高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第10課時 復(fù)數(shù)的加法和減法檢測 新人教B版選修1-2 1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，則a＋b＝(　　) A.　　　B．－ C．－ D．5 解析：(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i， 所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－. 答案：B 2．若|z|＋z＝3＋i，則z＝(　　) A．1－i B．1＋i C.＋i D．－＋i 解析：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|＋z＝3＋i得 ＋x＋yi＝3＋i， 即解得所以z＝＋i. 答案：C 3．若復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝3，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡所圍成的圖形的面積為__________． 解析：由條件知|z－i|＝3，所以點Z的軌跡是以點(0,1)為圓心，以3為半徑的圓，故其面積為S＝9π. 答案：9π 4．已知復(fù)數(shù)z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2|＜|z1|，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 解析：由條件知z1－z2＝(4－a)＋2i.又因為|z1－z2|＜|z1|，即＜，解得1＜a＜7. 答案：1＜a＜7 5．已知z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，求|z＋i|的最小值． 解析：|z＋1|＝|z－i|表示以(－1,0)，(0,1)為端點的線段的垂直平分線，而|z＋i|＝|z－(－i)|表示直線上的點到(0，－1)的距離，數(shù)形結(jié)合知其最小值為. (限時：30分鐘) 1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，則a的值為(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i. ∵z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，∴1＋a＝0.∴a＝－1. 答案：D 2．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2對應(yīng)的點分別為P1，P2，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　) A．－8＋6i B．8－6i C．8＋6i D．－2－2i 解析：由復(fù)數(shù)減法的幾何意義，知對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1－z2＝(3－4i)－(－5＋2i)＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i，故選B. 答案：B 3．已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z等于(　　) A．－3 B．3 C．－3i D．3i 解析：設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，則z＋3i＝x＋(y＋3)i.因為z＋3i是純虛數(shù)，所以又因為|z|＝＝3，解得x＝0，y＝3，即z＝3i. 答案：D 4．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－3－4i|＝1，則|z|的最大值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：因為|z－3－4i|＝1，所以復(fù)數(shù)z所對應(yīng)點在以C(3,4)為圓心，半徑為1的圓上，由幾何性質(zhì)得|z|的最大值是＋1＝6. 答案：D 5．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點的軌跡是(　　) A．圓 B．半圓 C．直線 D．射線 解析：設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|得＝， 化簡可得3x－4y＝0， 所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點的軌跡是一條直線． 答案：C 6．已知復(fù)數(shù)z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，則實數(shù)m＝__________. 解析：z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i) ＝(－m)＋(m2－2m)i. 因為z1＋z2＞0，所以z1＋z2為實數(shù)且大于0， 所以解得m＝2. 答案：2 7．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，則a＋b＝__________. 解析：z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4， 由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得 解得故a＋b＝3. 答案：3 8．設(shè)實數(shù)x，y，θ滿足以下關(guān)系：x＋yi＝3＋5cosθ＋i(－4＋5sinθ)，則x2＋y2的最大值是__________． 解析：∵x＋yi＝(3＋5cosθ)＋i(－4＋5sinθ)， ∴x2＋y2＝(3＋5cosθ)2＋(－4＋5sinθ)2＝50＋30cosθ－40sinθ＝50＋50cos(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.∴(x2＋y2)max＝50＋50＝100. 答案：100 9．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值． 解析：設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，則|z－2－2i|＝表示圓上的點與定點(2,2)的距離，由數(shù)形結(jié)合得 |z－2－2i|的最小值為3. 10．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值． 解析：因為z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ， 所以z1－z2＝(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)i＝＋i， 所以兩式平方相加得(cosα－cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)＝2－2cos(α＋β)＝2＋2＝1，即2－2cos(α＋β)＝1，所以cos(α＋β)＝. 11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊的長度分別為a，b，c，設(shè)復(fù)數(shù)z＝cosA＋isinA，且滿足|z＋1|＝1. (1)求復(fù)數(shù)z； (2)求的值． 解析：(1)∵z＝cosA＋isinA， ∴z＋1＝1＋cosA＋isinA. ∴|z＋1|＝＝. ∵|z＋1|＝1.∴2＋2cosA＝1. ∴cosA＝－.∴A＝120°. ∴sinA＝.∴復(fù)數(shù)z＝－＋i. (2)由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，c＝2R·sinC(其中R為△ABC外接圓的半徑)， ∴原式＝. ∵B＝180°－A－C＝60°－C， ∴原式＝ ＝＝ ＝＝2， 即的值為2.