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1、 2.5 二次函數與一元二次方程 第 1 課時 二次函數與一元二次方程 1．經歷探索二次函數與一元二次方程 的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系； (重點 ) 2．理解二次函數與 x 軸交點的個數與 一元二次方程的根的關系， 理解何時方程有兩個不等的實根、 兩個相等的實根和沒有實根； (重點 ) 3．通過觀察二次函數與 x 軸交點的個數，討論一元二次方程的根的情況， 進一步培養(yǎng)學生的數形結合思想． (難點 ) 一、情境導入 一個涵洞成拋物線形， 它的截面如圖所示．

2、現測得，當水面寬 AB＝ 1.6m 時，涵洞頂點與水面的距離 OC ＝ 2.4m. 當水位上升一定高度到達點 F 時，這時，離水面距離 CF ＝1.5m，則涵洞寬 ED 是多少？是否會超 過 1m? 根據已知條件，要求 ED 寬，只要求出 FD 的長度．在如圖所示的直角坐標系中，只要求出點 D 的橫坐標即可． 由已知條件可得到點 D 的縱坐標，又因為點 D 在涵洞所成的拋物線上， 所以利用拋 物線的函數關系式可以進一步算出點 D 的 橫坐標．你會求嗎？ 二、合作探究 探究點一：二次函數與一

3、元二次方程 【類型一】 求拋物線與 x 軸的交點坐  標 已知二次函數 y＝ 2x2－ 4x－ 6，它的 圖 象 與 x 軸 交 點 的 坐 標 是 ________________ ． 解析： y＝ 2x2－ 4x－ 6＝ 2(x2－ 2x－ 3)＝ 2(x－ 3)(x＋ 1)，設 2(x－ 3)(x＋ 1) ＝ 0，解得x1＝ 3， x2＝－ 1，∴它的圖象與 x 軸交點的坐標是 (3，0)， (－ 1， 0)．故答案為 (3， 0)， (－ 1， 0)． 方法總結： 拋物線與 x 軸的交點的橫坐標，就是二次函數為 0 時，一元二次方程的解．

4、 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓練”第 6 題 【類型二】 判斷拋物線與 x 軸交點的 個數 已知關于 x 的二次函數 y＝ mx2－ (m＋ 2)x＋2(m≠ 0)． (1) 求證：此拋物線與 x 軸總有兩個交 點； (2) 若此拋物線與 x 軸總有兩個交點， 且 它們的橫坐標都是整數，求正整數 m 的值． 解 析 ： (1) 只 需 證 明 ＝ (m ＋ 2)2 － 4m× 2≥ 0 即可； (2)利用因式分解法求得拋 物線與 x 軸交點的橫坐標，然后根據 x 的值來求正整數 m 的值． (1)

5、 證明 ：∵ m≠0 ，∴ ＝ (m＋ 2)2 － 4m× 2＝ m2 ＋ 4m＋ 4－ 8m＝ (m－ 2)2.∵ (m－ 2)2≥ 0，∴ ≥ 0，∴此拋物線與 x 軸總有兩個交點； (2) 解：令 y＝ 0，則 (x－1)(mx－ 2)＝ 0，所以 x－ 1＝ 0 或 mx－ 2＝ 0，解得 x1 ＝1， 2 x2＝ m.當 m 為正整數 1 或 2 時， x2 為整數， 即拋物線與 x 軸總有兩個交點， 且它們的橫坐標都是整數．所以正整數 m 的值為 1 或 2. 方法總結： 解答本題的關鍵是明確當根 的判別式 ≥ 0 拋物線與 x 軸

6、有兩個交點． 第 1頁共3頁 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 8 題 【類型三】 已知拋物線與 x 軸的交點個數，求字母系數的取值范圍 已知函數 y＝ ( k－3)x2＋ 2x＋1 的圖象與 x 軸有交點，求 k 的取值范圍． 解析：應分 k－ 3＝ 0 和 k－ 3≠ 0 兩種情況進行討論， (1)當 k－ 3＝0 即 k＝3 時，此函數是一次函數； (2) 當 k－ 3≠ 0，即 k≠3 時，此函數是二次函數，根據函數圖象與 x 軸有交點可知 ＝ b2－ 4ac≥ 0，求出 k 的取值范圍即可．

7、解：當 k＝3 時，函數 y＝ 2x＋ 1 是一次函數．∵一次函數 y＝ 2x＋ 1 與 x 軸有一個交點，∴ k＝ 3； 當 k≠3 時，y＝ (k－3)x2＋ 2x＋ 1 是二次函數．∵二次函數 y＝ (k－ 3)x2＋ 2x＋ 1 的圖 象與 x 軸有交點，∴ ＝b2－ 4ac≥ 0.∵b2－ 4ac ＝ 22 － 4(k－ 3) ＝－ 4k＋ 16 ，∴－ 4k＋ 16≥ 0.∴ k≤ 4 且 k≠ 3. 綜上所述， k 的取值范圍是 k≤ 4. 方法總結：由于 k 的取值范圍不能確定， 所以解決本題的關鍵是要注意分類討論， 不 要漏解．

8、 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第 5 題 【類型四】 二次函數與一元二次方程的判別式、根與系數的關系的綜合 已知：拋物線 y＝ x2＋ax＋ a－ 2. (1)求證：不論 a 取何值時，拋物線 y＝x2＋ax＋ a－ 2 與 x 軸都有兩個不同的交點； (2)設這個二次函數的圖象與 x 軸相交 于 A(x1， 0)， B(x2， 0)，且 x1、 x2 的平方和為 3，求 a 的值． 解析： (1)利用關于 x 的一元二次方程 x2＋ax＋ a－ 2＝ 0 的根的判別式的符號進行 證明； (2) 利用根與系數的關系寫

9、出 x1 、 x2 的平方和是 x12 ＋ x22 ＝ (x1＋ x2) 2－ 2x1 x2＝ a2－ 2a＋ 4＝ 3，由此可以求得 a 的值． (1) 證明： ∵ ＝ a2－ 4(a－ 2)＝ (a－ 2)2 ＋ 4＞ 0，∴不論 a 取何值時，拋物線 y＝ x2 ＋ ax＋ a－2 與 x 軸都有兩個不同的交點； (2)解： ∵ x1＋ x2＝－ a， x1· x2＝ a－ 2，  ∴ x21＋ x22＝ ( x1＋ x2)2 － 2x1· x2＝ a2－ 2a＋ 4＝ 3，∴ a＝ 1. 方法總結： 判斷一

10、元二次方程與 x 軸的交點， 只要看根的判別式的符號即可，而要判斷一元二次方程根的情況， 要利用根與系數關系． 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課后鞏固提升”第 6 題 探究點二： 利用二次函數解決運動中的拋物線問題 如圖，足球場上守門員在 O 處開 出一高球，球從離地面 1 米的 A 處飛出 (A 在 y 軸上 )，運動員乙在距 O點6米的B處 發(fā)現球在自己頭的正上方達到最高點 M，距 地面約 4 米高， 球落地后又一次彈起．據實驗，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同， 最大高度減少到原來最大高度的一半．

11、(1) 求足球開始飛出到第一次落地時， 該拋物線的表達式； (2) 足球第一次落地點 C 距守門員多少米(取 4 3＝7)? (3) 運動員乙要搶到第二個落點 D，他應再向前跑多少米 (取 2 6＝ 5)? 解析：要求足球開始飛出到第一次落地時，拋物線的表達式，則需要根據已知條件 確定點 A 和頂點 M 的坐標，因為 OA＝1，OB＝ 6，BM ＝ 4，所以點 A 的坐標為 (0，1)，頂點 M 的坐標是 (6，4)．根據頂點式可求得拋物線關系式． 因為點 C 在 x 軸上，所以要 求 OC 的長，只要把點 C 的縱

12、坐標 y＝ 0 代入函數關系式， 通過解方程求得 OC 的長．要 計算運動員乙要搶到第二個落點D，他應再 向前跑多少米，實際就是求 DB 的長．求解的方法有多種． 解：(1)設第一次落地時， 拋物線的表達 第 2頁共3頁 式為 y＝ a(x－6) 2＋ 4， 由已知：當 x＝ 0 時， y＝ 1，即 1＝ 36a ＋ 4，所以 a＝－ 1 12. 所以函數表達式為 y＝－ 1 (x－ 6) 2＋ 4 12 或 y＝－ 121x2 ＋x＋ 1； 1 2 (2)令 y＝ 0，

13、則－ 12(x－ 6) ＋ 4＝ 0， 2 所以 (x－ 6) ＝ 48，所以 x1＝ 4 3＋ 6≈ 所以足球第一次落地距守門員約 13 米； (3) 如圖，第二次足球彈出后的距離為 CD ，根據題意： CD ＝ EF(即相當于將拋物 線 AEMFC 向下平移了 2 個單位 )． 1 2 所以 2＝－ 12(x－ 6) ＋ 4，解得 x1＝ 6－ 所以 CD ＝ |x1－ x2|＝ 4 6≈ 10. 所以 BD ＝ 13－ 6＋ 10＝ 17(米 )． 方法總結： 解決此類問題的關鍵是先進 行數學建模， 將實際問題中的條件

14、轉化為數 學問題中的條件． 常有兩個步驟： (1)根據題 意得出二次函數的關系式， 將實際問題轉化 為純數學問題； (2) 應用有關函數的性質作 答． 三、板書設計 二次函數與一元二次方程 1.二次函數與一元二次方程 2.利用二次函數解決運動中的拋物線問題 本節(jié)課注意發(fā)揮學生的主體作用， 讓學生通 過自主探究、合作學習來主動發(fā)現問題、 提 出問題、解決問題，實現師生互動，通過這 樣的教學實踐取得一定的教學效果， 再次認 識到教師不僅要教給學生知識， 更要培養(yǎng)學 生良好的數學素養(yǎng)和學習習慣， 讓學生學會 學習，使他們能夠在獨立思考與合作學習交 流中解決學習中的問題 . 第 3頁共3頁