2+4b2-4a·b=|a|2+4|b|2-2|a|·|b|=4≥4|a|·|b|-2|a|·|b|=2|a|·|b|,即|a|·|b|≤2,∴a·b=|a|·|b|≤1. 11.1　∵|α-β|的最小值為,∴=,則T=3π,又∵ω>0,∴ω==.令g(x)=f(x)-1=2sin(x+)-1=0,得x+=2kπ+或x+=2kπ+(k∈Z),即x=3kπ-或x=3kπ+(k∈Z).當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí),有x=-符合題意. 12.(0,]　由已知得:b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),即b2+c2-a2≥bc,將不等式兩邊同除以2bc得≥,即cos A≥(0<A<π),所以0<A≤. 13.[,1]　因?yàn)閒(x)=,所以當(dāng)x1∈[0,1]時(shí),f(x1)∈[0,1],因?yàn)閤2∈[0,1],所以x2∈[0,],又a>0,所以asin(x2)∈[0,a],所以g(x2)∈[2-2a,2-a],因?yàn)槿舸嬖趚1∈[0,1],對任意x2∈[0,1]都有f(x1)=g(x2)成立,所以解得a∈[,1]. 14.　S=c2-(a2+b2)+2ab=-2abcos C+2ab=2ab(1-cos C)=absin C, =,∴=,∴tan=,tan C===. 15.解:(1)由p為真命題,得0<m<5,m∈N+, 則集合A={x|m<}={x|0<x<}, 又B={x|lox>2}={x|0<x<}, 當(dāng)0<m<4,m∈N+時(shí),B?A,所以A∩B=B={x|0<x<}. 當(dāng)m=4時(shí),A?B,所以A∩B=A={x|0<x<}.6分 (2)因?yàn)閜且q為真命題,所以p為真命題,q為真命題, 即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件, 所以集合B是集合A的真子集,所以>且0<m<5,m∈N+,所以m=1或m=2.14分 16.解:(1)f(x)=m·n=sin ωxcos ωx-cos2ωx=sin 2ωx-cos2ωx=sin 2ωx-=sin(2ωx-)-,∴T==,ω=2.6分 (2)由余弦定理得cos x==≥=, ∴0<x≤,由 f(x)=k得sin(4x-)=k+, 由函數(shù)y=sin(4x-)(0<x≤)的圖象知,方程sin(4x-)=k+有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于-<k+<1,所以-1<k<.14分 17.解:(1)因?yàn)閏os A=,又因?yàn)槊娣eS==bcsin A, 所以a2=2bcsin A,b2+c2=2bccos A+2bcsin A,又因?yàn)閎c=1, 所以b2+c2=2(cos A+sin A)=2sin(A+),當(dāng)A=時(shí)b2+c2取得最大值2.6分 (2)由bsin(-C)-csin(-B)=a,根據(jù)正弦定理得sin Bsin(-C)-sin Csin(-B)=sin A. ∴sin B(cos C-sin C)-sin C(cos B-sin B)=,即sin Bcos C-cos Bsin C=1, ∴sin(B-C)=1. ∵0<B,C<π,∴-π<B-C<π,∴B-C=, 又A=,∴B+C=π,解得B=π,C=.14分 18.解:(1)如圖所示,易得△ABM與△EDM相似,且===2, ∴=,又=+=+=+, ∴=(+)=+, =+,=-,代入=λ+μ, 得+=λ(+)+μ(-)=(λ+μ)+(λ-μ), ∴,解得λ=,μ=,∴λ+3μ=+3×=1.6分 (2)如圖所示,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系. 則A(0,0),B(4,0),C(5,),D(1,),E(3,). ∴=(4,0)=,=(1,)=,=(3,),8分 ①當(dāng)點(diǎn)P位于邊BC上時(shí),設(shè)=m(0≤m≤1). 則=+=+m=(4,0)+m(1,)=(4+m,m). ∴·=(4+m,m)·(3,)=3(4+m)+3m=6m+12, ∵0≤m≤1,∴12≤6m+12≤18,∴·的取值范圍[12,18].12分 ②當(dāng)點(diǎn)P位于邊CD上時(shí),設(shè)=n(0≤n≤1). =+=+n=(1,)+n(4,0)=(1+4n,), ∴·=(1+4n,)·(3,)=3(1+4n)+3=12n+6. ∵0≤n≤1,∴6≤12n+6≤18.∴·的取值范圍是[6,18]. 綜上①②可知:·的取值范圍是[6,18].16分 19.解:(1)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)cos(x-) =cos(2x-)+sin(2x-) =cos 2x+sin 2x-cos 2x =sin 2x-cos 2x=sin(2x-).4分 若對任意x∈[-,],都有f(x)≥a成立,則只需fmin(x)≥a即可. ∵-≤x≤,∴ -≤2x-≤, ∴當(dāng)2x-=-,即x=-時(shí),f(x)有最小值 -,故a≤-.8分 (2)依題意可得g(x)=sin x,由g(x)-=0得sin x=,由圖可知,sin x=在[-2π,4π]上有6個(gè)零點(diǎn):x1,x2,x3,x4,x5,x6.根據(jù)對稱性有=-,=,=, 從而所有零點(diǎn)和為x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π.16分 20.解:(1)由a=得f(x)=ln x+, f'(x)=-==,(x>0), 令f'(x)>0,得x>2,或0<x<, ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,)和(2,+∞).6分 (2)∵<-1,∴+1<0, ∴<0. 設(shè)h(x)=g(x)+x,依題意,h(x)在(0,2]上是減函數(shù),所以h'(x)≤0. ①當(dāng)1≤x≤2時(shí),h(x)=ln x++x,h'(x)=-+1, 令h'(x)≤0,得a≥+(x+1)2=x2+3x++3對x∈[1,2]恒成立, 設(shè)m(x)=x2+3x++3,則m'(x)=2x+3-, ∵1≤x≤2,∴m'(x)=2x+3->0, ∴m(x)在[1,2]上是增函數(shù),m(x)的最大值為m(2)=,∴a≥.10分 ②當(dāng)0<x≤1時(shí),h(x)=-ln x++x,h'(x)=--+1, 令h' (x)≤0,得a≥-+(x+1)2=x2+x--1, 設(shè)t(x)=x2+x--1,則t'(x)=2x+1+>0,∴t(x)在(0,1]上是增函數(shù), ∴t(x)≤t(1)=0,∴a≥0. 綜合①②,知a≥.16分