2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第一周 星期四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)習(xí)題 理
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2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第一周 星期四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)習(xí)題 理
2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 第一周 星期四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)習(xí)題 理
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(命題意圖:考查含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的求解以及不等式恒成立條件下的參數(shù)范圍的求?。疾榭忌姆诸愑懻撍枷胍约稗D(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.)
已知函數(shù)f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a<-1,如果對任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范圍.
解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=+2ax=.
當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a≤-1時(shí),f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)-1<a<0時(shí),令f′(x)=0,解得x=.
即x∈時(shí),f′(x)>0;x∈時(shí),f′(x)<0.
故f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)法一 不妨設(shè)x1≤x2,而a<-1,由(1)知f(x)在
(0,+∞)上單調(diào)遞減,從而對任意x1、x2∈(0,+∞),恒有
|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|?f(x1)-f(x2)≥4(x2-x1)?f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2.
令g(x)=f(x)+4x,則g′(x)=+2ax+4,則f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2等價(jià)于g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即g′(x)=+2ax+4≤0,
從而a≤==-2,
故a的取值范圍為(-∞,-2].
法二 a≤.設(shè)φ(x)=,
則φ′(x)=
===.
當(dāng)x∈時(shí),φ′(x)<0,φ(x)為減函數(shù),x∈時(shí),φ′(x)>0,φ(x)為增函數(shù),∴φ(x)min=φ=-2,∴a的取值范圍為(-∞,-2].