一　數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍．(重點(diǎn))2.會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 教材整理　數(shù)學(xué)歸納法的概念 閱讀教材P46～P50，完成下列問(wèn)題． 一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟： (1)證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明_n＝k＋1時(shí)命題也成立． 在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法． 數(shù)學(xué)歸納法證明中，在驗(yàn)證了n＝1時(shí)命題正確，假定n＝k時(shí)命題正確，此時(shí)k的取值范圍是(　　) A．k∈N　　　　　 B．k＞1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D．k＞2，k∈N＋ C　[數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎(chǔ)，所以k大于等于1.] 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例1】　用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. [精彩點(diǎn)撥]　要證等式的左邊共2n項(xiàng)，右邊共n項(xiàng)，f(k)與f(k＋1)相比左邊增二項(xiàng)，右邊增一項(xiàng)，而且左、右兩邊的首項(xiàng)不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”時(shí)要注意項(xiàng)的合并． [自主解答]　①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝＝＝右邊，所以等式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋－ ＝＋ ＝＋…＋＋＋＝右邊， 所以，n＝k＋1時(shí)等式成立． 由①②知，等式對(duì)任意n∈N＋成立． 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)．由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)． 2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述n＝n0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)．并且一定要記住：在證明n＝k＋1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)． 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3， 右邊＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以n＝k＋1時(shí)等式也成立， 根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何n∈N＋都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題 【例2】　用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)． [精彩點(diǎn)撥]　先驗(yàn)證n＝1時(shí)命題成立，然后再利用歸納假設(shè)證明，關(guān)鍵是找清f(k＋1)與f(k)的關(guān)系并設(shè)法配湊． [自主解答]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，(3k＋1)·7k－1能被9整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， [ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1 ＝[21(k＋1)＋7]·7k－1 ＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1 ＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k. ∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除， ∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除， 即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立． 由(1)(2)可知，對(duì)任何n∈N＋，命題都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)． 1．證明本題時(shí)關(guān)鍵是用歸納假設(shè)式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1時(shí)的式子． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題關(guān)鍵是利用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)、并項(xiàng)、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題獲證．一般地，證明一個(gè)與n有關(guān)的式子f(n)能被一個(gè)數(shù)a(或一個(gè)代數(shù)式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)與f(k)的關(guān)系，設(shè)法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)． 2．求證：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，命題成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)， 由歸納假設(shè)知，上式中兩項(xiàng)都能被9整除，故n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 由(1)和(2)可知，對(duì)n∈N＋命題成立． 證明幾何命題 【例3】　平面內(nèi)有n(n≥2，n∈N＋)條直線(xiàn)，其中任意兩條不平行，任意三條不過(guò)同一點(diǎn)，那么這n條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(n)是多少？并證明你的結(jié)論． [精彩點(diǎn)撥]　(1)從特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性結(jié)論f(n)；(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明． [自主解答]　當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1 ；當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝3； 當(dāng)n＝4時(shí)，f(4)＝6. 因此猜想f(n)＝(n≥2，n∈N＋)． 下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝2時(shí)，兩條相交直線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)， 又f(2)＝×2×(2－1)＝1. ∴n＝2時(shí)，命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N＋)時(shí)命題成立，就是該平面內(nèi)滿(mǎn)足題設(shè)的任何k條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝k(k－1)， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，其中一條直線(xiàn)記為l，剩下的k條直線(xiàn)為l1，l2，…，lk. 由歸納假設(shè)知，剩下的k條直線(xiàn)之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)＝. 由于l與這k條直線(xiàn)均相交且任意三條不過(guò)同一點(diǎn)， 所以直線(xiàn)l與l1，l2，l3，…，lk的交點(diǎn)共有k個(gè)， ∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝ ＝＝， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)(2)可知，命題對(duì)一切n∈N＋且n≥2時(shí)成立． 1．從特殊入手，尋找一般性結(jié)論，并探索n變化時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)間的關(guān)系． 2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確分析由n＝k到n＝k＋1時(shí)幾何圖形的變化規(guī)律并結(jié)合圖形直觀(guān)分析，要講清原因． 3．在本例中，探究這n條直線(xiàn)互相分割成線(xiàn)段或射線(xiàn)的條數(shù)是多少？并加以證明． [解]　設(shè)分割成線(xiàn)段或射線(xiàn)的條數(shù)為f(n)，則f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16. 猜想n條直線(xiàn)分割成線(xiàn)段或射線(xiàn)的條數(shù)f(n)＝n2(n≥2)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明． (1)當(dāng)n＝2時(shí)，顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時(shí)， 結(jié)論成立，f(k)＝k2. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)有l(wèi)1，l2，…，lk，lk＋1，共k＋1條直線(xiàn)滿(mǎn)足題設(shè)條件． 不妨取出直線(xiàn)l1，余下的k條直線(xiàn)l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2條射線(xiàn)或線(xiàn)段． 直線(xiàn)l1與這k條直線(xiàn)恰有k個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)l1被這k個(gè)交點(diǎn)分成k＋1條射線(xiàn)或線(xiàn)段．k條直線(xiàn)l2，l3，…，lk－1中的每一條都與l1恰有一個(gè)交點(diǎn)，因此每條直線(xiàn)又被這一個(gè)交點(diǎn)多分割出一條射線(xiàn)或線(xiàn)段，共有k條． 故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論正確． 由(1)(2)可知，上述結(jié)論對(duì)一切n≥2且n∈N＋均成立. 數(shù)學(xué)歸納法的概念 [探究問(wèn)題] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法中，n取的第一個(gè)值n0是否一定是1? [提示]　n0不一定是1，指適合命題的第一個(gè)正整數(shù)，不是一定從1開(kāi)始． 2．如何理解數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟之間的關(guān)系？ [提示]　第一步是驗(yàn)證命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是論證命題遞推的橋梁，這兩個(gè)步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷，可能得出不正確的結(jié)論，因?yàn)閱慰坎襟E(1)無(wú)法遞推下去，即n取n0以后的數(shù)時(shí)命題是否正確，我們無(wú)法判斷．同樣只有步驟(2)而缺少步驟(1)時(shí)，也可能得出不正確的結(jié)論，缺少步驟(1)這個(gè)基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟(2)也就無(wú)意義了． 【例4】　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊計(jì)算的結(jié)果是(　　) A．1　　　　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 [精彩點(diǎn)撥]　注意左端特征，共有n＋2項(xiàng)，首項(xiàng)為1，最后一項(xiàng)為an＋1. C　[實(shí)際是由1(即a0)起，每項(xiàng)指數(shù)增加1，到最后一項(xiàng)為an＋1，所以n＝1時(shí)，左邊的最后一項(xiàng)應(yīng)為a2，因此左邊計(jì)算的結(jié)果應(yīng)為1＋a＋a2.] 1．驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值不一定為1. 2．遞推是關(guān)鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時(shí)式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問(wèn)題的保障． 4．當(dāng)f(k)＝1－＋－＋…＋－，則f(k＋1)＝f(k)＋________. [解析]　f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，∴f(k＋1)＝f(k)＋－. [答案]?。? 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)· (2n＋1)時(shí)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式為(　　) A．1　　　　　　　 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 C　[當(dāng)n＝1時(shí)左邊所得的代數(shù)式為1＋2＋3.] 2．某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)n＝k(k∈N＋且k≥1)時(shí)命題成立，則一定可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)，該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時(shí)，該命題不成立，那么應(yīng)有(　　) A．當(dāng)n＝4時(shí)，該命題成立 B．當(dāng)n＝6時(shí)，該命題成立 C．當(dāng)n＝4時(shí)，該命題不成立 D．當(dāng)n＝6時(shí)，該命題不成立 C　[若n＝4時(shí)命題成立，由遞推關(guān)系知n＝5時(shí)命題成立，與題中條件矛盾，所以n＝4時(shí)，該命題不成立．] 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)時(shí)，從“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． B　[當(dāng)n＝k時(shí)，等式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)． 比較n＝k和n＝k＋1時(shí)等式的左邊，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．故選B.] 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”時(shí)，若n＝1，則左端應(yīng)為_(kāi)_______． [解析]　當(dāng)n＝1時(shí)，左端應(yīng)為1×4＝4. [答案]　4 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋a＋a2＋…＋an－1＝(a≠1，n∈N＋)． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝＝1，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，等式成立， 即1＋a＋a2＋…＋ak－1＝. 那么n＝k＋1時(shí)， 左邊＝1＋a＋a2＋…＋ak－1＋ak＝＋ak ＝＝ ＝右邊， 所以等式也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)任意n∈N＋等式均成立． - 7 -