《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 一 比較法學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 一 比較法學(xué)案 新人教A版選修4-5（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一　比較法 　1.理解和掌握比較法證明不等式的理論依據(jù)．　2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟． 3．通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用． 比較法的定義 比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種． (1)作差比較法：要證明a>b，只要證明a－b>0；要證明a0，b>0，要證明a>b，只要證明>1；要證明b>a，只要證明>1.這種證明不等式的方法，叫做作商比較法． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)在證明條件不等式時(shí)，要注意所給

2、條件的應(yīng)用．(　　) (2)作差比較法是與1比較，作商比較法是與0比較．(　　) (3)因式分解、配方、放縮(基本不等式，有界性)，湊成若干個(gè)平方和等是作差比較的常用變形方法．(　　) (4)分子放(縮)，分母不變；分子不變，分母放(縮)；分子放(縮)，同時(shí)分母縮(放)，是作商比較時(shí)常用的方法．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．設(shè)a≠b，則a2＋3b2和2b(a＋b)的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)2＋3b2>2b(a＋b)　 B．a(chǎn)2＋3b2≥2b(a＋b) C．a(chǎn)2＋3b2<2b(a＋b) D．a(chǎn)2＋3b2≤2b(a＋b) 解析：選A.(a2＋3b

3、2)－2b(a＋b) ＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2， 因?yàn)閍≠b， 所以(a－b)2>0， 所以a2＋3b2>2b(a＋b)． 3．設(shè)a∈R，a≠1，則與1的大小關(guān)系是(　　) A．>1 B．<1 C．≥1 D．≤1 答案：B 　作差比較法[學(xué)生用書P25] 　已知b0，a2＋b2>0，a＋b<0， 又因?yàn)閎0， 所以<0. 所以－<0. 即<. 作差比較法證明不等式的技巧 (1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形

4、的目的在于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差能否化簡或值是多少． (2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． (3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷差式的符號(hào)，常將差式變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的差式是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用判別式法判斷符號(hào)．　 　1.若a>b>c，求證bc2＋ca2＋ab2

5、(c－a)(c－b)． 因?yàn)閍>b>c， 所以b－a<0，c－a<0，c－b<0， 所以(b－a)(c－a)(c－b)<0， 所以bc2＋ca2＋ab20，b>0，求證：aabb≥(ab). 【證明】　因?yàn)閍abb>0，(ab)>0， 所以＝a·b＝. 當(dāng)a＝b時(shí)，顯然有＝1； 當(dāng)a>

6、b>0時(shí)，>1，>0，所以由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，有>1； 當(dāng)b>a>0時(shí)，0<<1，<0， 所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有>1. 綜上可知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，都有aabb≥(ab). 作商比較法證明不等式的一般步驟 (1)作商：將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商． (2)變形：化簡商式到最簡形式．　 (3)判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，也就是判斷商大于1或小于1或等于1. (4)得出結(jié)論． 　已知a>0，b>0，c>0，a2＋b2＝c2. 求證：當(dāng)n≥3時(shí)，an＋bn

7、n＝cncosnθ＋cnsinnθ ＝cn(cosnθ＋sinnθ)， 所以＝＝cosnθ＋sinn θ. 又因?yàn)?

8、必考慮差的值是多少．變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等．因此常把差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式，或者變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等．總之能夠判斷出差的符號(hào)即可． 1．設(shè)m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，a，b∈R，則以下正確的是(　　) A．m>n　　 B．m≥n C．mN C．M＝N D．不確定 解析：

9、選B.M－N＝(＋)－(＋)＝＋ ＝＝， 因?yàn)?0，1＋b>0，ab<1， 即1－ab>0， 所以M－N>0，故M>N. 3．已知a1≤a2，b1≤b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關(guān)系是________． 解析：因?yàn)?a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1) ＝(a1－a2)(b1－b2)≥0. 所以a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1 4．已知a，b均為實(shí)數(shù)，用比較法證明：≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)． 證明：－＝－＝＝≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立， 所以≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)． 6