二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的不等式．(重點(diǎn))2.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式，了解貝努利不等式的應(yīng)用條件．(難點(diǎn)) 教材整理　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 閱讀教材P50～P53，完成下列問(wèn)題． 1．貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實(shí)數(shù)，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1＋x)n>1＋nx. 2．在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由n＝k成立，推導(dǎo)n＝k＋1成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行． 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取(　　) A．2　　　　　　 B．3 C．5 D．6 C　[n取1,2,3,4時(shí)不等式不成立，起始值為5.] 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例1】　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求證：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)． [精彩點(diǎn)撥]　先求Sn 再證明比較困難，可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，注意Sn表示前n項(xiàng)的和(n>1)，首先驗(yàn)證n＝2；然后證明歸納遞推． [自主解答]　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，S22＝1＋＋＋＝>1＋， 即n＝2時(shí)命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)命題成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ >1＋＋＋＋…＋ >1＋＋＝1＋＋＝1＋. 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 由(1)(2)知，對(duì)n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立． 此題容易犯兩個(gè)錯(cuò)誤，一是由n＝k到n＝k＋1項(xiàng)數(shù)變化弄錯(cuò)，認(rèn)為的后一項(xiàng)為，實(shí)際上應(yīng)為；二是＋＋…＋共有多少項(xiàng)之和，實(shí)際上 2k＋1到2k＋1是自然數(shù)遞增，項(xiàng)數(shù)為2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k. 1．若在本例中，條件變?yōu)椤霸O(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…” .試問(wèn)：f(2n－1)與大小關(guān)系如何？試猜想并加以證明． [解]　數(shù)列1,3,7,15，…，通項(xiàng)公式為an＝2n－1，數(shù)列，1，，2，…，通項(xiàng)公式為an＝， ∴猜想：f(2n－1)>. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即f(2k－1)>， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋ ＋…＋＝f(2k－1)＋>＋＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 據(jù)①②知對(duì)任何n∈N＋原不等式均成立． 【例2】　證明：2n＋2>n2(n∈N＋)． [精彩點(diǎn)撥]　? ? [自主解答]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4；右邊＝1，左邊>右邊； 當(dāng)n＝2時(shí)，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右； 當(dāng)n＝3時(shí)，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右． 因此當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3且k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)， ∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0， ∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2， 所以2k＋1＋2>(k＋1)2. 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，原不等式也成立． 根據(jù)(1)(2)知，原不等式對(duì)于任何n∈N＋都成立． 1．本例中，針對(duì)目標(biāo)k2＋2k＋1，由于k的取值范圍(k≥1)太大，不便于縮?。虼?，用增加奠基步驟(把驗(yàn)證n＝1擴(kuò)大到驗(yàn)證n＝1,2,3)的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k≥3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo)． 2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由n＝k到n＝k＋1的變形．為滿足題目的要求，常常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難題一是要仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu)，二是要靠經(jīng)驗(yàn)積累． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式…＞均成立． [證明]　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝；右邊＝. ∵左邊＞右邊，∴不等式成立； (2)假設(shè)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即…＞. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， … ＞·＝＝ ＞＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立. 不等式中的探索、猜想、證明 【例3】　若不等式＋＋＋…＋>對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論． [精彩點(diǎn)撥]　先通過(guò)n取值計(jì)算，求出a的最大值，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，證明時(shí)，根據(jù)不等式特征，在第二步，運(yùn)用比差法較方便． [自主解答]　當(dāng)n＝1時(shí)，＋＋>，則>，∴a<26. 又a∈N＋，∴取a＝25. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>. (1)n＝1時(shí)，已證． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)(k≥1，k∈N＋)，＋＋…＋>，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋＋＋ ＝＋ >＋， ∵＋＝>， ∴＋－>0， ∴＋＋…＋>也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N＋， 都有＋＋…＋>， ∴a的最大值為25. 1．不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究結(jié)論，但結(jié)論必須證明． 2．本題中從n＝k到n＝k＋1時(shí)，左邊添加項(xiàng)是＋＋－.這一點(diǎn)必須清楚． 3．設(shè)an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)對(duì)大于1的一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論． [解]　假設(shè)g(n)存在，那么當(dāng)n＝2時(shí)， 由a1＝g(2)(a2－1)， 即1＝g(2)，∴g(2)＝2； 當(dāng)n＝3時(shí)，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)， 即1＋＝g(3)， ∴g(3)＝3， 當(dāng)n＝4時(shí)，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)， 即1＋＋ ＝g(4)， ∴g(4)＝4， 由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n≥2，n∈N＋時(shí)， 等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立． (1)當(dāng)n＝2時(shí)，a1＝1， g(2)(a2－1)＝2×＝1， 結(jié)論成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)結(jié)論成立， 即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak ＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k ＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1 ＝(k＋1)＝(k＋1)(ak＋1－1)， 說(shuō)明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立， 由(1)(2)可知 ，對(duì)一切大于1的正整數(shù)n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立． 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法適用于證明的命題的類型是(　　) A．已知?結(jié)論　　　 B．結(jié)論?已知 C．直接證明比較困難 D．與正整數(shù)有關(guān) D　[數(shù)學(xué)歸納法證明的是與正整數(shù)有關(guān)的命題．故應(yīng)選D.] 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式(　　) A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－ C．1＋＜2－ D．1＋＋＜2－ A　[n0＝2時(shí)，首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為.] 3．用數(shù)學(xué)歸納法證不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 B　[左邊等比數(shù)列求和Sn＝ ＝2＞， 即1－＞，＜， ∴＜，∴n＞7，∴n取8，選B.] 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)時(shí)，第一步證明不等式________成立． [解析]　因?yàn)閚>1，所以第一步n＝2，即證明1＋＋<2成立． [答案]　1＋＋<2 5．試證明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． [證明]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即 1＋＋＋…＋<2. 那么n＝k＋1時(shí)， ＋ <2＋＝ < ＝2. 這就是說(shuō)，n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù)(1)(2)可知不等式對(duì)n∈N＋成立． - 8 -