第四節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例 [考綱傳真]　1.會做兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用.4.了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應(yīng)用． 1．兩個變量的線性相關(guān) (1)正相關(guān) 在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)． (2)負相關(guān) 在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān)． (3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線． 2．回歸方程 (1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回歸方程：方程＝x＋是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中，是待定參數(shù)． 3．回歸分析 (1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法． (2)樣本點的中心 對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)稱為樣本點的中心． (3)相關(guān)系數(shù) 當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)； 當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負相關(guān)． r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性． 4．獨立性檢驗 (1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量． (2)列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為 2×2列聯(lián)表 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 構(gòu)造一個隨機變量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． [常用結(jié)論] 1．回歸直線必過樣本點的中心(，)． 2．當(dāng)兩個變量的相關(guān)系數(shù)|r|＝1時，兩個變量呈函數(shù)關(guān)系． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．(　　) (2)通過回歸直線方程＝x＋可以估計預(yù)報變量的取值和變化趨勢．(　　) (3)因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關(guān)性檢驗．(　　) (4)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的是(　　) A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80 C．模型3的相關(guān)指數(shù)R3為0.50 D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25 A　[R2越接近于1，其擬合效果越好．] 3．已知回歸直線的斜率的估計值是1.23，樣本點的中心為(4,5)，若自變量的值為10，則因變量的值約為(　　) A．16.3　　　 B．17.3 C．12.38 D．2.03 C　[設(shè)回歸直線方程為＝x＋，根據(jù)已知得5＝1.23×4＋，所以＝0.08，所以當(dāng)x＝10時，＝1.23×10＋0.08＝12.38.] 4．下面是一個2×2列聯(lián)表 y1 y2 總計 x1 a 21 73 x2 2 25 27 總計 b 46 則表中a，b處的值分別為________． 52,54　[因為a＋21＝73，所以a＝52.又因為a＋2＝b，所以b＝54.] 5．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝≈4.844.則認為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為________． 5%　[K2的觀測值k≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.] 相關(guān)關(guān)系的判斷 1．已知變量x和y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C．x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān) D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān) C　[由y＝－0.1x＋1，知x與y負相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負相關(guān)．] 2．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(　　) A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 A　[由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點圖可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.] 3．x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________． ①x，y是負相關(guān)關(guān)系； ②在該相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時的相關(guān)指數(shù)為R，用＝x＋擬合時的相關(guān)指數(shù)為R，則R＞R； ③x，y之間不能建立線性回歸方程． ①②　[在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負相關(guān)關(guān)系，故①正確；由散點圖知用y＝c1ec2x擬合比用＝x＋擬合效果要好，則R＞R，故②正確；x，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故③錯誤．] [規(guī)律方法]　判定兩個變量正、負相關(guān)性的方法 (1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關(guān). (2)相關(guān)系數(shù)：r＞0時，正相關(guān)；r＜0時，負相關(guān). (3)線性回歸直線方程中： 回歸分析 【例1】　(2018·廣州一模)某地1～10歲男童年齡xi(歲)與身高的中位數(shù)yi(cm)(i＝1,2，…，10)如下表： x/歲 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2 對上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值. (xi－)2 (yi－)2 (xi－)(yi－) 5.5 112.45 82.50 3 947.71 566.85 (1)求y關(guān)于x的線性回歸方程(回歸方程系數(shù)精確到0.01)； (2)某同學(xué)認為，y＝px2＋qx＋r更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型，他求得的回歸方程是＝－0.30x2＋10.17x＋68.07.經(jīng)調(diào)查，該地11歲男童身高的中位數(shù)為145.3 cm.與(1)中的線性回歸方程比較，哪個回歸方程的擬合效果更好？ 附：回歸方程＝＋x中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為＝，＝－. [解]　(1)＝＝≈6.87， ＝－≈112.45－6.87×5.5≈74.67， 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為＝6.87x＋74.67. (2)若回歸方程為＝6.87x＋74.67， 當(dāng)x＝11時，＝150.24. 若回歸方程為＝－0.30x2＋10.17x＋68.07， 當(dāng)x＝11時，＝143.64. 因為|143.64－145.3|＝1.66＜|150.24－145.3|＝4.94， 所以回歸方程＝－0.30x2＋10.17x＋68.07對該地11歲男童身高中位數(shù)的擬合效果更好． [規(guī)律方法]　1.求回歸直線方程的步驟 2．(1)若已知回歸直線方程(方程中無參數(shù))進行預(yù)測時，把變量x代入回歸直線方程即可對變量y進行估計． (2)若回歸直線方程中有參數(shù)，則根據(jù)回歸直線一定經(jīng)過點(，)求出參數(shù)值，得到回歸直線方程，進而完成預(yù)測． (1)(2017·山東高考)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其回歸直線方程為＝x＋.已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為(　　) A．160　　　 B．163 C．166 D．170 (2)某產(chǎn)品的廣告費用x萬元與銷售額y萬元的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表： 廣告費用x(萬元) 2 3 4 5 銷售額y(萬元) 26 m 49 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝9x＋10.5，則m的值為(　　) A．36　　 B．37 C．38 D．39 (1)C　(2)D　[(1)∵xi＝225，∴＝xi＝22.5. ∵yi＝1 600，∴＝y(tǒng)i＝160. 又＝4，∴＝－＝160－4×22.5＝70. ∴回歸直線方程為＝4x＋70. 將x＝24代入上式得＝4×24＋70＝166. 故選C. (2)由回歸方程的性質(zhì)，線性回歸方程過樣本點的中心，則：＝×9＋10.5， 解得m＝39.故選D.] 獨立性檢驗 【例2】　(2018·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2＝， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 [解]　(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． [規(guī)律方法]　1.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個變量之間關(guān)系越強. 2.解決獨立性檢驗的應(yīng)用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論.獨立性檢驗的一般步驟： (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表； (2)根據(jù)公式 (3)比較觀測值k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷. 某研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生使用智能手機對學(xué)習(xí)的影響．部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 使用智能手機 不使用智能手機 合計 學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀 4 8 12 學(xué)習(xí)成績不優(yōu)秀 16 2 18 估計 20 10 30 附表： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 經(jīng)計算K2的觀測值為10，則下列選項正確的是(　　) A．有99.5%的把握認為使用智能手機對學(xué)習(xí)有影響 B．有99.5%的把握認為使用智能手機對學(xué)習(xí)無影響 C．有99.9%的把握認為使用智能手機對學(xué)習(xí)有影響 D．有99.9%的把握認為使用智能手機對學(xué)習(xí)無影響 A　[依題意，注意到7.879＜10＜10.828，因此有99.5%的把握認為使用智能手機對學(xué)習(xí)有影響，故選A.] 1．(2015·全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． (xi－)2 (wi－)2 (xi－)(yi－) (wi－)·(yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，w]＝wi. (1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題： ①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？ ②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－. [解]　(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型． (2)令w＝，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程． 由于＝＝＝68， ＝－ ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w， 因此y關(guān)于x的回歸方程為＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時， 年銷售量y的預(yù)報值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預(yù)報值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當(dāng)＝＝6.8，即x＝46.24時，取得最大值． 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大． 2.(2017·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)． 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ， K2＝. [解]　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”． 由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(B)的估計值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P(C)的估計值為0.66. 因此，事件A的概率估計值為0.62×0.66＝0.409 2. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為 50＋≈52.35(kg)． - 12 -