2022年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析 一、填空題（每小題4分，共44分） 1、用列舉法表示集合_______. 【答案】； 【解析】由，則必有，所以. 2、命題“若，則”的否命題是_______. 【答案】若，則； 【解析】命題的否定是同時(shí)對條件與結(jié)論進(jìn)行否定. 3、函數(shù)的定義域?yàn)開______. 【答案】； 【解析】由，即，本題需注意定義域只能寫成區(qū)間或是集合的形式，避免寫不等式的形式. 4、已知集合，則滿足的集合有_______個(gè). 【答案】4; 【解析】由條件可知，，所以符合條件的集合的個(gè)數(shù)即為集合的子集的個(gè)數(shù)，共4個(gè). 5、已知，且，則的最大值為_______. 【答案】； 【解析】由基本不等式可以直接算出結(jié)果. ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號. 6、已知集合，，則_______. 【答案】； 【解析】，解之,即結(jié)合數(shù)軸標(biāo)根法，可以得到其解為，即，所以. 7、不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______. 【答案】； 【解析】對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論 ①當(dāng)即時(shí)，不等式顯然成立； ②當(dāng)，欲使不等式對恒成立，則需滿足，解之；綜合①②，則實(shí)數(shù)的取值范圍為. 8、若關(guān)于不等式的解集為，則關(guān)于不等式的解集為_______. 【答案】; 【解析】由不等式的解集為，可得 ，所以，，所以可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，所以有，即不等式的解集為. 9、在整數(shù)集中，被5除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，.給出下列四個(gè)結(jié)論： ①；②；③；④“整數(shù)屬于同一‘類’”的充要條件是“”.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_______. 【答案】3個(gè)； 【解析】①正確，由于能夠被5整除；②錯(cuò)誤，，故；③正確，將整數(shù)按照被5除分類，剛好分為5類；④正確. 10、某物流公司計(jì)劃在其停車庫附近租地建倉庫，已知每月土地占用費(fèi)（萬元）與倉庫到停車庫的距離（公里）成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)（萬元）與倉庫到停車庫的距離（公里）成正比.如果在距離停車庫18公里處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用和分別為4萬元和144萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫到停車庫的距離_______公里. 【答案】； 【解析】設(shè)，（為常數(shù)），由時(shí)，，，可知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號. 11、設(shè)，若時(shí)，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值集合為_________. 【答案】 【解析】可以取特殊值代入，得，所以，存在且唯一. 也可以結(jié)合數(shù)軸標(biāo)根法，但此時(shí)注意需有重根出現(xiàn)才能符合題意，最后討論也可求出結(jié)果. 二、選擇題（每題4分，共16分） 12、三國時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中對勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為“（ ）”的幾何解釋. A.如果，，那么 B. 如果，那么 C.對任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立 D. 如果，那么 【答案】C； 【解析】可將直角三角形的兩直角邊長度取作，斜邊為（），則外圍的正方形的面積為，也就是，四個(gè)陰影面積之和剛好為，對任意正實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立. 13、設(shè)取實(shí)數(shù)，則與表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B； 【解析】A選項(xiàng)對應(yīng)關(guān)系不同，，；C、D選項(xiàng)定義域不相同. 14、是成立的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A. 【解析】充分性顯然成立，必要性可以舉反例：，，顯然必要性不成立. 15、在關(guān)于的方程，，中，已知至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C； 【解析】可以采用補(bǔ)集思想.三個(gè)判別式均小于0的條件下取交集后再取補(bǔ)集即可. 三、解答題（共6大題，滿分60分） 16、（本題滿分8分） 解關(guān)于的方程：. 【答案】或； 【解析】或，解之或. 17、（本題滿分8分，每小題4分） 設(shè)關(guān)于的不等式：. （1）解此不等式； （2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）①當(dāng)時(shí)，不等式的解為；②當(dāng)時(shí)，不等式的解為；③當(dāng)且時(shí)，不等式的解為；（2）； 【解析】（1），即有，所以 ①當(dāng)時(shí)，不等式的解為； ②當(dāng)時(shí)，不等式的解為； ③當(dāng)且時(shí)，不等式的解為； （2）由于，所以符合；結(jié)合（1）可以得到： ，解之；或，解之.綜上. 18、（本題滿分10分） 已知，，其中，全集.若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】； 【解析】由“”是“”的必要不充分條件，可得，所以，而，，令的根為，則必有，解之. 19、（本題滿分10分） 現(xiàn)有四個(gè)長方體容器，的底面積均為，高分別為；的底面積均為，高分別為（其中）.現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝.問先取者在未能確定與大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？ 【答案】只有1種，就是取. 【解析】 當(dāng)時(shí)，則，即； 當(dāng)時(shí)，則，即； 又 所以在不知道的大小的情況下，取能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒有必勝的把握. 20、（本題滿分12分，第一小題3分，第二小題4分，第三小題5分） 定義實(shí)數(shù)間的計(jì)算法則如下：. （1）計(jì)算； （2）對的任意實(shí)數(shù)，判斷等式是否恒成立，并說明理由； （3）寫出函數(shù)的解析式，其中，并求函數(shù)的值域. 【答案】（1）9；（2）不能；（3）. 【解析】（1）因?yàn)椋裕? （2）由于，所以，； 由于，所以，即有，此時(shí)若，則；若，則.所以等式并不能保證對任意實(shí)數(shù)都成立. （3）由于，，所以，函數(shù)的值域?yàn)? 21、（本題滿分共12分，每小題4分） 已知實(shí)數(shù)滿足. （1）求證：； （2）現(xiàn)推廣如下：把的分子改為一個(gè)大于1的正整數(shù)，使得對任意都成立，試寫出一個(gè)并證明之； （3）現(xiàn)換個(gè)角度推廣如下：正整數(shù)滿足什么條件時(shí)，對任意都成立，請寫出條件并證明之. 【答案】見解析. 【解析】（1）由于，所以，要證，只需證明. 左邊，證畢. （2）欲使，只需， 左邊，所以只需即可，即，所以可以取代入上面過程即可. （3）欲使，只需， 左邊，只需，即（）.