《九年級數(shù)學全冊 拔高專題 拋物線與圓的綜合練習》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《九年級數(shù)學全冊 拔高專題 拋物線與圓的綜合練習（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、拔高專題 拋物線與圓的綜合 一、基本模型構(gòu)建 常見模型 思考 圓與拋物線以及與坐標系相交，根據(jù)拋物線的解析式可求交點 坐標 ，根據(jù)交點可求三角形的 邊長 ，由于圓的位置不同，三角形的形狀也不同。再根據(jù)三角形的形狀，再解決其它問題。 二、拔高精講精練 探究點一：拋物線、圓和直線相切的問題 例1: （2015?崇左）如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是（5，4），⊙M與y軸相切于點C，與x軸相交于A，B兩點． （1）則點A，B，C的坐標分別是A （2，0） ，B （8，0） ，C （0，4） ； （2）設(shè)經(jīng)過A，B兩點的拋物線解析式為y=（x-5）2+k，它的頂點

2、為E，求證：直線EA與⊙M相切； （3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由． （1）解：連接MC、MA，如圖1所示：∵⊙M與y軸相切于點C，∴MC⊥y軸，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4， ∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD==3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8， ∴A（2，0），B（8，0）； （2）證明：把點A（2，0）代入拋物線y=（x-5）2+k，得：k=-，∴E（5，-）， ∴DE=，∴ME=MD+DE=4+

3、=，EA2=32+（）2=，∵MA2+EA2=52+=，ME2=， ∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA與⊙M相切； （3）解：存在；點P坐標為（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下： 由勾股定理得：BC===4，分三種情況：①當PB=PC時，點P在BC的垂直平分線上，點P與M重合， ∴P（5，4）； ②當BP=BC=4時，如圖2所示：∵PD===，∴P（5，）；③當PC=BC=4時，連接MC，如圖3所示：則∠PMC=90°，根據(jù)勾股定理得：PM===，∴PD=4+， ∴P（5，4+）；綜上所述：存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三

4、角形， 點P的坐標為（5，4），或（5，），或（5，4+）． 【變式訓練】（2015?柳州）如圖，已知拋物線y=-（x2-7x+6）的頂點坐標為M，與x軸相交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸相交于點C． （1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出頂點M的坐標； （2）在拋物線的對稱軸上找點R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點R的坐標； （3）以AB為直徑作⊙N交拋物線于點P（點P在對稱軸的左側(cè)），求證：直線MP是⊙N的切線． （1）解：∵y=-（x2-7x+6）=-（x2-7x）-3=-（x-）2+，∴拋物線的解析式

5、化為頂點式為：y=-（x-）2+，頂點M的坐標是（，）； （2）解：∵y=-（x2-7x+6），∴當y=0時，-（x2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0時，y=-3，∴C（0，-3）．連接BC，則BC與對稱軸x=的交點為R，連接AR，則CR+AR=CR+BR=BC，根據(jù)兩點之間線段最短可知此時CR+AR的值最小，最小值為BC==3．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（6，0），C（0，-3），∴，解得，∴直線BC的解析式為：y=x-3，令x=，得y=×-3=-，∴R點坐標為（，-）； （3）證明：設(shè)點P坐標為（x，-x2+x-3）．∵A（1，0），

6、B（6，0），∴N（，0），∴以AB為直徑的⊙N的半徑為AB=，∴NP=，即（x-）2+（-x2+x-3）2=（）2，化簡整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得x1=1（與A重合，舍去），x2=2，x3=5（在對稱軸的右側(cè)，舍去），x4=6（與B重合，舍去），∴點P坐標為（2，2）．∵M（，），N（，0），∴PM2=（2-）2+（2-）2=，PN2=（2-）2+22==， MN2=（）2=，∴PM2+PN2=MN2，∴∠MPN=90°，∵點P在⊙N上，∴直線MP是⊙N的切線． 【教師總結(jié)】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了坐

7、標與圖形性質(zhì)、垂徑定理、二次函數(shù)解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識；綜合性強． 探究點二：拋物線、圓和三角形的最值問題 例2:（2015?茂名）如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與x軸相交于C（-2，0），D（-8，0）兩點，與y軸相切于點B（0，4）． （1）求經(jīng)過B，C，D三點的拋物線的函數(shù)表達式； （2）設(shè)拋物線的頂點為E，證明：直線CE與⊙A相切； （3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使△BDF面積最大，最大值是多少？并求出點F的坐標。 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（-2，0），D（

8、-8，0）代入得：， 解得．∴經(jīng)過B，C，D三點的拋物線的函數(shù)表達式為：y=x2+x+4； （2）∵y=x2+x+4=（x+5）2-，∴E（-5，-），設(shè)直線CE的函數(shù)解析式為y=mx+n，直線CE與y軸交于點G，則，解得：，∴y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，∴G（0，）， 如圖1，連接AB，AC，AG，則BG=OB-OG=4-=，CG===，∴BG=CG，AB=AC， 在△ABG與△ACG中，，∴△ABG≌△ACG，∴∠ACG=∠ABG，∵⊙A與y軸相切于點B（0，4），∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90°∵點C在⊙A上，∴直線CE與⊙A相切； （3）存在點F，

9、使△BDF面積最大， 如圖2連接BD，BF，DF，設(shè)F（t，t2+t+4），過F作FN∥y軸交BD于點N，設(shè)直線BD的解析式為y=kx+d，則，解得．∴直線BD的解析式為y=x+4， ∴點N的坐標為（t，t+4），∴FN=t+4-（t2+t+4）=-t2-2t，∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD?FN=×8×（-t2-2t）=-t2-8t=-（t+4）2+16，∴當t=-4時，S△BDF最大，最大值是16，當t=-4時，t2+t+4=-2，∴F（-4，-2）． 【變式訓練】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點A，B，交y軸于點C，設(shè)過點A，B，C的圓

10、與y軸的另一個交點為D．已知點A，B，C的坐標分別為（-2，0），（8，0），（0，-4）． （1）求此拋物線的表達式與點D的坐標； （2）若點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值。 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴，解得， ∴拋物線的解析式為：y=x2-x-4；∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答圖1，連接AC、BC，由勾股定理得：AC=，BC=．∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB為圓的直徑．由垂徑定理可知，點C、D關(guān)于直徑AB對稱，∴D（0，4）； （2）

11、解法一：設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），∴，解得， ∴直線BD解析式為：y=-x+4．設(shè)M（x，x2-x-4），如答圖2-1，過點M作ME∥y軸，交BD于點E，則E（x，-x+4）．∴ME=（-x+4）-（x2-x-4）=-x2+x+8．∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE-xD）+ME（xB-xE）=ME（xB-xD）=4ME，∴S△BDM=4（-x2+x+8）=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∴當x=2時，△BDM的面積有最大值為36； 解法二：如答圖2-2，過M作MN⊥y軸于點N．設(shè)M（m，m2-m-4），∵S△OBD=OB?OD=

12、=16，S梯形OBMN=（MN+OB）?ON=（m+8）[-（m2-m-4）]=-m（m2-m-4）-4（m2-m-4）， S△MND=MN?DN=m[4-（m2-m-4）]=2m-m（m2-m-4），∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN-S△MND=16-m（m2-m-4）-4（m2-m-4）-2m+m（m2-m-4）=16-4（m2-m-4）-2m=-m2+4m+32=-（m-2）2+36；∴當m=2時，△BDM的面積有最大值為36． 【教師總結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，在解答此類問題時要注意構(gòu)造出輔助線，利用圓的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的求法等綜合求解. 8