《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法 1 比較法學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法 1 比較法學(xué)案 新人教A版選修4-5（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一　比較法 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解比較法證明不等式的依據(jù).2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟．(重點(diǎn))3.通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用．(難點(diǎn)) 教材整理1　作差比較法 閱讀教材P21～P22例2，完成下列問題． 1．理論依據(jù)：①a＞b?a－b＞0；②a＝b?a－b＝0；③a＜b?a－b＜0. 2．定義：要證明a＞b，轉(zhuǎn)化為證明a－b＞0，這種方法稱為作差比較法． 3．步驟：①作差；②變形；③判斷符號(hào)；④下結(jié)論． 若x，y∈R，記ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，則(　　) A．ω＞u　　　　　 B．ω＜u C．ω≥u D．無法確定 C　

2、[∵ω－u＝x2－xy＋y2＝＋≥0，∴ω≥u.] 教材整理2　作商比較法 閱讀教材P22～P23“習(xí)題”以上部分，完成下列問題． 1．理論依據(jù)：當(dāng)b＞0時(shí)，①a＞b?＞1；②a＜b?＜1；③a＝b?＝1. 2．定義：證明a＞b(b＞0)，只要轉(zhuǎn)化為證明＞1，這種方法稱為作商比較法． 3．步驟：①作商；②變形；③判斷商與1大??；④下結(jié)論． 下列命題： ①當(dāng)b＞0時(shí)，a＞b?＞1； ②當(dāng)b＞0時(shí)，a＜b?＜1； ③當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，＞1?a＞b； ④當(dāng)ab＞0時(shí)，＞1?a＞b. 其中真命題是(　　) A．①②③ B．①②④ C．④ D．①②③④ A　[由不

3、等式的性質(zhì)，①②③正確．當(dāng)ab＞0時(shí)(若b＜0，a＜0)，＞1與a＞b不等價(jià)，④錯(cuò)．] 作商比較法證明不等式 【例1】　已知a＞0，b＞0且a≠b，求證：aabb＞. [精彩點(diǎn)撥]　 → →→ 1．當(dāng)不等式的兩端為指數(shù)式時(shí)，可作商證明不等式． 2．運(yùn)用a＞b?＞1證明不等式時(shí)，一定注意b＞0是前提條件．若符號(hào)不能確定，應(yīng)注意分類討論． 1．已知m，n∈R＋，求證：≥. [證明]　因?yàn)閙，n∈R＋， 則：①當(dāng)m>n>0時(shí)，>1，m－n>0，則ω>1. ②當(dāng)m＝n時(shí)，ω＝1. ③當(dāng)n>m>0時(shí)，0<<1，m－n<0，則ω>1. 故對(duì)任意的m，

4、n∈R＋都有ω≥1. ， 所以≥. 比較法的實(shí)際應(yīng)用 【例2】　甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？ [精彩點(diǎn)撥]　設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1, t2，要回答題目中的問題，只要比較t1，t2的大小就可以了． [自主解答]　設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1, t2，依題意有：m＋n＝s，＋＝t2. ∴t1＝，t2＝， ∴t1－t2＝－＝

5、 ＝－. 其中s，m，n都是正數(shù)，且m≠n， ∴t1－t2＜0，即t1＜t2， 從而知甲比乙先到達(dá)指定地點(diǎn)． 1．應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決，也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵． 2．在實(shí)際應(yīng)用不等式問題時(shí)，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系．若是選擇題或填空題，則可用特殊值加以判斷． 2．通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面(指橫截面)的周長(zhǎng)相等，試問：截面為圓的水管流量大還是截面為正方形的水管流量大？ [解]　設(shè)截面的周長(zhǎng)為l，依題意知，截面是圓的水管的截面面積為π·，截面是正方形的水管的截面面積為. ∵π·－

6、＝＝. 由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0， ∴π·＞. 因此，通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大． 作差比較法 [探究問題] 作差法遵循什么步驟？適用于哪些類型？ [提示]　“作差法”的理論依據(jù)是實(shí)數(shù)的大小順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系：“a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0”，其一般步驟為“作差→變形→判號(hào)→定論”．其中變形是作差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號(hào)，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或一個(gè)常數(shù)與幾個(gè)平方和的形式，或幾個(gè)因式的積的形式等．當(dāng)所得的“差式”是

7、某個(gè)字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，則常用判別式法判斷符號(hào)．作差法一般用于不等式的兩邊是多項(xiàng)式或分式． 【例3】　已知a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. [精彩點(diǎn)撥]　此不等式作差后是含有兩個(gè)字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根據(jù)二次三項(xiàng)式的判別式確定符號(hào)． [自主解答]　法一　∵a2＋b2－ab－a－b＋1 ＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， ∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 法二　a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1， 對(duì)于a的二次三項(xiàng)式， Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0. ∴a2－(b＋1)

8、a＋b2－b＋1≥0， 故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 1．作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差值的多少． 2．因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號(hào)，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，可利用“Δ”判定符號(hào)． 3．已知a＞b＞c，證明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. [證明]　∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)

9、(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)． ∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是(　　) A．t＞s　　　　　　　　 B．t≥s C．t＜s D．t≤s D　[s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0， ∴s≥t.] 2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＞Q B．P＜Q C．P

10、＝Q D．大小不確定 A　[P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga. 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜a3＋1＜a2＋1，則0＜＜1， ∴l(xiāng)oga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 當(dāng)a＞1時(shí)，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1， ∴l(xiāng)oga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 綜上總有P＞Q，故選A.] 3．設(shè)a，b，m均為正數(shù)，且＜，則a與b的大小關(guān)系是________． [解析]?。剑?. 又a，b，m為正數(shù)，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0. 即a＞b. [答案]　a＞b 4．設(shè)a＞b＞0，x＝－，y＝－，則x，y的大小關(guān)系是x________y. [解析]　∵＝＝＜＝1，且x＞0，y＞0，∴x＜y. [答案]?。? 5．已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b. [證明]　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因?yàn)閍≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0, 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a2b. - 7 -