1.2.4　誘導(dǎo)公式(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用.2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程.3.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一　角α與α＋k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系 思考　角α與α＋k·2π(k∈Z)的終邊有什么位置關(guān)系？其三角函數(shù)值呢？ 梳理　誘導(dǎo)公式(一) cos(α＋k·2π)＝　　　　(k∈Z)， sin(α＋k·2π)＝　　　　(k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝　　　　(k∈Z). 知識(shí)點(diǎn)二　角α與－α的三角函數(shù)間的關(guān)系 思考1　設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1(x，y)，角－α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？如圖，－α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2坐標(biāo)如何？ 思考2　根據(jù)三角函數(shù)定義，－α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有什么關(guān)系？ 　 　 　 梳理　誘導(dǎo)公式(二) cos(－α)＝　　　　， sin(－α)＝　　　　， tan(－α)＝　　　　. 知識(shí)點(diǎn)三　角α與α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系 思考1　設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1(x，y)，則角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？ 如圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1(x，y)，則角π＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2的坐標(biāo)如何？ 思考2　根據(jù)三角函數(shù)定義，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分別是什么？對(duì)比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有什么關(guān)系？ 梳理　誘導(dǎo)公式(三) cos[α＋(2k＋1)π]＝　　　　， sin[α＋(2k＋1)π]＝　　　　， tan[α＋(2k＋1)π]＝　　　　. 特別提醒：公式一～三都叫做誘導(dǎo)公式，他們分別反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).簡(jiǎn)記為“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”！ 類(lèi)型一　利用誘導(dǎo)公式求值 命題角度1　給角求值問(wèn)題 例1　求下列各三角函數(shù)式的值. (1)cos 210°；(2)sin ； (3)sin(－)；(4)cos(－1 920°). 反思與感悟　利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟： (1)“負(fù)化正”：用公式一或二來(lái)轉(zhuǎn)化. (2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°之間的角. (3)“角化銳”：用公式一或三將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角. (4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值. 跟蹤訓(xùn)練1　求下列各三角函數(shù)式的值. (1)sin 1 320°；　(2)cos；　(3)tan(－945°). 命題角度2　給值求角問(wèn)題 例2　已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，則θ等于(　　) A.－ B.－ C. D. 反思與感悟　對(duì)于給值求角問(wèn)題，先通過(guò)化簡(jiǎn)已給的式子得出某個(gè)角的某種三角函數(shù)值，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值逆向求角. 跟蹤訓(xùn)練2　已知sin(π－α)＝－sin(π＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β. 類(lèi)型二　利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 例3　化簡(jiǎn)下列各式. (1)； (2). 引申探究 若將本例(1)改為： (n∈Z)，請(qǐng)化簡(jiǎn). 反思與感悟　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法 (1)利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù). (2)常用“切化弦”法，即表達(dá)式中的切函數(shù)通?；癁橄液瘮?shù). (3)注意“1”的變式應(yīng)用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan . 跟蹤訓(xùn)練3　化簡(jiǎn)下列各式. (1)； (2). 1.sin 585°的值為(　　) A.－ B. C.－ D. 2.cos(－)＋sin(－)的值為(　　) A.－ B. C. D. 3.已知cos(π－α)＝(<α<π)，則tan(π＋α)等于(　　) A. B. C.－ D.－ 4.sin 750°＝________. 5.化簡(jiǎn)：·sin(α－2π)·cos(2π－α). 1.明確各誘導(dǎo)公式的作用 誘導(dǎo)公式 作用 公式(一) 將角轉(zhuǎn)化為0～2π之間的角求值 公式(二) 將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值 公式(三) 將角轉(zhuǎn)化為0～π之間的角求值 2.誘導(dǎo)公式的記憶 這三組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱(chēng)一致，符號(hào)則是將α看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào).α看成銳角，只是公式記憶的方便，實(shí)際上α可以是任意角. 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　角α與α＋k·2π(k∈Z)的終邊相同，根據(jù)三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等． 梳理　cos α　sin α　tan α 知識(shí)點(diǎn)二 思考1　角－α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)． 角－α與單位圓的交點(diǎn)為P2(x，－y)． 思考2　sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝； sin(－α)＝－y＝－sin α； cos(－α)＝x＝cos α， tan(－α)＝－＝－tan α. 梳理　cos α?。璼in α?。璽an α 知識(shí)點(diǎn)三 思考1　角π＋α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)．P2(－x，－y)． 思考2　sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x， tan(π＋α)＝＝. 梳理　－cos α?。璼in α　tan α 題型探究 例1　(1)cos 210°＝－. (2)sin＝. (3)sin(－)＝. (4)cos(－1 920°)＝－. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)　sin 1 320°＝ sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°) ＝－sin 60°＝－. (2)cos＝cos ＝cos ＝cos(π＋)＝－cos ＝－. 例2　D 跟蹤訓(xùn)練2　解　由題意，得 ①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， 即sin2α＋3(1－sin2α)＝2， ∴sin2α＝，∴sin α＝±. ∵0<α<π，∴sin α＝， ∴α＝或α＝π. 把α＝，α＝π分別代入②， 得cos β＝或cos β＝－. 又∵0<β<π，∴β＝或β＝π. ∴α＝，β＝或α＝π，β＝π. 例3　解　(1)原式＝ ＝ ＝－＝－tan α. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝－1. 引申探究 解　當(dāng)n＝2k時(shí)， 原式＝ ＝－tan α；當(dāng)n＝2k＋1時(shí)， 原式＝ ＝－tan α.綜上，原式＝－tan α. 跟蹤訓(xùn)練3　(1)1　(2) 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．A　2.C　3.D　4. 5．解　原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α) ＝·sin α·cos α＝cos2α. 9