一　比較法 　1.理解和掌握比較法證明不等式的理論依據(jù)．　2.掌握利用比較法證明不等式的一般步驟． 3．通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用． 比較法的定義 比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種． (1)作差比較法：要證明a>b，只要證明a－b>0；要證明a<b，只要證明a－b<0．這種證明不等式的方法，叫做作差比較法． (2)作商比較法：若a>0，b>0，要證明a>b，只要證明>1；要證明b>a，只要證明>1.這種證明不等式的方法，叫做作商比較法． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)在證明條件不等式時，要注意所給條件的應(yīng)用．(　　) (2)作差比較法是與1比較，作商比較法是與0比較．(　　) (3)因式分解、配方、放縮(基本不等式，有界性)，湊成若干個平方和等是作差比較的常用變形方法．(　　) (4)分子放(縮)，分母不變；分子不變，分母放(縮)；分子放(縮)，同時分母縮(放)，是作商比較時常用的方法．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．設(shè)a≠b，則a2＋3b2和2b(a＋b)的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)2＋3b2>2b(a＋b)　 B．a(chǎn)2＋3b2≥2b(a＋b) C．a(chǎn)2＋3b2<2b(a＋b) D．a(chǎn)2＋3b2≤2b(a＋b) 解析：選A.(a2＋3b2)－2b(a＋b) ＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2， 因為a≠b， 所以(a－b)2>0， 所以a2＋3b2>2b(a＋b)． 3．設(shè)a∈R，a≠1，則與1的大小關(guān)系是(　　) A．>1 B．<1 C．≥1 D．≤1 答案：B 　作差比較法[學(xué)生用書P25] 　已知b<a<0，求證：<. 【證明】?。? ＝ ＝ ＝. 因為a<0，b<0， 所以ab>0，a2＋b2>0，a＋b<0， 又因為b<a<0， 所以a－b>0， 所以<0. 所以－<0. 即<. 作差比較法證明不等式的技巧 (1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或值是多少． (2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用一切有效的恒等變形的方法． (3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷差式的符號，常將差式變形為一個常數(shù)，或幾個因式積的形式，當(dāng)所得的差式是某字母的二次三項式時，常用判別式法判斷符號．　 　1.若a>b>c，求證bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b. 證明：bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c－a)(c－b)． 因為a>b>c， 所以b－a<0，c－a<0，c－b<0， 所以(b－a)(c－a)(c－b)<0， 所以bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b. 2．設(shè)x為實數(shù)，求證：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)． 證明：因為右－左＝2x4－2x3－2x＋2＝2(x－1)·(x3－1)＝2(x－1)2(x2＋x＋1)＝2(x－1)2·≥0， 所以，原不等式成立． 　作商比較法[學(xué)生用書P26] 　設(shè)a>0，b>0，求證：aabb≥(ab). 【證明】　因為aabb>0，(ab)>0， 所以＝a·b＝. 當(dāng)a＝b時，顯然有＝1； 當(dāng)a>b>0時，>1，>0，所以由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，有>1； 當(dāng)b>a>0時，0<<1，<0， 所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有>1. 綜上可知，對任意實數(shù)a，b，都有aabb≥(ab). 作商比較法證明不等式的一般步驟 (1)作商：將不等式左右兩邊的式子進行作商． (2)變形：化簡商式到最簡形式．　 (3)判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，也就是判斷商大于1或小于1或等于1. (4)得出結(jié)論． 　已知a>0，b>0，c>0，a2＋b2＝c2. 求證：當(dāng)n≥3時，an＋bn<cn. 證明：因為a2＋b2＝c2， 所以可設(shè)a＝ccos θ，b＝csin θ(0<θ<)． 所以an＋bn＝cncosnθ＋cnsinnθ ＝cn(cosnθ＋sinnθ)， 所以＝＝cosnθ＋sinn θ. 又因為0<cos θ<1，0<sin θ<1， 所以當(dāng)n≥3時，cosnθ<cos2θ， sinnθ<sin2θ， 所以cosnθ＋sinnθ<cos2θ＋sin2θ＝1， 所以<1， 所以an＋bn<cn. 1．在證明不等式的各種方法中，作差比較法是最基本、最重要的方法．作差比較法是通過確定不等式兩邊的差的符號來證明不等式的，因而其應(yīng)用非常廣泛． 2．不等式兩邊的差的符號是正是負，一般必須利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形才能判斷，其中變形的目的在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少．變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等．因此常把差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個數(shù)的平方和的形式，或者變形為一個分式，或者變形為幾個因式的積的形式等．總之能夠判斷出差的符號即可． 1．設(shè)m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，a，b∈R，則以下正確的是(　　) A．m>n　　 B．m≥n C．m<n D．m≤n 解析：選D.因為n－m＝a＋b2＋1－(a＋2b) ＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0.故m≤n. 2．已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，則M，N的大小關(guān)系是(　　) A．M<N　 B．M>N C．M＝N D．不確定 解析：選B.M－N＝(＋)－(＋)＝＋ ＝＝， 因為0<a<， 所以1＋a>0，1＋b>0，ab<1， 即1－ab>0， 所以M－N>0，故M>N. 3．已知a1≤a2，b1≤b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關(guān)系是________． 解析：因為(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1) ＝(a1－a2)(b1－b2)≥0. 所以a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1 4．已知a，b均為實數(shù)，用比較法證明：≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)． 證明：－＝－＝＝≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立， 所以≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)． 6