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1、第一節(jié) 方差分析的基本原理一、方差分析的數(shù)學(xué)模型 二、方差分析的一般步驟 三、多重比較第1頁/共109頁 假設(shè)測驗：一個或兩個樣本平均數(shù)的比較。 方差分析：3個和3個以上樣本平均數(shù)的比較。 方差分析：按變異來源將總變異分解為不同的部分，并利用各變異原因在總變異中的相對重要程度進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法。 方差分析測驗的依據(jù)：在扣除了各種試驗原因所引起的變異后，所剩下的變異提供了試驗誤差的無偏估計。 方差分析也是通過將處理的表面效應(yīng)與其誤差進(jìn)行比較進(jìn)行統(tǒng)計推斷，其度量變異程度的方式為樣本方差。 各種類型方差分析的基本原理和步驟相同。 第2頁/共109頁 如：以A、B、C、D等 4種藥劑處理水稻種子，其中

2、A為對照，每處理各得4個苗高觀察值（cm），其結(jié)果見下表。 x藥劑藥劑苗高觀察值苗高觀察值 A18, 21, 20, 1318B20, 24, 26, 2223C10, 15, 17, 1414D28, 27, 29, 3229 總總=21x第3頁/共109頁一、方差分析的數(shù)學(xué)模型 以單因素完全隨機(jī)設(shè)計試驗資料為例 假設(shè)有k個處理，n次重復(fù)，共有nk個觀察值。 處理處理觀察值觀察值xij總和總和T 平均平均A1x11x12x1jx1nT1A2x21x22x2jx2nT2Aixi1xi2xijxinTiAkxk1xk2xkjxknTk.總和總和T總總1x總總x2xixkxx第4頁/共109頁xi

3、j表示第i個處理的第j個觀察值（i1，2，k；j1，2，n）xij可以表示為xijiij，其中，i為第i個處理觀察值總體平均數(shù)；ij為試驗誤差，ij之間相互獨立并且服從正態(tài)分布N（0，2）。第5頁/共109頁 如果令 ，i i- 那么， xiji ij ，其中，為全部觀察值總體平均數(shù)，i為第i個處理的處理效應(yīng)，表示處理i對試驗結(jié)果產(chǎn)生的影響。有： 。xiji ij叫做單因素完全隨機(jī)設(shè)計試驗資料的數(shù)學(xué)模型。 在這個模型中，每一個觀察值xij可以表示為總平均數(shù)、處理效應(yīng)i、試驗誤差ij之和。11kiik 10kii 第6頁/共109頁 如：以A、B、C、D等 4種藥劑處理水稻種子，其中A為對照，每

4、處理各得4個苗高觀察值（cm），其結(jié)果見下表。 x藥劑藥劑苗高觀察值苗高觀察值 A18, 21, 20, 1318B20, 24, 26, 2223C10, 15, 17, 1414D28, 27, 29, 3229 總總=21x第7頁/共109頁二、方差分析的一般步驟1、自由度與平方和的分解 由于方差是平方和除以自由度的商，所以要將全部觀察值的總變異分解為各個來源的變異，首先要將總自由度和總平方和分解為各個變異來源的相應(yīng)部分。 因此，自由度與平方和的分解是進(jìn)行方差分析的第一步。 第8頁/共109頁（1）總平方和的分解 我們通過恒等變換來分解總平方和。 對第i個處理的平方和，有： njijxx

5、12)(總njinjiiijnjiijxxxxxxxx12112)()( 2)(總總njiiijxxxx12)(總njiiijxxxx12總第9頁/共109頁 由于 所以 對于全部k個處理21212)()()(總總總總xxnxxxxinjiijnjij 0)(1 njiijxx kiikinjiijkinjijxxnxxxx12112112)()()(總總總總總平方和總平方和 = 組內(nèi)（誤差）平方和組內(nèi)（誤差）平方和 + 處理平方和處理平方和 SST = SSe + SSt第10頁/共109頁 由于 所以 nknkijijTnkTxxxSS12122)(總總總總矯正數(shù)矯正數(shù)C knTnTknT

6、nTkxxxxiiiiiikii2222222212 總總 CnTnkTnTknTnTnxxnSSiiiikit 222222212總總總總 kinjtTiijeSSSSxxSS112)( knTnTknTnTkxxxxiiiiiikii2222222212 總總 knTnTknTnTkxxxxiiiiiikii2222222212 總總 knTnTknTnTkxxxxiiiiiikii2222222212 總總第11頁/共109頁（2）總自由度的分解 總自由度：在計算總平方和時，資料中的kn個觀察值的離均差（ ）要受到 這個條件的約束，所以總自由度等于全部觀察值的個數(shù)減1，即kn1，記為df

7、Tkn1。 處理間自由度：在計算處理間平方和時， k個處理的平均數(shù)離均差（ ）要受到 這個條件的約束，所以處理間自由度等于處理的個數(shù)減1，即k1，記為dftk1。 總總xxij kinjijxx110)(總總總總xxi 0)(1 kiixx總總第12頁/共109頁 處理內(nèi)自由度：在計算處理內(nèi)平方和時，kn個離均差（ ）要受到k個條件的約束，即 （i1，2，k），所以處理內(nèi)自由度等于全部觀察值的個數(shù)減k，即knk，記為dfeknkk（n1）。 由于kn1knkk1k（n1）（k1） 所以，dfTdftdfe。iijxx 0)(1 njiijxx第13頁/共109頁 各項平方和除以各自的自由度便得

8、到總均方（方差）、處理間均方（方差）和處理內(nèi)均方（方差） ：MSTsT2SST/dfTMStst2SSt/dftMSese2SSe/dfe 處理內(nèi)均方也稱誤差均方，是多個總體或處理所提供的處理內(nèi)變異（或誤差）的平均值。 注意：總均方一般不等于處理間均方與處理內(nèi)均方之和。第14頁/共109頁 如：以A、B、C、D等 4種藥劑處理水稻種子，其中A為對照，每處理各得4個苗高觀察值（cm），其結(jié)果見下表。試分解其自由度和平方和。 藥劑藥劑苗高觀察值苗高觀察值A(chǔ)18, 21, 20, 13B20, 24, 26, 22C10, 15, 17, 14D28, 27, 29, 32應(yīng)用舉例第15頁/共109

9、頁（1）總自由度的分解： 總自由度：dfT=(nk1)=(44)1=15 藥劑間自由度dft=(k1)=41=3 藥劑內(nèi)自由度dfe=k(n1)=4(41)=12藥劑藥劑 苗高觀察值苗高觀察值總和總和Ti 平均平均 A18 21 20 137218B20 24 26 229223C10 15 17 145614D28 27 29 3211629T總總=336 =21ix總總x第16頁/共109頁（2）總平方和的分解： 總平方和： 藥劑間平方和： 藥劑內(nèi)平方和：70564433622 nkTC總總6023221182222 CCxSSijT5044)116569272(22222 C/CnTSS

10、it98504602 tTeSSSSSS第17頁/共109頁（3）各項均方MSTsT2602/15=40.13MStst2504/3=168.00MSese298/12=8.17 第18頁/共109頁2、F分布與F測驗F值：從一個平均數(shù)為、方差為2的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取兩個獨立樣本，分別計算出其均方s12和s22，將s12和s22的比值定義為F：F（df1,df2）s12/ s22。F分布：此F值具有s12的自由度df1和s22的自由度df2。如果在給定的df1和df2下，按上面的方法從正態(tài)總體中進(jìn)行一系列抽樣，就可以得到一系列的F值而作成F分布。 第19頁/共109頁F曲線：F分布是具有平均

11、數(shù)F1和取值區(qū)間為0，)的一組曲線，而某一特定曲線的形狀僅決定于參數(shù)df1和df2。在df11或df12時，F(xiàn)分布曲線是嚴(yán)重傾斜成反J型，當(dāng)df13時，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài)。第20頁/共109頁F概率：F分布曲線下一定區(qū)間的概率可從附表5中查出，表中所列出的是各種df下右尾概率0.05和0.01時的臨界F值。 如df13，df212時，F(xiàn)0.053.49，F(xiàn)0.015.95，表示以n14（df13）、n213（df212）在一個正態(tài)總體中連續(xù)抽樣，則所得F值大于3.49的概率僅有5%，大于5.95的概率僅有1%。 第21頁/共109頁F測驗：附表6的數(shù)值設(shè)計是專供測驗s12的總體方差12是否顯著大于s

12、22的總體方差22而設(shè)計的。H0：1222，HA：1222，這時，F(xiàn)s12/ s22。如果所得FF0.05或F0.01，那么H0發(fā)生的概率小于等于0.05或0.01，應(yīng)該在0.05或0.01水平上否定H0，接受HA；如果所得FF0.05或F0.01，那么H0發(fā)生的概率大于0.05或0.01，應(yīng)該接受H0。F測驗需具備條件： 變數(shù)x遵循正態(tài)分布N（，2）；s12 和s22 彼此獨立 。第22頁/共109頁 在方差分析中，F(xiàn)測驗經(jīng)常用于比較兩個事物變異大小，檢測某項因素的效應(yīng)或方差是否真實存在。 在計算F值時，總是將要測驗的那一項變異因素（如不同品種）的均方作分子，而以另一項變異（如試驗誤差）的均

13、方作分母。如果所得F1，就沒必要查表即可確定P0.05，應(yīng)接受H0。F測驗用于比較兩個事物變異大小時，如比較兩種施肥量的增產(chǎn)情況，要注意的是，計算F值時必須以較大的均方作分子，否則所得的F值都會小于1，表現(xiàn)為無差異。第23頁/共109頁 測定東方紅3號小麥的蛋白質(zhì)含量10次，均方s121.621；測定農(nóng)大139小麥的蛋白質(zhì)含量5次，均方s220.135。問東方紅3號的蛋白質(zhì)含量的變異是否大于農(nóng)大139？H0：1222，東方紅3號的蛋白質(zhì)含量的變異和農(nóng)大139一樣大，HA：1222。顯著水平取0.05，df19，df24時，F(xiàn)0.056.00。F1.621/0.13512.01。此時，F(xiàn)F0.0

14、5，即P0.05。所以，否定H0，接受HA，即東方紅3號的蛋白質(zhì)含量的變異大于農(nóng)大139。應(yīng)用舉例第24頁/共109頁應(yīng)用舉例 在分解自由度和平方和時的舉例中，藥劑處理間均方MSt2168.00，藥劑處理內(nèi)均方MSe28.17，自由度df13，df212。問藥劑間變異是否顯著大于藥劑內(nèi)變異？H0：t2e2，HA：t2e2，顯著水平0.05，F(xiàn)0.053.49；0.01，F(xiàn)0.015.95。F168.00/8.1720.56。此時，F(xiàn)F0.01F0.05。所以，否定H0，接受HA，即藥劑間變異顯著大于藥劑內(nèi)變異，說明不同藥劑對水稻苗高具有不同效應(yīng)。 第25頁/共109頁 方差分析法：在以上舉例中

15、，通過對一組處理的重復(fù)試驗數(shù)據(jù)的總平方和與總自由度的分解，計算出處理間均方和處理內(nèi)均方（誤差均方），并通過FMSt/MSe測驗處理間所表示出的差異是否真實（大于試驗誤差），這種測驗方法就是方差分析法。 其中H0：t2e2，或ABCD，HA：t2e2，或A、B、C、D間存在差異（不一定它們都不相等，可能部分不等）。第26頁/共109頁 我們可以根據(jù)以上分析列出方差分析表：變異來源變異來源dfSSMSF顯著顯著F值值藥劑處理間藥劑處理間3504 168.00 20.56*F0.05（3，12）3.49藥劑處理內(nèi)藥劑處理內(nèi)12988.17F0.01（3，12）5.95總變異總變異15602第27頁/

16、共109頁三、多重比較 多重比較：是指一個試驗中k個處理平均數(shù)間可能有k(k1)/2個比較，亦稱為復(fù)式比較。 在上面的舉例中，我們通過F測驗推斷不同藥劑處理對水稻苗高有不同效應(yīng)，即處理間存在顯著差異。但我們的試驗?zāi)康牟粌H在于知道一組處理間有無實質(zhì)性差異，更重要的是知道哪些處理間存在真實差異，所以還需要進(jìn)一步做處理平均數(shù)間的比較。 第28頁/共109頁 通過方差分析后進(jìn)行平均數(shù)間的多重比較，不同于處理間兩兩單獨比較。因為： （1）誤差由多個處理內(nèi)的變異合并計算，自由度增大了，因而比較的精確度也增大了 （2）由于F測驗顯著，證實處理間總體上有真實差異后再做兩兩平均數(shù)的比較，不大會像單獨比較時那樣將

17、個別偶然性誤差誤測驗為真實差異。 （3）這種在F測驗基礎(chǔ)上再做的平均數(shù)間多重比較稱為Fisher氏保護(hù)下的多重比較。第29頁/共109頁 如果沒有F測驗保護(hù)，4個處理進(jìn)行兩兩比較，顯著水平取0.05，4個處理間有6個比較，若處理間總體上無差異，那么每一個比較被誤判為有差異的概率為0.05。這樣，6個比較中至少有一個被誤判的概率為10.9560.2649。如果有10個處理，10.95450.9006。 因而，盡管單個比較的顯著水平為0.05，但從試驗總體上來說（至少有一個誤判的概率）還是很大的，這說明通過F測驗進(jìn)行保護(hù)是非常必要的。第30頁/共109頁 多重比較的方法： 最小顯著差數(shù)法（LSD法

18、） 復(fù)極差法（q法） Duncan氏新復(fù)極差法（SSR法）第31頁/共109頁（1）最小顯著差數(shù)法（LSD法） 最小顯著差數(shù)法（least significant difference，簡稱LSD法）， 實質(zhì)上是第五章的t 測驗。其基本程序是： （1）在處理間的F測驗為顯著的前提下，計算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)LSD ； （2）任何兩個平均數(shù)的差數(shù)（ ），如其絕對值 LSD，即為在水平上差異顯著；反之，則為在水平上差異不顯著。jixx 第32頁/共109頁 已知： 若|t|t ， 即為在水平上顯著。 因此，最小顯著差數(shù)為： 當(dāng)兩樣本的容量n相等時： 在方差分析中，se2有了更精確的數(shù)值 MS

19、e（自由度增大）)21ji，k，jisxxtjixxji ；，(nssexxji22 jixx jixxstLSD nMSsexxji2 第33頁/共109頁應(yīng)用舉例 試以LSD法測驗不同藥劑處理的水稻苗高平均數(shù)間的差異顯著性。 已知F20.56為顯著，MSe8.17，dfe12，所以 由附表4，df 12時，t0.05 =2.179，t0.01=3.055 所以，LSD0.05 =2.1792.02=4.40 cmLSD0.01=3.0552.02=6.17 cmcm02241782.sjixx 第34頁/共109頁 將不同藥劑處理的苗高平均數(shù)兩兩比較，差數(shù)大于4.40cm為差異顯著；大于6

20、.17cm為差異極顯著。 ，差異顯著； ，差異極顯著； ，差異極顯著； ，差異顯著 ，差異極顯著； ，差異不顯著cm151429 CDxxcm62329 BDxxcm111829 ADxxcm91423 CBxxcm41418 CAxxcm51823 ABxx第35頁/共109頁LSD法的缺點：LSD法的t測驗是根據(jù)兩個樣本平均數(shù)差數(shù)（k2）的抽樣分布提出的，但是一組處理是同時抽取k（k3）個樣本的結(jié)果。 當(dāng)k2時，H0的接受區(qū)僅是以樣本平均數(shù)差數(shù)為中心的一個區(qū)間。當(dāng)k3時，共有k（k1）/2個比較，應(yīng)該有k（k1）/2個H0接受區(qū)，但LSD法只給出了一個，顯然有較大的偏差，增大了犯第一類錯誤

21、（棄真）的概率。 在重大試驗的多重比較中，一般不用LSD法；當(dāng)多個處理都和一個對照（CK）比較時才用。 第36頁/共109頁（2）復(fù)極差法（q法） 為了克服LSD法的缺點，統(tǒng)計學(xué)家Student-Newman-Keul提出了q測驗或稱復(fù)極差測驗。q測驗方法是將一組k個平均數(shù)由大到小排列后，根據(jù)待比較的兩個處理平均數(shù)所處的位置（即所比較的兩個處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個平均數(shù)間的極差）分別確定最小顯著極差LSR值的。 第37頁/共109頁q測驗所依據(jù)的是極差分布抽樣原理，其各個比較都可保證同一個顯著水平。 LSRq（，df，p）*SE 其中，2pk，p是所比較的兩個平均數(shù)的極差范圍內(nèi)所包含的平均數(shù)個數(shù)

22、，SE為平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤?？梢?，在每一個顯著水平下有k1個LSR值。 nMSSEe/ 第38頁/共109頁應(yīng)用舉例 試對不同藥劑處理的水稻苗高平均數(shù)作q測驗。 查附表8，當(dāng)df12時，p2，3，4的q值，并計算LSR值，見下表。 cm././nMSSEe431429214178 第39頁/共109頁 由于 ， ， ， 當(dāng)p2時 ，差異顯著； ，差異顯著； ，差異不顯著。 當(dāng)p3時 ，差異極顯著； ，差異極顯著。 當(dāng)p4時 ，差異極顯著。cmxD29 cmxB23 cmxA18 cmxC14 cm15 CDxxcm6 BDxxcm11 ADxxcm9 CBxxcm4 CAxxcm5 ABxxpq0

23、.05q0.01LSR0.05LSR0.0123.084.324.406.1833.775.045.397.2144.205.506.017.87第40頁/共109頁（3）新復(fù)極差法 在使用復(fù)極差法時，不同p值下的最小顯著極差變化幅度比較大。 為此，Duncan提出了新復(fù)極差法，又稱最短顯著極差法（shortest significant ranges，SSR）。 該方法與q法相似，區(qū)別在于計算最小顯著極差LSR值時不查q值表，而是查SSR表，所得最小顯著極差值隨著k增大通常比q測驗時減小。查得SSR（，p）后，有 LSRSE*SSR（，p）第41頁/共109頁應(yīng)用舉例 試對不同藥劑處理的水稻

24、苗高平均數(shù)作新復(fù)極差測驗。 當(dāng)p2時 ，差異顯著； ，差異顯著； ，差異不顯著。 當(dāng)p3時 ，差異極顯著； ，差異極顯著。 當(dāng)p4時 ，差異極顯著。 pSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.324.40 6.1833.234.554.62 6.5143.334.684.76 6.69cm15 CDxxcm6 BDxxcm11 ADxxcm9 CBxxcm4 CAxxcm5 ABxx第42頁/共109頁（4） 多重比較結(jié)果的表示方法 列梯形表法：將全部平均數(shù)從大到小排列，計算出各平均數(shù)間的差數(shù)，達(dá)到顯著差異的在差值的右上角標(biāo)注“*”號，達(dá)到極顯著差異的標(biāo)注“*”號

25、，差異不顯著的不標(biāo)。優(yōu)點：直觀缺點：篇幅較大 處理處理 平均數(shù)平均數(shù)差差 異異C AB D2915*11*6*B239*5*A184C14第43頁/共109頁劃線法：將平均數(shù)按大小順序排列，以第一個平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以后的各個平均數(shù)比較，在平均數(shù)下面把差異不顯著的平均數(shù)用橫線連起來，依次以第2、k1個平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)按上述方法進(jìn)行。 如上面資料在0.01水平下平均數(shù)差異顯著性結(jié)果（q法）： 該方法直觀、簡單方便，所占篇幅較少。 第44頁/共109頁標(biāo)記字母法 首先將平均數(shù)按大小順序排列； 然后在最大平均數(shù)上標(biāo)注字母a； 將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡差異不顯著的都標(biāo)a，直到與之差異顯著的平均數(shù)標(biāo)b。

26、 再以標(biāo)b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與上方各個比它大的平均數(shù)相比，凡差異不顯著的都標(biāo)b，直到與之差異顯著的平均數(shù)。第45頁/共109頁 再以標(biāo)b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與以下各平均數(shù)相比，凡差異不顯著的都標(biāo)b，直到與之差異顯著的平均數(shù)標(biāo)c。 如此重復(fù)下去，直到最小的平均數(shù)有了標(biāo)記字母并且與其上方平均數(shù)進(jìn)行了比較為止。 這樣，凡是有一個相同標(biāo)記字母的就表示差異不顯著，無相同字母的表示差異顯著。 在實際應(yīng)用時，用小寫字母表示0.05的顯著水平（差異顯著），用大寫字母表示0.01的顯著水平（差異極顯著）。 第46頁/共109頁應(yīng)用舉例 試對上面舉例結(jié)果作字母標(biāo)記。 處理處理平均數(shù)平均數(shù)（cm）差異顯著性差異顯著性

27、0.050.01D29B23 A18 C14 abccAABCCB第47頁/共109頁（5） 多重比較方法的選擇 以上三種多重比較方法各有優(yōu)點與不足，幾點選擇原則： （1）凡與對照或預(yù)定的對象比較，一般可選用LSD法； （2）根據(jù)否定一個正確的H0和接受一個不正確的H0的相對重要性來決定。 當(dāng)k2時，三種方法的顯著尺度完全相同。 當(dāng)k3時，三種方法的顯著尺度不相同，LSD法最低，SSR法次之，q法最高。 對試驗結(jié)論事關(guān)重大或者有嚴(yán)格要求的，宜選用q測驗，一般試驗可采用SSR測驗。第48頁/共109頁總結(jié) 方差分析的基本步驟是： （1）將資料總變異的自由度和平方和分解為各變異原因的自由度和平方和

28、，并計算其均方； （2）計算均方比，進(jìn)行F測驗，以明確各變異因素的相對重要程度； （3）對各平均數(shù)進(jìn)行多重比較。 第49頁/共109頁第二節(jié) 單因素試驗的方差分析一、完全隨機(jī)設(shè)計試驗資料的方差分析 二、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計試驗資料的方差分析 三、拉丁方設(shè)計試驗資料的方差分析 第50頁/共109頁 單因素試驗是指整個試驗中只變更、比較一個試驗因素的不同水平，其它試驗因素均嚴(yán)格控制一致的試驗。 這是一種最基本的、最簡單的試驗方案，其試驗?zāi)康暮苊鞔_，就是為了考察該因素不同水平對試驗指標(biāo)的影響。 如在將育成的若干新品種與原有的品種進(jìn)行比較以測定其改良的程度，此時，品種就是試驗的唯一處理因素，各個新品種和原有品

29、種為處理的不同水平。在試驗過程中，除品種不同外，其它環(huán)境條件和栽培措施都應(yīng)嚴(yán)格控制一致。第51頁/共109頁一、完全隨機(jī)設(shè)計試驗資料的方差分析 完全隨機(jī)設(shè)計試驗是指每一個供試單位都有同等機(jī)會（等概率）接受所有可能處理的試驗設(shè)計方法，沒有局部控制，但要求在盡可能一致的環(huán)境中進(jìn)行，一般用于實驗室培養(yǎng)和溫室的花盆培養(yǎng)。它用于估算試驗誤差的自由度最多，統(tǒng)計顯著性要求的F值最小。 第52頁/共109頁（1） 處理內(nèi)觀察值數(shù)目相等的資料 這是指在k個處理中，每個處理都含有n個供試單位的資料，如在解釋方差分析原理時所給出的表格。其方差分析表如下： 變異來源變異來源自由度自由度平方和平方和SS均方均方MSF處

30、理間處理間k1MStMSt/MSe誤差誤差k（n1）MSe總變異總變異kn1CxSSijT 2CnTSSit 2tTeSSSSSS 第53頁/共109頁應(yīng)用舉例 作一水稻施肥的盆栽試驗，設(shè)5個處理，分別施用不同類型的氮肥，其中E不施任何氮肥。每處理4盆（施肥處理的施肥量每盆均折合純氮1.2g），共54=20盆，隨機(jī)放置在同一網(wǎng)室中，其稻谷產(chǎn)量（g/盆）列于下表。試測驗各處理平均數(shù)的差異顯著性。 處理處理稻谷產(chǎn)量（稻谷產(chǎn)量（g/盆）盆）A (氨水氨水1)24302826B (氨水氨水2)27242126C (碳酸氫銨碳酸氫銨)31282530D (尿素尿素)32333328E (不施不施)212

31、21621第54頁/共109頁處理處理稻谷產(chǎn)量（稻谷產(chǎn)量（g/盆）（盆）（xij）TiA（氨水（氨水1）2430282610827B（氨水（氨水2）272421269824.5C（碳酸氫銨）（碳酸氫銨）3128253011428.5D（尿素）（尿素）3233332812631.5E（不施）（不施）212216218020總計總計52626.3ix第55頁/共109頁 自由度分解 總自由度dfT=nk1=541=19 處理間自由度dft=k1=51=4 誤差（處理內(nèi)）自由度dfe=k（n1）=5（41）=15 平方和分解8138334552622.)/(nkTC 總總24022130242222

32、.CCxSST 23014)8098108(2222.C/CnTSSit 010123012402.SSSSSStTe 第56頁/共109頁 F測驗 提出假設(shè)：H0：ABE，HA：A、B、E不全相等。 計算均方： 計算F值： 查F值表，當(dāng)df14，df215時，F(xiàn)0.053.06，F(xiàn)0.014.89F F0.01，因此否定H0，接受HA 這個試驗的處理平均數(shù)間是有極顯著差異的。 3 .7542 .301 tttdfSSMS73. 6150 .101 eeedfSSMS19.1173. 63 .75 etMSMSF第57頁/共109頁 列出方差分析表變異來源變異來源dfSSMSFF0.05F0.

33、01 處處 理理 間間4301.275.30 11.19*3.064.89 處理內(nèi)處理內(nèi)(試驗誤差試驗誤差)15101.06.73 總總 變變 異異19402.2第58頁/共109頁 多重比較 計算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 查SSR表，得到當(dāng)df15，p2，3，4，5時的SSR值，并根據(jù)LSRSE*SSR（，p）計算LSR值，見下表。 29714736. /. SE pSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.173.905.4133.164.374.105.6743.254.504.225.8453.314.584.295.94第59頁/共109頁 標(biāo)注字母 推斷：施用氮肥（

34、A、B、C、D）與不施氮肥（E）有顯著差異，其中D處理、C處理和A處理與對照E有極顯著差異。D處理與C處理、C處理與A處理、B處理間均無顯著差異。 處理處理平均數(shù)平均數(shù)（g/盆）盆）差異顯著性差異顯著性0.050.01D（尿素）（尿素）31.5C（碳酸氫銨）（碳酸氫銨）28.5 A（氨水（氨水1）27 B（氨水（氨水2）24.5 E（不施）（不施）20 BCaabbbcAABABC第60頁/共109頁（2） 處理內(nèi)觀察值數(shù)目不相等的資料 若k個處理中的觀察值數(shù)目不相等，分別為n1、n2、nk，在方差分析時有關(guān)公式因ni不相同而需做相應(yīng)的改變。 自由度的分解 平方和的分解 多重比較 tTeSSS

35、SSS CnTSSiit 2CxSST 21 iTndf1 kdftkndfie )()(1220knnnniii0nMSSEe 02nMSsexxji inTC2總總第61頁/共109頁應(yīng)用舉例 調(diào)查四種不同類型水稻田稻縱卷葉螟的發(fā)生情況，共調(diào)查28塊田，每塊田的蟲口密度見下表。問不同類型稻田的蟲口密度是否有顯著差異？ 稻田類型稻田類型稻田編號稻田編號12345678I12 13 14 15 15 16 17II14 10 11 13 14 11III9210 11 12 13 12 11IV12 11 109810 12第62頁/共109頁 稻田稻田類型類型稻田編號稻田編號12345678

36、I12131415151617102714.57II14101113141173612.17III9210111213121180810IV12111098101272710.29合計合計ixiT28 inin327 總總T第63頁/共109頁 自由度的分解 平方和的分解27128 Tdf314 tdf24428 edf98.12913.9611.226 eSS13.9677288067371022222 CSSt11.226121212222 CSST89.3818283272 C第64頁/共109頁 F測驗H0：IIIIIIIV，HA：I、II、III、IV不全相等。MSt=69.13/3

37、=32.04， MSe=129.98/24=5.42F32.04/5.425.91 查F值表，當(dāng)df13，df224時，F(xiàn)0.053.01，F(xiàn)0.014.72，所以，F(xiàn) F0.01 推斷：否定H0，接受HA 這個試驗的處理平均數(shù)間是有極顯著差異的。 第65頁/共109頁 列出方差分析表變異來源變異來源dfSSMSFF0.05F0.01稻田類型間稻田類型間 396.1332.045.91*3.014.72誤誤 差差24129.985.42總總 變變 異異27226.11第66頁/共109頁 多重比較 計算平均樣本容量 計算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 查SSR表，得到當(dāng)df24，p2，3，4時的SSR值，并根據(jù)

38、LSRSE*SSR，p計算LSR值，見下表。 798. 6)14(28)7867(28222220 n)(88007425頭頭. /. SE pSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.923.962.573.4833.074.142.703.6443.154.242.773.73第67頁/共109頁 標(biāo)注字母 推斷：I類稻田的蟲口密度極顯著高于III、IV類稻田，其它各類稻田間均無顯著差異。 處理處理平均數(shù)平均數(shù)（頭）（頭）差異顯著性差異顯著性0.050.0114.57aA12.17 ab AB10.29 b B10 b B第68頁/共109頁二、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計試驗資料的方

39、差分析 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計試驗資料使用兩向分組單個觀察值資料的方差分析方法，處理為一個方向，區(qū)組為另一個方向，見下表。設(shè)有k個處理，n個區(qū)組，每個處理僅有一個觀察值，那么全部試驗共有kn個觀察值。 第69頁/共109頁品種品種區(qū)組區(qū)組IIIIIIA10.99.112.210.7B10.812.314.012.4C11.112.510.511.4D9.110.710.110.0E11.813.916.814.2F10.110.611.810.8G10.011.514.111.9H9.310.414.411.410.411.413.0 =11.6txrx總總x第70頁/共109頁處理處理區(qū)組區(qū)組TtB1

40、B2BnA1x11x12x1nTt1A2x21x22x2nTt2Akxk1xk2xknTtkTrTr1Tr2TrnT總總 單因素隨機(jī)區(qū)組試驗資料的數(shù)學(xué)模型：xijijij為總體平均數(shù)， i和j分別為處理和區(qū)組效應(yīng)，ij為隨機(jī)誤差。txrx1rx2rxrnx1tx2txtkx總總x第71頁/共109頁 CnTSStt 2CxSST 2變異來源變異來源dfSS處理間處理間 k 1區(qū)組間區(qū)組間 n1誤誤 差差(k1)(n1)總變異總變異 nk1rtTeSSSSSSSS 單因素隨機(jī)區(qū)組試驗資料自由度和平方和的分解 總自由度（dfT）區(qū)間自由度（dfr）處理自由度（dft）誤差自由度（dfe） 總平方和

41、（SST）區(qū)間平方和（SSr）處理平方和（SSt）誤差平方和（SSe） CkTSSrr 2第72頁/共109頁應(yīng)用舉例 有一小麥品比試驗，共有A、B、C、D、E、F、G、H 8個品種（k8），其中A為對照，采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計，重復(fù)3次（n3），其小區(qū)產(chǎn)量（kg）結(jié)果列于右表，試對各品種間的產(chǎn)量差異作出分析。 品種品種區(qū)組區(qū)組IIIIIIA10.99.112.2B10.812.314.0C11.112.510.5D9.110.710.1E11.813.916.8F10.110.611.8G10.011.514.1H9.310.414.4第73頁/共109頁品種品種區(qū)組區(qū)組TtIIIIIIA10.9

42、9.112.232.210.7B10.812.314.037.112.4C11.112.510.534.111.4D9.110.710.129.910.0E11.813.916.842.514.2F10.110.611.832.510.8G10.011.514.135.611.9H9.310.414.434.111.4Tr83.191.0103.9T總總=278.010.411.413.0 =11.6txrx總總x第74頁/共109頁 自由度分解dfT 381=23，dfr31=2，dft81=7， dfe（31）（81）=14 平方和分解17.32208327822 )/(nkTC總總61.

43、844 .141 . 99 .102222 CCxSST08.343)1 .341 .372 .32(2222 C/CnTSStt97.2256.2708.3461.84 rtTSSSSSSSSe56.278)9 .103911 .83(2222 C/CkTSSrr第75頁/共109頁 F測驗 對區(qū)組間MSr作F測驗，有H0：IIIIII，HA：I、II、III不全相等 對品種間MSt作F測驗，有H0：ABH，HA：A、B、H不全相等MSrSSr/ dfr=27.56/2=13.78MStSSt/ dft=34.08/7=4.87MSeSSe/ dfe=22.97/14=1.64Fr13.78

44、/1.648.40Ft4.87/1.642.97第76頁/共109頁 查表，當(dāng)df12，df214時，F(xiàn)0.053.74，F(xiàn)0.016.51 當(dāng)df17，df214時，F(xiàn)0.052.76，F(xiàn)0.014.28 所以，F(xiàn)r F0.01，否定H0，接受HA。說明3個區(qū)組間的土壤肥力有極顯著差別，說明這個試驗中的局部控制對于減小誤差是相當(dāng)有效的。 一般區(qū)組間的F測驗不必進(jìn)行，因為試驗?zāi)康牟皇茄芯繀^(qū)組效應(yīng)。所以，我們只在品種間進(jìn)行F測驗。Ft F0.01，因此否定H0，接受HA，說明8個品種的平均產(chǎn)量有極顯著差異的。 第77頁/共109頁 列出方差分析表變異來源變異來源dfSSMSFF0.05F0.01

45、區(qū)組間區(qū)組間227.5613.788.40*3.746.51品種間品種間734.084.872.97*2.764.28誤差誤差1422.971.64總變異總變異2384.61第78頁/共109頁 多重比較 本試驗的目的是要測驗各供試品種是否與對照品種A有顯著差異，所以采用LSD法。 當(dāng)df14時，t0.052.145，t0.012.977，所以LSD0.051.052.145=2.25kgLSD0.011.052.977=3.13kg kgnMSsexxji05. 1364. 122 第79頁/共109頁多重比較結(jié)果多重比較結(jié)果品種品種EBGHCFAD平均產(chǎn)量平均產(chǎn)量 14.212.411.9

46、11.411.410.810.710差異差異3.5*1.71.20.70.70.10.7 結(jié)果表明：只有品種E與對照品種A有極顯著差異，其余品種與對照均無明顯差異。 第80頁/共109頁 如果我們不僅要測驗各供試品種是否與對照品種A有顯著差異，而且要測驗各品種之間是否有顯著差異，應(yīng)該采用SSR法。 查SSR值表，得到df14，不同顯著水平和不同p值下的SSR值，并計算LSR值。 p2345678SSR0.053.033.183.273.333.373.393.41SSR0.014.214.424.554.634.704.784.83LSR0.052.242.352.422.462.492.51

47、2.52LSR0.013.123.273.373.433.483.543.57kgnMSSEe74. 0364. 1 第81頁/共109頁 多重比較結(jié)果見右表。 結(jié)果表明：品種E與H、C、F、A、D有明顯差異，而且E與D存在極顯著差異，其余各品種之間都沒有顯著差異。 品種品種平均平均產(chǎn)量產(chǎn)量差異差異5%1%E14.2B12.4 G11.9 H11.4C11.4F10.8A10.7D10 baaabbbbbbABABABABABABAB第82頁/共109頁三、拉丁方設(shè)計試驗資料的方差分析 拉丁方試驗在縱橫兩個方向都應(yīng)用了局部控制，使得縱橫兩個方向均為區(qū)組，因此在試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析上要比隨機(jī)區(qū)組多

48、一項區(qū)組間變異。設(shè)有k個處理（或品種）作拉丁方試驗，那么必有橫行區(qū)組和豎行區(qū)組各k個， 第83頁/共109頁 自由度分解 總自由度（dfT）橫行自由度（dfr）縱行自由度（dfc）處理自由度（dft）誤差自由度（dfe）dfT k21，dfrk1，dfck1dftk1， dfe（k1）（k2） 總平方和（SST）橫行平方和（SSr）縱行平方和（SSc）處理平方和（SSt）誤差自由度（SSe） CkTSStt 2CxSST 2crtTeSSSSSSSSSS CkTSSrr 2 CkTSScc 2第84頁/共109頁應(yīng)用舉例 有A、B、C、D、E 5個水稻品種作品比試驗，其中E為對照品種，采用55

49、拉丁方設(shè)計，其田間排列和小區(qū)產(chǎn)量(kg)結(jié)果見下表。 試測驗5個水稻品種的產(chǎn)量有無明顯差異。橫行橫行區(qū)組區(qū)組縱行區(qū)組縱行區(qū)組IIIIIIIVVID（37）A（38）C（38）B（44）E（38）IIB（48）E（40）D（36）C（32）A（35）IIIC（27）B（32）A（32）E（30）D（26）IVE（28）D（37）B（43）A（38）C（41）VA（34）C（30）E（27）D（30）B（41）第85頁/共109頁水稻各品種的總產(chǎn)量和平均產(chǎn)量水稻各品種的總產(chǎn)量和平均產(chǎn)量 橫行橫行區(qū)組區(qū)組縱行區(qū)組縱行區(qū)組TrIIIIIIIVVID（37）A（38）C（38）B（44）E（38）195

50、IIB（48）E（40）D（36）C（32）A（35）191IIIC（27）B（32）A（32）E（30）D（26）147IVE（28）D（37）B（43）A（38）C（41）187VA（34）C（30）E（27）D（30）B（41）162Tc174177176174181T總總=882品種品種ABCDETt17720816816616335.441.633.633.232.6tx第86頁/共109頁 自由度分解dfT 52124，dfr514，dfc514dft514， dfe（51）（52）12 平方和分解 44.271516316616820817722222 CSSt04.815413

51、837222 CSST32.18844.27164. 664.34804.815 eSS 64.348516218714719119522222 CSSr 64. 6518117417617717422222 CSSc96.31116588222 C第87頁/共109頁 F測驗H0：ABE，HA：A、B、E不全相等。 MSt271.44/4=67.86，MSe188.32/12=15.69，F(xiàn)t67.86/15.694.33。 查F值表，當(dāng)df14，df212時，F(xiàn)0.053.26，F(xiàn)0.015.41。Ft F0.05，否定H0，接受HA。 說明5個品種的平均產(chǎn)量有顯著差異的。第88頁/共10

52、9頁變異來源變異來源dfSSMSFF0.05F0.01橫行區(qū)組橫行區(qū)組4348.64縱行區(qū)組縱行區(qū)組46.64品種品種4271.4467.864.33*3.265.41誤差誤差12188.3215.69總變異總變異24815.04第89頁/共109頁 多重比較 測驗各供試品種與對照品種E的差異顯著性： 當(dāng)df12時，t0.052.179，所以LSD0.052.52.179=5.45kgkgnMSsexxji5 . 2569.1522 品種品種B ACDE平均產(chǎn)量平均產(chǎn)量41.635.433.633.232.6差異差異9.0*2.81.00.6第90頁/共109頁 測驗各品種之間的差異顯著性 查

53、SSR值表，得到df12，不同顯著水平和不同p值下的SSR值，并計算LSR值。 kgnMSSEe77. 1569.15 p2345SSR0.053.083.233.333.36LSR0.055.455.725.895.95第91頁/共109頁 結(jié)果表明：品種B與其它幾個品種都有明顯差異，其余各品種之間都沒有顯著差異。 品種品種平均產(chǎn)量平均產(chǎn)量差異水平差異水平5%B 41.6A35.4C33.6D33.2E32.6abbbb第92頁/共109頁第三節(jié) 方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 方差分析是建立在線性可加模型的基礎(chǔ)上的。所有進(jìn)行方差分析的數(shù)據(jù)都可以分解成幾個分量之和，以隨機(jī)區(qū)組設(shè)計試驗資料為例，

54、該資料具有三類效應(yīng)：處理效應(yīng)、環(huán)境（區(qū)組）效應(yīng)、誤差效應(yīng)。所以，其線性模型為：xijijij 建立這一模型，需要以下3個基本假定：一、方差分析的基本假定一、方差分析的基本假定第93頁/共109頁（1）效應(yīng)“可加性”：處理效應(yīng)、環(huán)境效應(yīng)和誤差效應(yīng)等應(yīng)具有“可加性” ?？杉有允欠讲罘治龅闹饕匦裕歉鶕?jù)線性模型而產(chǎn)生的必然結(jié)果，如自由度和平方和的可加性。 還有一種非可加性事例的效應(yīng)表現(xiàn)為倍加性。 對于非可加性資料，一般需要作對數(shù)或其它轉(zhuǎn)換，使其效應(yīng)變?yōu)榭杉有?，才能符合方差分析的線性模型。 處理處理可加性可加性倍加性倍加性倍加性取對數(shù)倍加性取對數(shù)121212A102010201.001.30B304

55、030601.481.78第94頁/共109頁（2）誤差“正態(tài)性”：試驗誤差ij應(yīng)該是隨機(jī)的、彼此獨立的，具有平均數(shù)為零而且作正態(tài)分布。因為多樣本的F測驗是假定k個樣本從k個正態(tài)總體中隨機(jī)抽取的，所以ij一定是隨機(jī)性的。 如果試驗誤差ij不服從正態(tài)分布，則將表現(xiàn)為一個處理的誤差，趨向于作為處理平均數(shù)的一種函數(shù)關(guān)系。 例如，二項分布數(shù)據(jù)，平均數(shù)為p，方差為p(1p)/n，方差與平均數(shù)有函數(shù)關(guān)系。如果這種函數(shù)關(guān)系已知，則可對觀察值進(jìn)行反正弦轉(zhuǎn)換或?qū)?shù)轉(zhuǎn)換、平方根值轉(zhuǎn)換，從而使誤差ij作成近似的正態(tài)分布。 第95頁/共109頁（3）誤差“同質(zhì)性”：所有試驗處理必須具有共同的誤差方差。 因為方差分析中

56、的誤差方差是將各處理的誤差合并而獲得的一個共同誤差方差，因此必須假定資料中有這樣一個共同的方差存在，即假定各處理的ij都服從N（0，2）。 如果各處理的誤差方差具有異質(zhì)性（i22），那么在假設(shè)測驗中必然會使某些處理的效應(yīng)得不到正確反映。 如果發(fā)現(xiàn)各處理間的方差相差比較懸殊，一般可用Bartlett法測驗其是否同質(zhì)。 如果不同質(zhì)，可將方差特別大或變異特殊的處理從資料中剔除，或者將試驗分成幾部分，使每一部分具有比較同質(zhì)的誤差方差。 第96頁/共109頁二、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換 試驗中所得到的各種數(shù)據(jù)要全部準(zhǔn)確地符合上述三個假定，往往不是很容易，對于不符合基本假定的試驗資料，在進(jìn)行方差分析之前，一般可采用以下補(bǔ)

57、救方法。 剔除某些表現(xiàn)“特殊”的觀察值、處理或重復(fù)。 將總的試驗誤差的方差分裂為幾個較為同質(zhì)的試驗誤差的方差。 針對數(shù)據(jù)的主要缺陷，采用相應(yīng)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，然后用轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)作方差分析。 第97頁/共109頁（1）平方根轉(zhuǎn)換 如果樣本平均數(shù)與其方差有比例關(guān)系，可使用平方根轉(zhuǎn)換，將x轉(zhuǎn)換為 ，則可獲得一個同質(zhì)的方差。如泊松分布中，2。 這種轉(zhuǎn)換常用于存在稀疏現(xiàn)象的計數(shù)資料。 如果有些觀察值太小甚至為零，可用 轉(zhuǎn)換。（2）對數(shù)轉(zhuǎn)換 如果數(shù)據(jù)表現(xiàn)的效應(yīng)為倍加性，同時樣本平均數(shù)與其極差或標(biāo)準(zhǔn)差成比例關(guān)系，可采用對數(shù)轉(zhuǎn)換，獲得同質(zhì)方差。 一般將x轉(zhuǎn)換為lgx，如果觀察值中有零而各觀察值都不大于10，可采用l

58、g(x1)轉(zhuǎn)換。x1 x第98頁/共109頁（3）反正弦轉(zhuǎn)換 如果資料為成數(shù)或百分?jǐn)?shù)，則可以看作二項分布，如果p0.3或p0.7，都要將百分?jǐn)?shù)的平方根取反正弦，獲得同質(zhì)方差。 附表12為百分?jǐn)?shù)的反正弦轉(zhuǎn)換表，可查得p的反正弦值。當(dāng)p=0時，轉(zhuǎn)換為 ；當(dāng)p=1時，轉(zhuǎn)換為 。（4）采用幾個觀察值的平均數(shù)作方差分析。 因為平均數(shù)比單個觀察值更易作成正態(tài)分布。 如抽取小樣本求平均數(shù)，以這些平均數(shù)作方差分析，可減小不符合基本假定的因素的影響。n41 n411 第99頁/共109頁應(yīng)用舉例 研究不同儲藏條件下玉米花粉的活力：（1）盛于燒杯內(nèi)，蓋紗布，儲于冰箱；（2）盛于燒杯內(nèi)，放入干燥器，儲于冰箱；（3）

59、盛于燒杯內(nèi)，室溫儲藏。儲藏4h后鏡檢花粉活力，以新鮮花粉為對照，每個處理6個視野，結(jié)果如右表。試作方差分析。 處理處理 CK123花粉花粉活力活力()979593709177786882727566856476497856635577687164第100頁/共109頁 表中有不少p0.7，故需作反正弦轉(zhuǎn)換。由附表12得： 處理處理CK123花粉花粉活力活力()80.077.174.756.872.561.362.055.664.958.160.054.367.253.160.744.462.048.452.547.961.355.657.453.1Ti407.9353.6367.3312.16

60、8.058.961.252.0ix第101頁/共109頁 表中資料為n相等的完全隨機(jī)設(shè)計，對其作方差分析可得下表，說明處理間有顯著差異。 變異來源變異來源dfSSMSFF0.05F0.01處理間處理間3780.48260.164.57*3.104.94誤差誤差201139.5856.98總變異總變異231920.06第102頁/共109頁 多重比較：因有共同對照，采用LSD法。當(dāng)df20時，t0.052.086， t0.012.845LSD0.05=2.0864.36=9.09LSD0.01=2.8454.36=12.4036. 4698.5622 nMSsexxji第103頁/共109頁 測

61、驗結(jié)果表明處理（3）極顯著低于對照，處理（1）顯著低于對照，處理（2）與對照無明顯差異。 將各反正弦平均數(shù)再轉(zhuǎn)換為百分?jǐn)?shù)之后，可以看出處理（1）比對照降低12.7，（2）降低9.2，（3）降低23.9。處理處理平均數(shù)平均數(shù)差異差異反轉(zhuǎn)換為反轉(zhuǎn)換為CK68.086.0158.9- -9.1*73.3261.2- -6.876.8352.0- -16.0* *62.1第104頁/共109頁作業(yè)題 1、簡答題 方差分析有哪些基本假定？為什么有些數(shù)據(jù)需要經(jīng)過轉(zhuǎn)換才能作方差分析？有哪幾種轉(zhuǎn)換方式？第105頁/共109頁作業(yè)題 2、計算題 以下是蘋果幼樹試驗株產(chǎn)量結(jié)果，分別按完全隨機(jī)設(shè)計和隨機(jī)區(qū)組設(shè)計對以下數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析與多重比較，并比較分析結(jié)果的差異。第106頁/共109頁作業(yè)題 3、計算題 以下是A、B、C、D、E5個黃瓜品種的產(chǎn)量比較試驗結(jié)果，55拉丁方設(shè)計，試進(jìn)行方差分析與多重比較。25.425.4第107頁/共109頁作業(yè)題 4、計算題 以下是A、B、C、D 4個辣椒品種的疫病發(fā)病率結(jié)果結(jié)果，完全隨機(jī)設(shè)計，試進(jìn)行方差分析與多重比較。第108頁/共109頁感謝您的觀看！第109頁/共109頁