(全國通用版)2019版高考物理大一輪復(fù)習(xí) 第十四章 振動和波 光 相對論 第37講 機械振動學(xué)案
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(全國通用版)2019版高考物理大一輪復(fù)習(xí) 第十四章 振動和波 光 相對論 第37講 機械振動學(xué)案
第37講 機械振動
考綱要求
考情分析
命題趨勢
1.簡諧運動Ⅰ
2.簡諧運動的公式和圖象Ⅱ
3.單擺、周期公式Ⅰ
4.受迫振動和共振Ⅰ
2016·北京卷,15
高考對本部分知識的考查主要以選擇題的形式出現(xiàn),但有時也會以計算題的形式考查.選擇題往往借助圖象綜合考查簡諧運動的特點、簡諧運動的公式、規(guī)律;計算題主要考查簡諧運動的受力特點和運動特點.學(xué)習(xí)中要注意掌握彈簧振子、單擺的運動特點、公式、圖象,并能與實際相結(jié)合解決相關(guān)實際問題
1.簡諧運動
(1)定義:物體在跟位移大小成正比并且總是指向__平衡位置__的回復(fù)力作用下的振動.
(2)平衡位置:物體在振動過程中__回復(fù)力__為零的位置.
(3)回復(fù)力
①定義:使物體返回到__平衡位置__的力.
②方向:總是指向__平衡位置__.
③來源:屬于__效果__力,可以是某一個力,也可以是幾個力的__合力__或某個力的__分力__.
(4)簡諧運動的兩種模型
①彈簧振子
②單擺
2.簡諧運動的公式和圖象
(1)簡諧運動的表達式
①動力學(xué)表達式:F=__-kx__,其中“-”表示回復(fù)力與位移的方向相反.
②運動學(xué)表達式:x=?。?! Asin(ωt+φ) ###,其中A代表振幅,ω=2πf表示簡諧運動的快慢,(ωt+φ)代表簡諧運動的相位,φ叫做__初相__.
(2)簡諧運動的圖象
①從__平衡位置__開始計時,函數(shù)表達式為x=Asin ωt,圖象如圖甲所示.
②從__最大位移__處開始計時,函數(shù)表達式為x=Acos ωt,圖象如圖乙所示.
3.簡諧運動的運動規(guī)律
(1)對稱規(guī)律
①做簡諧運動的物體,在關(guān)于平衡位置對稱的兩點,回復(fù)力、位移、加速度具有等大反向的關(guān)系.另外,速度的大小、動能具有__對稱性__,速度的方向可能__相同__或__相反__.
②振動物體來回通過相同的兩點間的時間相等,如tBC=tCB;振動物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等,如tBC__=__tB′C′,如圖所示.
(2)運動的周期性特征
相隔T或nT的兩個時刻振動物體處于同一位置且振動狀態(tài)相同.
4.受迫振動和共振
(1)受迫振動
系統(tǒng)在__驅(qū)動力__作用下的振動.做受迫振動的物體,它做受迫振動的周期(或頻率)等于__驅(qū)動力__的周期(或頻率),而與物體的固有周期(或頻率)__無關(guān)__.
(2)共振
做受迫振動的物體,它的驅(qū)動力的頻率與固有頻率越接近,其振幅就越大,當(dāng)二者__相等__時,振幅達到最大,這就是共振現(xiàn)象.共振曲線如圖所示.
1.判斷正誤
(1)簡諧運動是勻變速運動.( × )
(2)簡諧運動平衡位置就是質(zhì)點所受合力為零的位置.( × )
(3)做簡諧運動的質(zhì)點先后通過同一點,回復(fù)力、速度、加速度、位移都是相同的.( × )
(4)做簡諧運動的質(zhì)點,速度增大時,其加速度一定減小.( √ )
(5)周期、頻率是表征物體做簡諧運動快慢程度的物理量.( √ )
(6)振幅等于振子運動軌跡的長度.( × )
(7)單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動.( × )
(8)物體做受迫振動時,其振動頻率與固有頻率無關(guān).( √ )
(9)簡諧運動的圖象描述的是振動質(zhì)點的軌跡.( × )
2.一個彈簧振子沿x軸做簡諧運動,取平衡位置O為x軸坐標(biāo)原點.從某時刻開始計時,經(jīng)過四分之一周期,振子具有沿x軸正方向的最大加速度.能正確反映振子位移x與時間t關(guān)系的圖象是( A )
3.(多選)某振動系統(tǒng)的固有頻率為f0,在周期性驅(qū)動力的作用下做受迫振動,驅(qū)動力的頻率為f,若驅(qū)動力的振幅保持不變,下列說法正確的是( BD )
A.當(dāng)f<f0時,該振動系統(tǒng)的振幅隨f增大而減小
B.當(dāng)f>f0時,該振動系統(tǒng)的振幅隨f減小而增大
C.該振動系統(tǒng)的振動穩(wěn)定后,振動的頻率等于f0
D.該振動系統(tǒng)的振動穩(wěn)定后,振動的頻率等于f
一 簡諧運動的五個特征
1.動力學(xué)特征
F=-kx,“-”表示回復(fù)力的方向與位移方向相反,k是比例系數(shù),不一定是彈簧的勁度系數(shù).
2.運動學(xué)特征
a=-x,簡諧運動的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比而方向相反,為變加速運動,遠離平衡位置時,x、F、a、Ep均增大,v、Ek均減小,靠近平衡位置時則相反.
3.運動的周期性特征
相隔T或nT的兩個時刻振子處于同一位置且振動狀態(tài)相同.
4.對稱性特征
(1)相隔或(n為正整數(shù))的兩個時刻,振子位置關(guān)于平衡位置對稱,位移、速度、加速度大小相等,方向相反.
(2)如圖所示,振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP=OP′)時,速度的大小、動能、勢能相等,相對于平衡位置的位移大小相等.
(3)振子由P到O所用時間等于由O到P′所用時間,即tPO=tOP′.
(4)振子往復(fù)過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等,即tOP=tPO.
5.能量特征
振動的能量包括動能Ek和勢能Ep,簡諧運動過程中,系統(tǒng)動能與勢能相互轉(zhuǎn)化,系統(tǒng)的機械能守恒.
分析簡諧運動的技巧
(1)分析簡諧運動中各物理量的變化情況時,一定要以位移為橋梁,位移增大時,振動質(zhì)點的回復(fù)力、加速度、勢能均增大,速度、動能均減小;反之,則產(chǎn)生相反的變化.另外,各矢量均在其值為零時改變方向.
(2)分析過程中要特別注意簡諧運動的周期性和對稱性.
[例1](多選)一簡諧振子沿x軸振動,平衡位置在坐標(biāo)原點.t=0時刻振子的位移x=-0.1 m;t= s時刻x=0.1 m;t=4 s時刻x=0.1 m.該振子的振幅和周期可能為( AD )
A.0.1 m, s B.0.1 m,8 s
C.0.2 m, s D.0.2 m,8 s
解析 在t= s和t=4 s兩時刻振子的位移相同,第一種情況是當(dāng)此時間差是周期的整數(shù)倍時,有4 s- s=nT,當(dāng)n=1時T= s.在 s的半個周期內(nèi)振子的位移由負的最大變?yōu)檎淖畲?,所以振幅?.1 m,因此選項A正確.
第二種情況是此時間差不是周期的整數(shù)倍,則+=nT+.
當(dāng)n=0時,T=8 s,設(shè)x=Asin(ωt+φ),因為T=8 s,ω==.
由已知得0.1=Asin , ①
-0.1=Asin , ②
可求得φ=-,
所以x=Asin ,將已知條件代入,得振幅為0.2 m,故選項D正確.
二 簡諧運動的圖象
1.根據(jù)簡諧運動圖象可獲取的信息
(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ(如圖所示).
(2)某時刻振動質(zhì)點離開平衡位置的位移.
(3)某時刻質(zhì)點速度的大小和方向:曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質(zhì)點的速度的大小和速度的方向,速度的方向也可根據(jù)下一時刻物體的位移的變化來確定.
(4)某時刻質(zhì)點的回復(fù)力和加速度的方向:回復(fù)力總是指向平衡位置,回復(fù)力和加速度的方向相同,在圖象上總是指向t軸.
(5)某段時間內(nèi)質(zhì)點的位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況.
2.利用簡諧運動圖象理解簡諧運動的對稱性
(1)相隔Δt=n+T (n=0,1,2,…)的兩個時刻,彈簧振子的位置關(guān)于平衡位置對稱,位移等大反向,速度也等大反向.
(2)相隔Δt=nT (n=0,1,2,…)的兩個時刻,彈簧振子在同一位置,位移和速度都相同.
[例2]一質(zhì)點做簡諧運動,其位移和時間的關(guān)系如圖所示.
(1)求t=0.25×10-2 s時質(zhì)點的位移;
(2)在t=1.5×10-2 s到t=2×10-2 s的振動過程中,質(zhì)點的位移、回復(fù)力、速度、動能、勢能如何變化?
(3)在t=0到t=8.5×10-2 s時間內(nèi),質(zhì)點的路程、位移各多大?
[思維導(dǎo)引] (1)看下一時刻位移增加,速度遠離時間軸,向正方向運動,否則向負方向運動.加速度方向永遠指向時間軸,指向平衡位置.
(2)先增大,后減小,圖象上斜率表示速度.
解析 (1)由題圖可知A=2 cm,T=2×10-2s,振動方程為x=Asin =-Acos ωt=-2cos t cm=-2cos 100πt cm
當(dāng)t=0.25×10-2s時,x=-2cos cm=- cm.
(2)由題圖可知在1.5×10-2 s到2×10-2 s的振動過程中,質(zhì)點的位移變大,回復(fù)力變大,速度變小,動能變小,勢能變大.
(3)在t=0到t=8.5×10-2 s時間內(nèi)經(jīng)歷個周期,質(zhì)點的路程s=17A=34 cm,位移x=2 cm.
答案 x=- cm (2)位移變大,回復(fù)力變大,速度變小,動能變小,勢能變大 (3)34 cm 2 cm
三 受迫振動和共振
1.自由振動、受迫振動和共振的比較
振動
項目
自由振動
受迫振動
共振
受力情況
僅受回復(fù)力
受驅(qū)動力作用
受驅(qū)動力作用
振動周期
或頻率
由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定,即固有周期T0或固有頻率f0
由驅(qū)動力的周期或頻率決定,即T=T驅(qū)或f=f驅(qū)
T驅(qū)=T0或f驅(qū)=f0
振動能量
振動物體的機械能不變
由產(chǎn)生驅(qū)動力的物體提供
振動物體獲得的能量最大
常見例子
彈簧振子或單擺(θ≤5°)
機械工作時底座發(fā)生的振動
共振篩、聲音的共鳴等
2.對共振的理解
(1)共振曲線:如圖所示,橫坐標(biāo)為驅(qū)動力頻率f,縱坐標(biāo)為振幅A.它直觀地反映了驅(qū)動力頻率對某振動系統(tǒng)受迫振動振幅的影響,由圖可知,f與f0越接近,振幅A越大;當(dāng)f=f0時,振幅A最大.
(2)受迫振動中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化:受迫振動系統(tǒng)機械能不守恒,系統(tǒng)與外界時刻進行能量交換.
[例3](多選)如圖所示是一個單擺做受迫振動時的共振曲線,表示振幅A與驅(qū)動力的頻率f的關(guān)系.下列說法正確的是( BD )
A.?dāng)[長約為10 cm
B.?dāng)[長約為1 m
C.若增大擺長,共振曲線的“峰”將向右移動
D.若增大擺長,共振曲線的“峰”將向左移動
解析 根據(jù)圖象可看出單擺的固有頻率為0.5 Hz,即周期為2 s. 根據(jù)周期公式很容易算出擺長約為1 m,故選項A錯誤,B正確;若增大擺長,單擺周期將變長,固有頻率變小,所以共振曲線的“峰”將向左移動,選項C錯誤,D正確.
(1)無論發(fā)生共振與否,受迫振動的頻率都等于驅(qū)動力的頻率,但只有發(fā)生共振現(xiàn)象時振幅才能達到最大.
(2)受迫振動系統(tǒng)中的能量轉(zhuǎn)化不再只有系統(tǒng)內(nèi)部動能和勢能的轉(zhuǎn)化,還有驅(qū)動力對系統(tǒng)做正功補償系統(tǒng)因克服阻力而損失的機械能.
1.如圖所示,一單擺懸于O點,擺長為L,若在O點的正下方的O′點釘一個光滑釘子,使OO′=,將單擺拉至A處釋放,小球?qū)⒃贏、B、C間來回振動,若振動中擺線與豎直方向夾角小于5°,則此擺的周期是( D )
A.2π B.2π
C.2π(+) D.π(+)
解析 根據(jù)T=2π,該單擺在右邊擺動的擺長為L,在左邊擺動的擺長為L,故T=π+π=π(+),故選項D正確.
2.(多選)甲、乙兩彈簧振子的振動圖象如圖所示,則可知( CE )
A.兩彈簧振子完全相同
B.兩彈簧振子所受回復(fù)力最大值之比F甲∶F乙=2∶1
C.振子甲速度為零時,振子乙速度最大
D.兩振子的振動頻率之比f甲∶f乙=2∶1
E.振子乙速度為最大時,振子甲速度不一定為零
解析 從圖象中可以看出,兩彈簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶ 1,則頻率之比f甲∶f乙=1∶2,選項D錯誤;彈簧振子周期與振子質(zhì)量、彈簧勁度系數(shù)k有關(guān),周期不同,說明兩彈簧振子不同,選項A錯誤;由于彈簧的勁度系數(shù)k不一定相同,所以兩振子所受回復(fù)力(F=-kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定為2∶1,選項B錯誤,由簡諧運動的特點可知,在振子到達平衡位置時位移為零,速度最大,在振子到達最大位移處時,速度為零,從圖象中可以看出,在振子甲到達最大位移處時,振子乙恰好到達平衡位置,選項C正確;當(dāng)振子乙到達平衡位置時,振子甲有兩個可能的位置,一個是最大位移處,一個是平衡位置,選項E正確.
3.如圖甲所示,彈簧振子以O(shè)點為平衡位置,在A、B兩點之間做簡諧運動.取向右為正方向,振子的位移x隨時間t的變化圖象如圖乙所示,下列說法正確的是( A )
A.t=0.8 s時,振子的速度方向向左
B.t=0.2 s時,振子在O點右側(cè)6 cm處
C.t=0.4 s和t=1.2 s時,振子的加速度完全相同
D.t=0.4 s到t=0.8 s的時間內(nèi),振子的速度逐漸減小
解析 t=0.8 s時起,再過一段微小時間,振子的位移為負值,因為取向右為正方向,故t=0.8 s時,速度方向向左,選項A正確;由題圖乙得振子的位移x=12sin t cm,故t=0.2 s時,x=6 cm,故選項B錯誤;t=0.4 s和t=1.2 s時,振子的位移方向相反,由a=知,加速度方向相反,選項C錯誤;t=0.4 s到t=0.8 s的時間內(nèi),振子的位移逐漸變小,故振子逐漸靠近平衡位置,其速度逐漸變大,故選項D錯誤.
4.(2017·浙江嘉興質(zhì)檢)彈簧振子以O(shè)點為平衡位置,在B、C兩點間做簡諧運動,在t=0時刻,振子從O、B間的P點以速度v向B點運動;在t=0.20 s時刻,振子速度第一次變?yōu)椋璿;在t=0.50 s時刻,振子速度第二次變?yōu)椋璿.
(1)求彈簧振子的振動周期T;
(2)若B、C之間的距離為25 cm,求振子在4.0 s內(nèi)通過的路程;
(3)若B、C之間的距離為25 cm,從平衡位置開始計時,寫出彈簧振子位移表達式,并畫出彈簧振子的振動圖象.
解析 (1)畫出彈簧振子簡諧運動示意圖如圖所示.
由對稱性可得T=0.5×2 s=1.0 s.
(2)若B、C之間距離為25 cm,則振幅A=×25 cm=12.5 cm,
振子4.0 s內(nèi)通過的路程s=×4×12.5 cm=200 cm.
(3)根據(jù)x=Asin ωt,A=12.5 cm,ω=
=2π rad/s,得x=12.5 sin 2πt cm.
答案 (1)1 s (2)200 cm (3)x=12.5 sin 2πt cm 圖象見解析圖
[例1](2017·山東臨沂檢測·6分)某彈簧振子的振動圖象如圖所示.根據(jù)圖象判斷,下列說法正確的是( )
A.第1 s內(nèi)振子相對于平衡位置的位移與速度方向相反
B.第2 s末振子相對于平衡位置的位移為-20 cm
C.第2 s末和第3 s末振子相對于平衡位置的位移不相同,但瞬時速度方向相反
D.第1 s內(nèi)和第2 s內(nèi)振子相對于平衡位置的位移方向相同,瞬時速度方向相反
[答題送檢]來自閱卷名師報告
錯誤
致錯原因
扣分
C
沒有理解振動圖象表達的物理意義.第2 s末振子速度最大,第3 s末振子的瞬時速度為0.
-6
[解析] 第1 s內(nèi)振子相對于平衡位置的位移為正方向,速度方向也為正方向,選項A錯誤;第2 s末振子在平衡位置,位移為零,選項B錯誤;第3 s末振子相對于平衡位置的位移為-20 cm,第2 s末振子恰好過平衡位置,且正向-x軸方向運動,而第3 s末振子瞬時速度剛好為零,所以選項C錯誤;第2 s內(nèi)振子相對于平衡位置的位移方向是正方向,所以選項D正確.
[答案] D
[例2](2017·江蘇常州質(zhì)檢·6分)如圖表示一彈簧振子做受迫振動時的振幅與驅(qū)動力頻率的關(guān)系,由圖可知( )
A.驅(qū)動力頻率為f2時,振子處于共振狀態(tài)
B.驅(qū)動力頻率為f3時,振子振動頻率為f3
C.假如讓振子自由振動,它的頻率為f2
D.振子做自由振動時,頻率可以為f1、f2、f3
[答題送檢]來自閱卷名師報告
錯誤
致錯原因
扣分
D
混淆自由振動和受迫振動的概念,自由振動是僅受回復(fù)力的振動,其振動周期和頻率由自身固有周期和固有頻率決定.
-6
[解析] 理解共振曲線是關(guān)鍵,驅(qū)動力頻率為f2時彈簧振子的振幅最大,f2也就等于彈簧振子的固有頻率,故振子自由振動時,它的頻率為固有頻率f2,當(dāng)驅(qū)動力頻率為f1、f3時,彈簧振子只做受迫振動,其頻率與振子固有頻率無關(guān).
[答案] ABC
1.(多選)如圖所示,兩個質(zhì)量分別為M和m的小球,懸掛在同一根水平細線上,當(dāng)M在垂直于水平細線的平面內(nèi)擺動時,下列說法正確的是( ABD )
A.兩擺的振動周期是相同的
B.當(dāng)兩擺的擺長相等時,m擺的振幅最大
C.懸掛M的豎直細線長度變化時,m的振幅不變
D.m擺的振幅可能超過M擺的振幅
解析 M擺動時,m擺做受迫振動,穩(wěn)定后,m擺的振動周期應(yīng)等于驅(qū)動力的周期,即等于M擺的周期,故選項A正確;當(dāng)m擺長與M擺長相等時,兩者的固有周期相等,而M擺的固有用期就是使m做受迫振動的驅(qū)動力的周期,可見m擺處于共振狀態(tài),選項B正確;M擺長發(fā)生變化,就是使m做受迫振動的驅(qū)動力周期發(fā)生變化,由于m的固有周期不變,這樣兩個周期差別就發(fā)生了變化,因而m的振幅也發(fā)生了變化,選項C錯誤;單擺振動的能量不僅與振幅有關(guān),還跟振動系統(tǒng)的質(zhì)量有關(guān),如果M的質(zhì)量比m大得多,從M向m傳遞的能量有可能使m的振幅大于M的振幅,選項D正確.
2.(多選)如圖所示為兩單擺分別在受迫振動中的共振曲線,則下列說法正確的是( ABC )
A.若兩擺的受迫振動分別在月球上和地球上進行,且擺長相同,則圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線
B.若兩擺的受迫振動是在地球上同一地點進行,則兩擺擺長之比LⅠ∶LⅡ=25∶4
C.圖線Ⅱ若表示在地面上完成的,則該單擺擺長約為1 m
D.若擺長均為1 m,則圖線Ⅰ表示在地面上完成的
解析 圖線中振幅最大處對應(yīng)的頻率應(yīng)與做受迫振動的單擺的固有頻率相等,從圖線上可以看出,兩擺的固有頻率fⅠ=0.2 Hz,fⅡ=0.5 Hz.當(dāng)兩擺在月球和地球上分別做受迫振動且擺長相等時,根據(jù)公式f=可知,g越大,f越大,所以gⅡ>gⅠ,因為g地>g月,固可推知圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線,選項A正確;若在地球上同一地點進行兩次受迫振動,g相同,擺長長的f小,且有=,所以=,選項B正確;fⅡ=0.5 Hz,若圖線Ⅱ表示在地面上完成的,根據(jù)g=9.8 m/s2,可計算出LⅡ約為1 m,選項C正確,D錯誤.
3.(多選)(2017·福建福州檢測)一彈簧振子沿x軸振動,振幅為4 cm,振子的平衡位置位于x軸上的O點.圖甲上的a、b、c、d為四個不同的振動狀態(tài);黑點表示振子的位置,黑點上的箭頭表示運動的方向.圖乙給出的①②③④四條振動圖線,可用于表示振子的振動圖象的是( AD )
甲
乙
A.若規(guī)定狀態(tài)a時t=0,則圖象為①
B.若規(guī)定狀態(tài)b時t=0,則圖象為②
C.若規(guī)定狀態(tài)c時t=0,則圖象為③
D.若規(guī)定狀態(tài)d時t=0,則圖象為④
解析 振子在狀態(tài)a時t=0,此時的位移為3 cm,且向規(guī)定的正方向運動,故選項A正確;振子在狀態(tài)b時t=0,此時的位移為2 cm,且向規(guī)定的負方向運動,選項B錯誤;振子在狀態(tài)d時t=0,此時位移為-4 cm,速度為零,故選項D正確.
1.如圖所示,彈簧振子在M、N之間做簡諧運動.以平衡位置O為原點,建立Ox軸,向右為x軸正方向.若振子位于N點時開始計時,則其振動圖象為( A )
解析 由題意,向右為x軸的正方向,振子位于N點時開始計時,因此t=0時,振子的位移為正的最大值,振動圖象為余弦函數(shù),選項A正確.
2.(多選)如圖所示,輕彈簧上端固定,下端連接一小物塊,物塊沿豎直方向做簡諧運動.以豎直向上為正方向,物塊簡諧運動的表達式為y=0.1sin (2.5πt) m.t=0時刻,一小球從距物塊h高處自由落下;t=0.6 s時,小球恰好與物塊處于同一高度.取重力加速度的大小g=10 m/s2.以下判斷正確的是( AB )
A.h=1.7 m
B.簡諧運動的周期是0.8 s
C.0.6 s內(nèi)物塊運動的路程是0.2 m
D.t=0.4 s時,物塊與小球運動方向相反
解析 t=0.6 s時,物塊的位移為y=0.1 sin(2.5π×0.6) m=-0.1 m,則對小球h+|y|=gt2,解得h=1.7 m,選項A正確;簡諧運動的周期是T===0.8 s,選項B正確;0.6 s內(nèi)物塊運動的路程是3A=0.3 m,選項C錯誤;t=0.4 s=時,物塊經(jīng)過平衡位置向下運動,則此時物塊與小球運動方向相同,選項D錯誤.
3.在科學(xué)研究中,科學(xué)家常將未知現(xiàn)象同已知現(xiàn)象進行比較,找出其共同點,進一步推測未知現(xiàn)象的特性和規(guī)律.法國物理學(xué)家?guī)靵鲈谘芯慨惙N電荷的吸引力問題時,曾將扭秤的振動周期與電荷間距離的關(guān)系類比單擺的振動周期與擺球到地心距離的關(guān)系.已知單擺擺長為l,引力常量為G,地球質(zhì)量為M,擺球到地心的距離為r,則單擺振動周期T與距離r的關(guān)系式為( B )
A.T=2πr B.T=2πr
C.T= D.T=2πl(wèi)
解析 在地球表面有G=mg,解得g=G.單擺的周期T=2π=2πr,選項B正確.
4.一豎直懸掛的彈簧振子,下端裝有一記錄筆,在豎直平面內(nèi)放置有一記錄紙,當(dāng)振子上下振動時,以速率v水平向左勻速拉動記錄紙,記錄筆在紙上留下如圖所示的圖象,y1、y2、x0、2x0為紙上印跡的位置坐標(biāo).由此圖求振動的周期和振幅.
解析 由圖象可知,記錄紙在一個周期內(nèi)沿x方向的位移為2x0,水平速度為v,故周期T=;又由圖象知2A=y(tǒng)1-y2,故振幅A=.
答案
課時達標(biāo) 第37講
[解密考綱]考查簡諧運動的表達式和圖象,單擺的周期公式的應(yīng)用,受迫振動和共振的概念的理解和應(yīng)用.
1.(多選)如圖所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖象.下列說法中正確的是( ABD )
A.甲、乙兩單擺的擺長相等
B.甲擺的振幅比乙擺大
C.甲擺的機械能比乙擺大
D.在t=0.5 s時有正向最大加速度的是乙擺
解析 振幅可從題圖上看出甲單擺大,故選項B正確.從圖看出兩擺周期相等,則擺長相等,因質(zhì)量關(guān)系不明確,無法比較機械能大?。畉=0.5 s時乙擺球在負的最大位移處,故有正向最大加速度,故選項A、B、D正確.
2.公路上勻速行駛的貨車受一擾動,車上貨物隨車廂底板上下振動但不脫離底板.—段時間內(nèi)貨物在豎直方向的振動可視為簡諧運動,周期為T.取豎直向上為正方向,以某時刻作為計時起點,即t=0,其振動圖象如圖所示,則( C )
A.t=T時,貨物對車廂底板的壓力最大
B.t=T時,貨物對車廂底板的壓力最小
C.t=T時,貨物對車廂底板的壓力最大
D.t=T時,貨物對車廂底板的壓力最小
解析 當(dāng)物體處平衡位置時,物體對車廂底板的壓力與物體受到的支持力大小相等;當(dāng)物體的加速度向上時,支持力大于重力;當(dāng)物體的加速度向下時,支持力小于重力.t=T時,貨物向下的加速度最大,貨物對車廂底板的壓力最小;t=T時,貨物的加速度為零,貨物對車廂底板的壓力等于重力大小;t=T時,貨物向上的加速度最大,則貨物對車廂底板的壓力最大.故選項C正確.
3.如圖所示,物體A和B用輕繩相連,掛在輕彈簧下靜止不動,A的質(zhì)量為m,B的質(zhì)量為M,彈簧的勁度系數(shù)為k.當(dāng)連接A、B的繩突然斷開后,物體A將在豎直方向上做簡諧運動,則A振動的振幅為( A )
A. B.
C. D.
解析 物體A振動的平衡位置彈簧彈力和A物體重力相等.物體B將A拉至平衡位置以下最大位移Δx=處,故A振動的振幅為,選項A正確.
4.(多選)一列簡諧橫波沿直線傳播.以波源O由平衡位置開始振動為計時零點,質(zhì)點A的振動圖象如圖所示,已知O、A的平衡位置相距0.9 m.以下判斷正確的是( AB )
A.波長為1.2 m B.波源起振方向沿y軸正方向
C.波速大小為0.4 m/s D.質(zhì)點A的動能在t=4 s時最大
解析 由圖可知波源起振后3 s質(zhì)點A開始振動,故波速大小v===0.3 m/s,選項C錯誤;由圖知波的周期即質(zhì)點A的振動周期T=4 s,故該波的波長λ=vT=1.2 m,選項A正確;因介質(zhì)中各質(zhì)點的起振方向與波源的起振方向相同,故由圖知選項B正確;由圖知t=4 s時質(zhì)點A處于正向最大位移處,此時質(zhì)點A的速度為零、動能為零,故選項D錯誤.
5.(多選)一個質(zhì)點在平衡位置O點附近做機械振動.若從O點開始計時,經(jīng)過3 s質(zhì)點第一次經(jīng)過M點(如圖所示);再繼續(xù)運動,又經(jīng)過2 s它第二次經(jīng)過M點.則該質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需要的時間是( CD )
A.8 s B.4 s
C.14 s D. s
解析 設(shè)圖中a、b兩點為質(zhì)點振動過程的最大位移處,若開始計時時刻,質(zhì)點從O點向右運動,O→M運動過程歷時3 s,M→b→M運動過程歷時2 s,顯然,=4 s,T=16 s.質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需要的時間Δt3=T-2 s=(16-2) s=14 s,故選項C正確.若開始計時時刻,質(zhì)點從O點向左運動,O→a→O→M運動過程歷時3 s,M→b→M運動過程歷時2 s,顯然,+=4 s,T= s.質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需要的時間Δt3′=T-2 s= s= s,故選項D正確.
6.(多選)一砝碼和一輕質(zhì)彈簧構(gòu)成彈簧振子,如圖甲所示的裝置可用于研究該彈簧振子的受迫振動.勻速轉(zhuǎn)動把手時,曲桿給彈簧振子以驅(qū)動力,使振子做受迫振動,把手勻速轉(zhuǎn)動的周期就是驅(qū)動力的周期,改變把手勻速轉(zhuǎn)動的速度就可以改變驅(qū)動力的周期.若保持把手不動,給砝碼一向下的初速度,砝碼便做簡諧運動,振動圖線如圖乙所示.當(dāng)把手以某一速度勻速轉(zhuǎn)動,受迫振動達到穩(wěn)定時,砝碼的振動圖線如圖丙所示.
若用T0表示彈簧振子的固有周期,T表示驅(qū)動力的周期,Y表示受迫振動達到穩(wěn)定后砝碼振動的振幅,則( AC )
A.由圖線可知T0=4 s
B.由圖線可知T0=8 s
C.當(dāng)T在4 s附近時,Y顯著增大;當(dāng)T比4 s小得多或大得多時,Y很小
D.當(dāng)T在8 s附近時,Y顯著增大;當(dāng)T比8 s小得多或大得多時,Y很小
解析 由圖可知彈簧振子的固有周期T0=4 s,故選項A正確,選項B錯誤;根據(jù)受迫振動的特點:當(dāng)驅(qū)動力的周期與系統(tǒng)的固有周期相同時發(fā)生共振,振幅最大;當(dāng)驅(qū)動力的周期與系統(tǒng)的固有周期相差越多時,受迫振動物體振動穩(wěn)定后的振幅越小,故選項C正確,選項D錯誤.
7.(多選)如圖所示,在一根張緊的水平繩上,懸掛有 a、b、c、d、e五個單擺,讓a擺略偏離平衡位置后無初速釋放,在垂直于紙面的平面內(nèi)振動,接著其余各擺也開始振動.下列說法中正確的是( AB )
A.各擺的振動周期與a擺相同
B.各擺的振幅大小不同,c擺的振幅最大
C.各擺的振動周期不同,c擺的周期最長
D.各擺均做自由振動
解析 a擺做的是自由振動,周期就等于a擺的固有周期,其余各擺均做受迫振動,所以振動周期均與a擺相同. c擺與a擺的擺長相同,所以c擺所受驅(qū)動力的頻率與其固有頻率相等,這樣c擺與a擺產(chǎn)生共振,故c擺的振幅最大.
8.如圖所示為一彈簧振子的振動圖象,試完成以下問題:
(1)寫出該振子簡諧運動的表達式.
(2)在第2 s末到第3 s末這段時間內(nèi),彈簧振子的加速度、速度、動能和彈性勢能各是怎樣變化的?
(3)該振子在前100 s的總位移是多少?路程是多少?
解析 (1)由振動圖象可得振幅A=5 cm,周期T=4 s,初相位φ=0,
則ω== rad/s,
故該振子做簡諧運動的表達式為x=5sin t(cm).
(2)由圖可知,在t=2 s時振子恰好通過平衡位置,此時加速度為零,隨著時間的延續(xù),位移值不斷加大,加速度的值也變大,速度值不斷變小,動能不斷減小,彈性勢能逐漸增大.當(dāng)t=3 s時,加速度的值達到最大,速度等于零,動能等于零,彈性勢能達到最大值.
(3)振子經(jīng)過一個周期位移為零,路程為5×4 cm=20 cm,前100 s剛好經(jīng)過了25個周期,所以前100 s振子位移x=0,
振子路程s=20×25 cm=500 cm=5 m.
答案 (1)x=5sin t(cm) (2)見解析 (3)0 5 m
9.在探究單擺周期與擺長關(guān)系的實驗中,
(1)關(guān)于安裝儀器及測量時的一些實驗操作,下列說法中正確的是( C )
A.用米尺測出擺線的長度,記為擺長l
B.先將擺球和擺線放在水平桌面上測量擺長l,再將單擺懸掛在鐵架臺上
C.使擺線偏離豎直方向某一角度α(接近5°),然后由靜止釋放擺球
D.測出擺球兩次通過最低點的時間間隔記為此單擺振動的周期
(2)實驗測得的數(shù)據(jù)如下表所示:
次數(shù)
1
2
3
4
5
擺長l/cm
80.00
90.00
100.00
110.00
120.00
30次全振動時間t/s
53.8
56.9
60.0
62.8
65.7
振動周期T/s
1.79
1.90
2.00
2.09
2.19
振動周期的平方T2/s2
3.20
3.61
4.00
4.37
4.80
請將測量數(shù)據(jù)標(biāo)在下圖中,并在圖中作出T2隨l變化的關(guān)系圖象.
(3)根據(jù)數(shù)據(jù)及圖象可知單擺周期的平方與擺長的關(guān)系是?。?!_成正比__;
(4)根據(jù)圖象,可求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹椋。?!_9.86__ m/s2.(π=3.14,結(jié)果保留三位有效數(shù)字)
答案 (2)如圖所示
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