第37講　機械振動 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.簡諧運動Ⅰ 2．簡諧運動的公式和圖象Ⅱ 3．單擺、周期公式Ⅰ 4．受迫振動和共振Ⅰ 2016·北京卷，15 高考對本部分知識的考查主要以選擇題的形式出現(xiàn)，但有時也會以計算題的形式考查．選擇題往往借助圖象綜合考查簡諧運動的特點、簡諧運動的公式、規(guī)律；計算題主要考查簡諧運動的受力特點和運動特點．學(xué)習(xí)中要注意掌握彈簧振子、單擺的運動特點、公式、圖象，并能與實際相結(jié)合解決相關(guān)實際問題 1．簡諧運動 (1)定義：物體在跟位移大小成正比并且總是指向__平衡位置__的回復(fù)力作用下的振動． (2)平衡位置：物體在振動過程中__回復(fù)力__為零的位置． (3)回復(fù)力 ①定義：使物體返回到__平衡位置__的力． ②方向：總是指向__平衡位置__． ③來源：屬于__效果__力，可以是某一個力，也可以是幾個力的__合力__或某個力的__分力__． (4)簡諧運動的兩種模型 ①彈簧振子 ②單擺 2．簡諧運動的公式和圖象 (1)簡諧運動的表達式 ①動力學(xué)表達式：F＝__－kx__，其中“－”表示回復(fù)力與位移的方向相反． ②運動學(xué)表達式：x＝?。?！　Asin(ωt＋φ)　###，其中A代表振幅，ω＝2πf表示簡諧運動的快慢，(ωt＋φ)代表簡諧運動的相位，φ叫做__初相__． (2)簡諧運動的圖象 ①從__平衡位置__開始計時，函數(shù)表達式為x＝Asin ωt，圖象如圖甲所示． ②從__最大位移__處開始計時，函數(shù)表達式為x＝Acos ωt，圖象如圖乙所示． 3．簡諧運動的運動規(guī)律 (1)對稱規(guī)律 ①做簡諧運動的物體，在關(guān)于平衡位置對稱的兩點，回復(fù)力、位移、加速度具有等大反向的關(guān)系．另外，速度的大小、動能具有__對稱性__，速度的方向可能__相同__或__相反__． ②振動物體來回通過相同的兩點間的時間相等，如tBC＝tCB；振動物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，如tBC__＝__tB′C′，如圖所示． (2)運動的周期性特征 相隔T或nT的兩個時刻振動物體處于同一位置且振動狀態(tài)相同． 4．受迫振動和共振 (1)受迫振動 系統(tǒng)在__驅(qū)動力__作用下的振動．做受迫振動的物體，它做受迫振動的周期(或頻率)等于__驅(qū)動力__的周期(或頻率)，而與物體的固有周期(或頻率)__無關(guān)__． (2)共振 做受迫振動的物體，它的驅(qū)動力的頻率與固有頻率越接近，其振幅就越大，當(dāng)二者__相等__時，振幅達到最大，這就是共振現(xiàn)象．共振曲線如圖所示． 1．判斷正誤 (1)簡諧運動是勻變速運動．(　×　) (2)簡諧運動平衡位置就是質(zhì)點所受合力為零的位置．(　×　) (3)做簡諧運動的質(zhì)點先后通過同一點，回復(fù)力、速度、加速度、位移都是相同的．(　×　) (4)做簡諧運動的質(zhì)點，速度增大時，其加速度一定減小．(　√　) (5)周期、頻率是表征物體做簡諧運動快慢程度的物理量．(　√　) (6)振幅等于振子運動軌跡的長度．(　×　) (7)單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動．(　×　) (8)物體做受迫振動時，其振動頻率與固有頻率無關(guān)．(　√　) (9)簡諧運動的圖象描述的是振動質(zhì)點的軌跡．(　×　) 2．一個彈簧振子沿x軸做簡諧運動，取平衡位置O為x軸坐標(biāo)原點．從某時刻開始計時，經(jīng)過四分之一周期，振子具有沿x軸正方向的最大加速度．能正確反映振子位移x與時間t關(guān)系的圖象是(　A　) 3．(多選)某振動系統(tǒng)的固有頻率為f0，在周期性驅(qū)動力的作用下做受迫振動，驅(qū)動力的頻率為f，若驅(qū)動力的振幅保持不變，下列說法正確的是(　BD　) A．當(dāng)f<f0時，該振動系統(tǒng)的振幅隨f增大而減小 B．當(dāng)f>f0時，該振動系統(tǒng)的振幅隨f減小而增大 C．該振動系統(tǒng)的振動穩(wěn)定后，振動的頻率等于f0 D．該振動系統(tǒng)的振動穩(wěn)定后，振動的頻率等于f 一　簡諧運動的五個特征 1．動力學(xué)特征 F＝－kx，“－”表示回復(fù)力的方向與位移方向相反，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)． 2．運動學(xué)特征 a＝－x，簡諧運動的加速度與物體偏離平衡位置的位移成正比而方向相反，為變加速運動，遠離平衡位置時，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均減小，靠近平衡位置時則相反． 3．運動的周期性特征 相隔T或nT的兩個時刻振子處于同一位置且振動狀態(tài)相同． 4．對稱性特征 (1)相隔或(n為正整數(shù))的兩個時刻，振子位置關(guān)于平衡位置對稱，位移、速度、加速度大小相等，方向相反． (2)如圖所示，振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP＝OP′)時，速度的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等． (3)振子由P到O所用時間等于由O到P′所用時間，即tPO＝tOP′.　 (4)振子往復(fù)過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等，即tOP＝tPO． 5．能量特征 振動的能量包括動能Ek和勢能Ep，簡諧運動過程中，系統(tǒng)動能與勢能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機械能守恒． 分析簡諧運動的技巧 (1)分析簡諧運動中各物理量的變化情況時，一定要以位移為橋梁，位移增大時，振動質(zhì)點的回復(fù)力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減小；反之，則產(chǎn)生相反的變化．另外，各矢量均在其值為零時改變方向． (2)分析過程中要特別注意簡諧運動的周期性和對稱性． [例1](多選)一簡諧振子沿x軸振動，平衡位置在坐標(biāo)原點．t＝0時刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s時刻x＝0.1 m；t＝4 s時刻x＝0.1 m．該振子的振幅和周期可能為(　AD　) A．0.1 m， s　　　　　　 B．0.1 m,8 s C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s 解析　在t＝ s和t＝4 s兩時刻振子的位移相同，第一種情況是當(dāng)此時間差是周期的整數(shù)倍時，有4 s－ s＝nT，當(dāng)n＝1時T＝ s．在 s的半個周期內(nèi)振子的位移由負的最大變?yōu)檎淖畲?，所以振幅?.1 m，因此選項A正確． 第二種情況是此時間差不是周期的整數(shù)倍，則＋＝nT＋． 當(dāng)n＝0時，T＝8 s，設(shè)x＝Asin(ωt＋φ)，因為T＝8 s，ω＝＝． 由已知得0.1＝Asin ， ① －0.1＝Asin ， ② 可求得φ＝－， 所以x＝Asin ，將已知條件代入，得振幅為0.2 m，故選項D正確． 　二　簡諧運動的圖象 1．根據(jù)簡諧運動圖象可獲取的信息 (1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ(如圖所示)． (2)某時刻振動質(zhì)點離開平衡位置的位移． (3)某時刻質(zhì)點速度的大小和方向：曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質(zhì)點的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根據(jù)下一時刻物體的位移的變化來確定． (4)某時刻質(zhì)點的回復(fù)力和加速度的方向：回復(fù)力總是指向平衡位置，回復(fù)力和加速度的方向相同，在圖象上總是指向t軸． (5)某段時間內(nèi)質(zhì)點的位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況． 2．利用簡諧運動圖象理解簡諧運動的對稱性 (1)相隔Δt＝n＋T (n＝0,1,2，…)的兩個時刻，彈簧振子的位置關(guān)于平衡位置對稱，位移等大反向，速度也等大反向． (2)相隔Δt＝nT (n＝0,1,2，…)的兩個時刻，彈簧振子在同一位置，位移和速度都相同． [例2]一質(zhì)點做簡諧運動，其位移和時間的關(guān)系如圖所示． (1)求t＝0.25×10－2 s時質(zhì)點的位移； (2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振動過程中，質(zhì)點的位移、回復(fù)力、速度、動能、勢能如何變化？ (3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s時間內(nèi)，質(zhì)點的路程、位移各多大？ [思維導(dǎo)引]　(1)看下一時刻位移增加，速度遠離時間軸，向正方向運動，否則向負方向運動．加速度方向永遠指向時間軸，指向平衡位置． (2)先增大，后減小，圖象上斜率表示速度． 解析　(1)由題圖可知A＝2 cm，T＝2×10－2s，振動方程為x＝Asin ＝－Acos ωt＝－2cos t cm＝－2cos 100πt cm 當(dāng)t＝0.25×10－2s時，x＝－2cos cm＝－ cm． (2)由題圖可知在1.5×10－2 s到2×10－2 s的振動過程中，質(zhì)點的位移變大，回復(fù)力變大，速度變小，動能變小，勢能變大． (3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s時間內(nèi)經(jīng)歷個周期，質(zhì)點的路程s＝17A＝34 cm，位移x＝2 cm． 答案　x＝－ cm　(2)位移變大，回復(fù)力變大，速度變小，動能變小，勢能變大　(3)34 cm　2 cm 　三　受迫振動和共振 1．自由振動、受迫振動和共振的比較 　　振動 項目　　 自由振動 受迫振動 共振 受力情況 僅受回復(fù)力 受驅(qū)動力作用 受驅(qū)動力作用 振動周期 或頻率　 由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，即固有周期T0或固有頻率f0 由驅(qū)動力的周期或頻率決定，即T＝T驅(qū)或f＝f驅(qū) T驅(qū)＝T0或f驅(qū)＝f0　 振動能量 振動物體的機械能不變 由產(chǎn)生驅(qū)動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大 常見例子 彈簧振子或單擺(θ≤5°) 機械工作時底座發(fā)生的振動 共振篩、聲音的共鳴等 2．對共振的理解 (1)共振曲線：如圖所示，橫坐標(biāo)為驅(qū)動力頻率f，縱坐標(biāo)為振幅A.它直觀地反映了驅(qū)動力頻率對某振動系統(tǒng)受迫振動振幅的影響，由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大；當(dāng)f＝f0時，振幅A最大． (2)受迫振動中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化：受迫振動系統(tǒng)機械能不守恒，系統(tǒng)與外界時刻進行能量交換． [例3](多選)如圖所示是一個單擺做受迫振動時的共振曲線，表示振幅A與驅(qū)動力的頻率f的關(guān)系．下列說法正確的是(　BD　) A．?dāng)[長約為10 cm B．?dāng)[長約為1 m C．若增大擺長，共振曲線的“峰”將向右移動 D．若增大擺長，共振曲線的“峰”將向左移動 解析　根據(jù)圖象可看出單擺的固有頻率為0.5 Hz，即周期為2 s. 根據(jù)周期公式很容易算出擺長約為1 m，故選項A錯誤，B正確；若增大擺長，單擺周期將變長，固有頻率變小，所以共振曲線的“峰”將向左移動，選項C錯誤，D正確． (1)無論發(fā)生共振與否，受迫振動的頻率都等于驅(qū)動力的頻率，但只有發(fā)生共振現(xiàn)象時振幅才能達到最大． (2)受迫振動系統(tǒng)中的能量轉(zhuǎn)化不再只有系統(tǒng)內(nèi)部動能和勢能的轉(zhuǎn)化，還有驅(qū)動力對系統(tǒng)做正功補償系統(tǒng)因克服阻力而損失的機械能． 1．如圖所示，一單擺懸于O點，擺長為L，若在O點的正下方的O′點釘一個光滑釘子，使OO′＝，將單擺拉至A處釋放，小球?qū)⒃贏、B、C間來回振動，若振動中擺線與豎直方向夾角小于5°，則此擺的周期是(　D　) A．2π B．2π C．2π(＋) D．π(＋) 解析　根據(jù)T＝2π，該單擺在右邊擺動的擺長為L，在左邊擺動的擺長為L，故T＝π＋π＝π(＋)，故選項D正確． 2．(多選)甲、乙兩彈簧振子的振動圖象如圖所示，則可知(　CE　) A．兩彈簧振子完全相同 B．兩彈簧振子所受回復(fù)力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1 C．振子甲速度為零時，振子乙速度最大 D．兩振子的振動頻率之比f甲∶f乙＝2∶1 E．振子乙速度為最大時，振子甲速度不一定為零 解析　從圖象中可以看出，兩彈簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶ 1，則頻率之比f甲∶f乙＝1∶2，選項D錯誤；彈簧振子周期與振子質(zhì)量、彈簧勁度系數(shù)k有關(guān)，周期不同，說明兩彈簧振子不同，選項A錯誤；由于彈簧的勁度系數(shù)k不一定相同，所以兩振子所受回復(fù)力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定為2∶1，選項B錯誤，由簡諧運動的特點可知，在振子到達平衡位置時位移為零，速度最大，在振子到達最大位移處時，速度為零，從圖象中可以看出，在振子甲到達最大位移處時，振子乙恰好到達平衡位置，選項C正確；當(dāng)振子乙到達平衡位置時，振子甲有兩個可能的位置，一個是最大位移處，一個是平衡位置，選項E正確． 3．如圖甲所示，彈簧振子以O(shè)點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動．取向右為正方向，振子的位移x隨時間t的變化圖象如圖乙所示，下列說法正確的是(　A　) A．t＝0.8 s時，振子的速度方向向左 B．t＝0.2 s時，振子在O點右側(cè)6 cm處 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振子的加速度完全相同 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內(nèi)，振子的速度逐漸減小 解析　t＝0.8 s時起，再過一段微小時間，振子的位移為負值，因為取向右為正方向，故t＝0.8 s時，速度方向向左，選項A正確；由題圖乙得振子的位移x＝12sin t cm，故t＝0.2 s時，x＝6 cm，故選項B錯誤；t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振子的位移方向相反，由a＝知，加速度方向相反，選項C錯誤；t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內(nèi)，振子的位移逐漸變小，故振子逐漸靠近平衡位置，其速度逐漸變大，故選項D錯誤． 4．(2017·浙江嘉興質(zhì)檢)彈簧振子以O(shè)點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，在t＝0時刻，振子從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.20 s時刻，振子速度第一次變?yōu)椋璿；在t＝0.50 s時刻，振子速度第二次變?yōu)椋璿． (1)求彈簧振子的振動周期T； (2)若B、C之間的距離為25 cm，求振子在4.0 s內(nèi)通過的路程； (3)若B、C之間的距離為25 cm，從平衡位置開始計時，寫出彈簧振子位移表達式，并畫出彈簧振子的振動圖象． 解析　(1)畫出彈簧振子簡諧運動示意圖如圖所示． 由對稱性可得T＝0.5×2 s＝1.0 s． (2)若B、C之間距離為25 cm，則振幅A＝×25 cm＝12.5 cm， 振子4.0 s內(nèi)通過的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm． (3)根據(jù)x＝Asin ωt，A＝12.5 cm，ω＝ ＝2π rad/s，得x＝12.5 sin 2πt cm． 答案　(1)1 s　(2)200 cm　(3)x＝12.5 sin 2πt cm　圖象見解析圖 [例1](2017·山東臨沂檢測·6分)某彈簧振子的振動圖象如圖所示．根據(jù)圖象判斷，下列說法正確的是(　　) A．第1 s內(nèi)振子相對于平衡位置的位移與速度方向相反 B．第2 s末振子相對于平衡位置的位移為－20 cm C．第2 s末和第3 s末振子相對于平衡位置的位移不相同，但瞬時速度方向相反 D．第1 s內(nèi)和第2 s內(nèi)振子相對于平衡位置的位移方向相同，瞬時速度方向相反 [答題送檢]來自閱卷名師報告 錯誤 致錯原因 扣分 C 沒有理解振動圖象表達的物理意義．第2 s末振子速度最大，第3 s末振子的瞬時速度為0. －6 [解析]　第1 s內(nèi)振子相對于平衡位置的位移為正方向，速度方向也為正方向，選項A錯誤；第2 s末振子在平衡位置，位移為零，選項B錯誤；第3 s末振子相對于平衡位置的位移為－20 cm，第2 s末振子恰好過平衡位置，且正向－x軸方向運動，而第3 s末振子瞬時速度剛好為零，所以選項C錯誤；第2 s內(nèi)振子相對于平衡位置的位移方向是正方向，所以選項D正確． [答案]　D [例2](2017·江蘇常州質(zhì)檢·6分)如圖表示一彈簧振子做受迫振動時的振幅與驅(qū)動力頻率的關(guān)系，由圖可知(　　) A．驅(qū)動力頻率為f2時，振子處于共振狀態(tài) B．驅(qū)動力頻率為f3時，振子振動頻率為f3 C．假如讓振子自由振動，它的頻率為f2 D．振子做自由振動時，頻率可以為f1、f2、f3 [答題送檢]來自閱卷名師報告 錯誤 致錯原因 扣分 D 混淆自由振動和受迫振動的概念，自由振動是僅受回復(fù)力的振動，其振動周期和頻率由自身固有周期和固有頻率決定. －6 [解析]　理解共振曲線是關(guān)鍵，驅(qū)動力頻率為f2時彈簧振子的振幅最大，f2也就等于彈簧振子的固有頻率，故振子自由振動時，它的頻率為固有頻率f2，當(dāng)驅(qū)動力頻率為f1、f3時，彈簧振子只做受迫振動，其頻率與振子固有頻率無關(guān)． [答案]　ABC 1．(多選)如圖所示，兩個質(zhì)量分別為M和m的小球，懸掛在同一根水平細線上，當(dāng)M在垂直于水平細線的平面內(nèi)擺動時，下列說法正確的是(　ABD　) A．兩擺的振動周期是相同的 B．當(dāng)兩擺的擺長相等時，m擺的振幅最大 C．懸掛M的豎直細線長度變化時，m的振幅不變 D．m擺的振幅可能超過M擺的振幅 解析　M擺動時，m擺做受迫振動，穩(wěn)定后，m擺的振動周期應(yīng)等于驅(qū)動力的周期，即等于M擺的周期，故選項A正確；當(dāng)m擺長與M擺長相等時，兩者的固有周期相等，而M擺的固有用期就是使m做受迫振動的驅(qū)動力的周期，可見m擺處于共振狀態(tài)，選項B正確；M擺長發(fā)生變化，就是使m做受迫振動的驅(qū)動力周期發(fā)生變化，由于m的固有周期不變，這樣兩個周期差別就發(fā)生了變化，因而m的振幅也發(fā)生了變化，選項C錯誤；單擺振動的能量不僅與振幅有關(guān)，還跟振動系統(tǒng)的質(zhì)量有關(guān)，如果M的質(zhì)量比m大得多，從M向m傳遞的能量有可能使m的振幅大于M的振幅，選項D正確． 2．(多選)如圖所示為兩單擺分別在受迫振動中的共振曲線，則下列說法正確的是(　ABC　) A．若兩擺的受迫振動分別在月球上和地球上進行，且擺長相同，則圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線 B．若兩擺的受迫振動是在地球上同一地點進行，則兩擺擺長之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4 C．圖線Ⅱ若表示在地面上完成的，則該單擺擺長約為1 m D．若擺長均為1 m，則圖線Ⅰ表示在地面上完成的 解析　圖線中振幅最大處對應(yīng)的頻率應(yīng)與做受迫振動的單擺的固有頻率相等，從圖線上可以看出，兩擺的固有頻率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.當(dāng)兩擺在月球和地球上分別做受迫振動且擺長相等時，根據(jù)公式f＝可知，g越大，f越大，所以gⅡ>gⅠ，因為g地>g月，固可推知圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線，選項A正確；若在地球上同一地點進行兩次受迫振動，g相同，擺長長的f小，且有＝，所以＝，選項B正確；fⅡ＝0.5 Hz，若圖線Ⅱ表示在地面上完成的，根據(jù)g＝9.8 m/s2，可計算出LⅡ約為1 m，選項C正確，D錯誤． 3．(多選)(2017·福建福州檢測)一彈簧振子沿x軸振動，振幅為4 cm，振子的平衡位置位于x軸上的O點．圖甲上的a、b、c、d為四個不同的振動狀態(tài)；黑點表示振子的位置，黑點上的箭頭表示運動的方向．圖乙給出的①②③④四條振動圖線，可用于表示振子的振動圖象的是(　AD　) 甲 乙 A．若規(guī)定狀態(tài)a時t＝0，則圖象為① B．若規(guī)定狀態(tài)b時t＝0，則圖象為② C．若規(guī)定狀態(tài)c時t＝0，則圖象為③ D．若規(guī)定狀態(tài)d時t＝0，則圖象為④ 解析　振子在狀態(tài)a時t＝0，此時的位移為3 cm，且向規(guī)定的正方向運動，故選項A正確；振子在狀態(tài)b時t＝0，此時的位移為2 cm，且向規(guī)定的負方向運動，選項B錯誤；振子在狀態(tài)d時t＝0，此時位移為－4 cm，速度為零，故選項D正確． 1．如圖所示，彈簧振子在M、N之間做簡諧運動．以平衡位置O為原點，建立Ox軸，向右為x軸正方向．若振子位于N點時開始計時，則其振動圖象為(　A　) 解析　由題意，向右為x軸的正方向，振子位于N點時開始計時，因此t＝0時，振子的位移為正的最大值，振動圖象為余弦函數(shù)，選項A正確． 2．(多選)如圖所示，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡諧運動．以豎直向上為正方向，物塊簡諧運動的表達式為y＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0時刻，一小球從距物塊h高處自由落下；t＝0.6 s時，小球恰好與物塊處于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判斷正確的是(　AB　) A．h＝1.7 m B．簡諧運動的周期是0.8 s C．0.6 s內(nèi)物塊運動的路程是0.2 m D．t＝0.4 s時，物塊與小球運動方向相反 解析　t＝0.6 s時，物塊的位移為y＝0.1 sin(2.5π×0.6) m＝－0.1 m，則對小球h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，選項A正確；簡諧運動的周期是T＝＝＝0.8 s，選項B正確；0.6 s內(nèi)物塊運動的路程是3A＝0.3 m，選項C錯誤；t＝0.4 s＝時，物塊經(jīng)過平衡位置向下運動，則此時物塊與小球運動方向相同，選項D錯誤． 3．在科學(xué)研究中，科學(xué)家常將未知現(xiàn)象同已知現(xiàn)象進行比較，找出其共同點，進一步推測未知現(xiàn)象的特性和規(guī)律．法國物理學(xué)家?guī)靵鲈谘芯慨惙N電荷的吸引力問題時，曾將扭秤的振動周期與電荷間距離的關(guān)系類比單擺的振動周期與擺球到地心距離的關(guān)系．已知單擺擺長為l，引力常量為G，地球質(zhì)量為M，擺球到地心的距離為r，則單擺振動周期T與距離r的關(guān)系式為(　B　) A．T＝2πr　　　　　 B．T＝2πr C．T＝ D．T＝2πl(wèi) 解析　在地球表面有G＝mg，解得g＝G.單擺的周期T＝2π＝2πr，選項B正確． 4．一豎直懸掛的彈簧振子，下端裝有一記錄筆，在豎直平面內(nèi)放置有一記錄紙，當(dāng)振子上下振動時，以速率v水平向左勻速拉動記錄紙，記錄筆在紙上留下如圖所示的圖象，y1、y2、x0、2x0為紙上印跡的位置坐標(biāo)．由此圖求振動的周期和振幅． 解析　由圖象可知，記錄紙在一個周期內(nèi)沿x方向的位移為2x0，水平速度為v，故周期T＝；又由圖象知2A＝y(tǒng)1－y2，故振幅A＝.　 答案　　 課時達標(biāo)　第37講 [解密考綱]考查簡諧運動的表達式和圖象，單擺的周期公式的應(yīng)用，受迫振動和共振的概念的理解和應(yīng)用． 1．(多選)如圖所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖象．下列說法中正確的是(　ABD　) A．甲、乙兩單擺的擺長相等 B．甲擺的振幅比乙擺大 C．甲擺的機械能比乙擺大 D．在t＝0.5 s時有正向最大加速度的是乙擺 解析　振幅可從題圖上看出甲單擺大，故選項B正確．從圖看出兩擺周期相等，則擺長相等，因質(zhì)量關(guān)系不明確，無法比較機械能大?。畉＝0.5 s時乙擺球在負的最大位移處，故有正向最大加速度，故選項A、B、D正確． 2．公路上勻速行駛的貨車受一擾動，車上貨物隨車廂底板上下振動但不脫離底板．—段時間內(nèi)貨物在豎直方向的振動可視為簡諧運動，周期為T.取豎直向上為正方向，以某時刻作為計時起點，即t＝0，其振動圖象如圖所示，則(　C　) A．t＝T時，貨物對車廂底板的壓力最大 B．t＝T時，貨物對車廂底板的壓力最小 C．t＝T時，貨物對車廂底板的壓力最大 D．t＝T時，貨物對車廂底板的壓力最小 解析　當(dāng)物體處平衡位置時，物體對車廂底板的壓力與物體受到的支持力大小相等；當(dāng)物體的加速度向上時，支持力大于重力；當(dāng)物體的加速度向下時，支持力小于重力．t＝T時，貨物向下的加速度最大，貨物對車廂底板的壓力最小；t＝T時，貨物的加速度為零，貨物對車廂底板的壓力等于重力大小；t＝T時，貨物向上的加速度最大，則貨物對車廂底板的壓力最大．故選項C正確． 3．如圖所示，物體A和B用輕繩相連，掛在輕彈簧下靜止不動，A的質(zhì)量為m，B的質(zhì)量為M，彈簧的勁度系數(shù)為k.當(dāng)連接A、B的繩突然斷開后，物體A將在豎直方向上做簡諧運動，則A振動的振幅為(　A　) A． B． C． D． 解析　物體A振動的平衡位置彈簧彈力和A物體重力相等．物體B將A拉至平衡位置以下最大位移Δx＝處，故A振動的振幅為，選項A正確． 4．(多選)一列簡諧橫波沿直線傳播．以波源O由平衡位置開始振動為計時零點，質(zhì)點A的振動圖象如圖所示，已知O、A的平衡位置相距0.9 m．以下判斷正確的是(　AB　) A．波長為1.2 m B．波源起振方向沿y軸正方向 C．波速大小為0.4 m/s D．質(zhì)點A的動能在t＝4 s時最大 解析　由圖可知波源起振后3 s質(zhì)點A開始振動，故波速大小v＝＝＝0.3 m/s，選項C錯誤；由圖知波的周期即質(zhì)點A的振動周期T＝4 s，故該波的波長λ＝vT＝1.2 m，選項A正確；因介質(zhì)中各質(zhì)點的起振方向與波源的起振方向相同，故由圖知選項B正確；由圖知t＝4 s時質(zhì)點A處于正向最大位移處，此時質(zhì)點A的速度為零、動能為零，故選項D錯誤． 5．(多選)一個質(zhì)點在平衡位置O點附近做機械振動．若從O點開始計時，經(jīng)過3 s質(zhì)點第一次經(jīng)過M點(如圖所示)；再繼續(xù)運動，又經(jīng)過2 s它第二次經(jīng)過M點．則該質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需要的時間是(　CD　) A．8 s B．4 s C．14 s D． s 解析　設(shè)圖中a、b兩點為質(zhì)點振動過程的最大位移處，若開始計時時刻，質(zhì)點從O點向右運動，O→M運動過程歷時3 s，M→b→M運動過程歷時2 s，顯然，＝4 s，T＝16 s．質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需要的時間Δt3＝T－2 s＝(16－2) s＝14 s，故選項C正確．若開始計時時刻，質(zhì)點從O點向左運動，O→a→O→M運動過程歷時3 s，M→b→M運動過程歷時2 s，顯然，＋＝4 s，T＝ s．質(zhì)點第三次經(jīng)過M點還需要的時間Δt3′＝T－2 s＝ s＝ s，故選項D正確． 6．(多選)一砝碼和一輕質(zhì)彈簧構(gòu)成彈簧振子，如圖甲所示的裝置可用于研究該彈簧振子的受迫振動．勻速轉(zhuǎn)動把手時，曲桿給彈簧振子以驅(qū)動力，使振子做受迫振動，把手勻速轉(zhuǎn)動的周期就是驅(qū)動力的周期，改變把手勻速轉(zhuǎn)動的速度就可以改變驅(qū)動力的周期．若保持把手不動，給砝碼一向下的初速度，砝碼便做簡諧運動，振動圖線如圖乙所示．當(dāng)把手以某一速度勻速轉(zhuǎn)動，受迫振動達到穩(wěn)定時，砝碼的振動圖線如圖丙所示． 若用T0表示彈簧振子的固有周期，T表示驅(qū)動力的周期，Y表示受迫振動達到穩(wěn)定后砝碼振動的振幅，則(　AC　) A．由圖線可知T0＝4 s B．由圖線可知T0＝8 s C．當(dāng)T在4 s附近時，Y顯著增大；當(dāng)T比4 s小得多或大得多時，Y很小 D．當(dāng)T在8 s附近時，Y顯著增大；當(dāng)T比8 s小得多或大得多時，Y很小 解析　由圖可知彈簧振子的固有周期T0＝4 s，故選項A正確，選項B錯誤；根據(jù)受迫振動的特點：當(dāng)驅(qū)動力的周期與系統(tǒng)的固有周期相同時發(fā)生共振，振幅最大；當(dāng)驅(qū)動力的周期與系統(tǒng)的固有周期相差越多時，受迫振動物體振動穩(wěn)定后的振幅越小，故選項C正確，選項D錯誤． 7．(多選)如圖所示，在一根張緊的水平繩上，懸掛有 a、b、c、d、e五個單擺，讓a擺略偏離平衡位置后無初速釋放，在垂直于紙面的平面內(nèi)振動，接著其余各擺也開始振動．下列說法中正確的是(　AB　) A．各擺的振動周期與a擺相同 B．各擺的振幅大小不同，c擺的振幅最大 C．各擺的振動周期不同，c擺的周期最長 D．各擺均做自由振動 解析　a擺做的是自由振動，周期就等于a擺的固有周期，其余各擺均做受迫振動，所以振動周期均與a擺相同. c擺與a擺的擺長相同，所以c擺所受驅(qū)動力的頻率與其固有頻率相等，這樣c擺與a擺產(chǎn)生共振，故c擺的振幅最大． 8．如圖所示為一彈簧振子的振動圖象，試完成以下問題： (1)寫出該振子簡諧運動的表達式． (2)在第2 s末到第3 s末這段時間內(nèi)，彈簧振子的加速度、速度、動能和彈性勢能各是怎樣變化的？ (3)該振子在前100 s的總位移是多少？路程是多少？ 解析　(1)由振動圖象可得振幅A＝5 cm，周期T＝4 s，初相位φ＝0， 則ω＝＝ rad/s， 故該振子做簡諧運動的表達式為x＝5sin t(cm)． (2)由圖可知，在t＝2 s時振子恰好通過平衡位置，此時加速度為零，隨著時間的延續(xù)，位移值不斷加大，加速度的值也變大，速度值不斷變小，動能不斷減小，彈性勢能逐漸增大．當(dāng)t＝3 s時，加速度的值達到最大，速度等于零，動能等于零，彈性勢能達到最大值． (3)振子經(jīng)過一個周期位移為零，路程為5×4 cm＝20 cm，前100 s剛好經(jīng)過了25個周期，所以前100 s振子位移x＝0， 振子路程s＝20×25 cm＝500 cm＝5 m． 答案　(1)x＝5sin t(cm)　(2)見解析　(3)0　5 m 9．在探究單擺周期與擺長關(guān)系的實驗中， (1)關(guān)于安裝儀器及測量時的一些實驗操作，下列說法中正確的是(　C　) A．用米尺測出擺線的長度，記為擺長l B．先將擺球和擺線放在水平桌面上測量擺長l，再將單擺懸掛在鐵架臺上 C．使擺線偏離豎直方向某一角度α(接近5°)，然后由靜止釋放擺球 D．測出擺球兩次通過最低點的時間間隔記為此單擺振動的周期 (2)實驗測得的數(shù)據(jù)如下表所示： 次數(shù) 1 2 3 4 5 擺長l/cm 80.00 90.00 100.00 110.00 120.00 30次全振動時間t/s 53.8 56.9 60.0 62.8 65.7 振動周期T/s 1.79 1.90 2.00 2.09 2.19 振動周期的平方T2/s2 3.20 3.61 4.00 4.37 4.80 請將測量數(shù)據(jù)標(biāo)在下圖中，并在圖中作出T2隨l變化的關(guān)系圖象． (3)根據(jù)數(shù)據(jù)及圖象可知單擺周期的平方與擺長的關(guān)系是?。?！_成正比__； (4)根據(jù)圖象，可求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹椋。?！_9.86__ m/s2.(π＝3.14，結(jié)果保留三位有效數(shù)字) 答案　(2)如圖所示 19