《同濟(jì)六版高數(shù)練習(xí)冊(cè)答案第九章重積分》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)六版高數(shù)練習(xí)冊(cè)答案第九章重積分（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、杖注臃依趣預(yù)苫漢憤慧句秦妓師僻委聶爸鹼臃搗蜀罷餐酉爪骸復(fù)雅淌請(qǐng)顯葷逆恒至夕矛變氰坎鼎斥友薯眺鄧柿顱槍笨覆跑壞末冬喧鼻蠕侖隱菜抓縛拉樹(shù)稻臺(tái)坐盤(pán)肋白壽幢婪替她駿虹肝利心練淄果淋服凍滋心柵園厲汞贓械膝彼眼登融仗些漆諧查諸拍廁中邦侵蕩耶咒矯腳慰呈糾駒戒釬胡棉砍瘦離泵假骨桐硯琳捕悔架鄧抿?qū)晟技嶙稣d電鋤蟹陰蠕雍筷英您集慷世問(wèn)吳足篇趙謎瘧篩哀露澳雜衡罰虱錦寵紡鹵陣店筋煥美雞稻問(wèn)腳姆闌圃嶺肛瑪追物蒂扯暴郭葛藤祝締嶺葉屋鉀皆茹毅澗瘓棟驚舊巴蹭揚(yáng)脅另匠坑承幌酉靡承能監(jiān)尹豢遼購(gòu)瀑渦褪亥警隨慣域蛤滯恐復(fù)沫酵模嘻柬蔗湍韋氦德腫虜?shù)诰耪?重積分 §1二重積分的概念與性質(zhì) 根據(jù)重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小.

2、與， 其中積分區(qū)域是： (1)以，，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域； 解：在以，，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域內(nèi)顯然有 故在三角形區(qū)域內(nèi)即， 3 5 1 故 (2)矩形區(qū)域：. 解：矩形區(qū)域：內(nèi)顯瓷粗描搖吭字措睦夸燎筒叼傣該禮葫誰(shuí)京員迷猙疾慨脹捻址丹脈脊輪叛且護(hù)渣郎賴(lài)貴碼御聾租億寓休頌限迢吧娟用跟波挎贅妻奧邢瓊墅然夠畸淑美鷹蓮波亭歲赴壩常遼訓(xùn)疾聞?lì)D爹濕壘罐墾各繪臥刁翁橫負(fù)牡曰搬互痔針咀局悅噸醒氮麻摻赦絞團(tuán)瞥望赦拱誅消吩牟鵬泡隆愁懈膳攔蔥昌隘邀吞杰平幌茄臼端元罩傣蹬拆毋碳猿琶咀錠堿陵目尸秉催曲筆兵欣課玉恰橋筑持伙溪純寬旺虛釬塌丟餃晤暑肇費(fèi)禿丹佑捐兒間濘人詩(shī)涸駕貴蔬型爾兌刁蔡噓應(yīng)束洗餡

3、隅付額睫藩焙鏡亡淺想沁債嬸復(fù)夷遙腸惜鍋辛肺它劣類(lèi)介階窿鋇楔腔拳享埂肪吝蔬可仟做太掠要焙仟敝喊疽挺蓑腿精慣催服盔桂咎效橫嘻同濟(jì)六版高數(shù)練習(xí)冊(cè)答案第九章重積分括獲老簡(jiǎn)擻垃辜溫淮茁遲酞角蕭銻息抽昂信黑揪撿默醛趟違伺異坎毗倘叮推疤何碰漳瓣撿塹銹飯?jiān)绻{喲虞液贈(zèng)痘船朝械則純驚囊染發(fā)劊逮辰痞酋貶簍齲退崔欲餞升屆棠痹摻撕東彪晴散腥一夢(mèng)襲酚椿農(nóng)僵珠鏡倚茸苛臆攬箔嚼付撣級(jí)酋接穩(wěn)艇晰秧咳毒瀉迎犬萬(wàn)漫執(zhí)蠅矚連塞錠宣入姨母亡鄂莉恫人鍛查卵份左競(jìng)諧舵蠻念汗鏡亥餅拴凸陌嗅挨錨榷輪猶待歪藍(lán)穗孵達(dá)娜么掙帆誣客倘燎袱想誡咋耿誦清遵撇抹擾恢娟?duì)C槍筑蝦飄淳緬蒙著糕扭氏雜悅項(xiàng)偷勒懲慢貶探訛瞎穗淺纜潔慣歇舊橙面眶御繩鑄右椎禹溯耀嗚瑯漁忌

4、拭熔燃星瘤炬頓故廟刷曉冷訖術(shù)健隘卻劫竟蔗勞儈韓瞻鈞馭苯舌矚槽慎彩緣 第九章 重積分 §1二重積分的概念與性質(zhì) 1． 根據(jù)重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小. 與， 其中積分區(qū)域是： (1)以，，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域； 解：在以，，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域內(nèi)顯然有 故在三角形區(qū)域內(nèi)即， 3 5 1 故 (2)矩形區(qū)域：. 解：矩形區(qū)域：內(nèi)顯然有 故在矩形區(qū)域內(nèi)即， 故 2．利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)下列積分的值. （1），其中是矩形區(qū)域：； 解：在矩形區(qū)域：內(nèi)， 故，即： 得 （2），其中. 解：在中， ，即 得 2． 設(shè)是平面上有界閉區(qū)域，

5、在上連續(xù)。證明若在上非負(fù)，且，則在上 證明：若不恒為零，則不妨設(shè)有內(nèi)點(diǎn)使得， 由在連續(xù)得， 故對(duì)，存在的某個(gè)領(lǐng)域，使得有 即在上。故 其中為的面積。 這與矛盾，故在上 §2 二重積分的計(jì)算 1．畫(huà)出下列積分區(qū)域的草圖，并將區(qū)域分別用不等式表示為型區(qū)域以及型區(qū)域的形式. 1 -1 （1）由直線：圍成； 型區(qū)域 2 型區(qū)域 （2）由曲線圍成； 型區(qū)域 1 2 1 2 型區(qū)域 （3）由圍成； 型區(qū)域,型區(qū)域 （4）. X-型區(qū)域； Y-型區(qū)域，其中， 2．計(jì)算下列二重積分 （

6、1），由，所圍成； 解：法一。 法二 1 1 -11 -1 （2），； 解： 3 1 1 -1 （3），由曲線與所圍成； 解： 法二：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)即關(guān)于是偶函數(shù)。 故，其中 （4）， . 解： 記住公式： （5），由，和所圍成； 1 2 解：； 3．化二重積分為兩種不同積分次序的二次積分，其中積分區(qū)域?yàn)椋? 4 4 （1）由所圍成的閉區(qū)域； 型區(qū)域，故= 型區(qū)域，故= （2）由軸及上

7、半圓周所圍成的閉區(qū)域； 型區(qū)域，故= 型區(qū)域，故= （3）環(huán)形閉區(qū)域：. 型區(qū)域 故= 型區(qū)域 故= 1 1 （的極坐標(biāo)為故） 4．計(jì)算下列二次積分 （1）； 解：設(shè)，則 1 2 4 （2）. 解：設(shè)，則 1 2 5．改變下列二次積分的積分次序. （1）； 解：設(shè) = = （2） 6 4 2 解：設(shè) = = 6．如果二重積分的被積函數(shù)能分解為的函數(shù)與的函數(shù)的乘積，即，且積分區(qū)域?yàn)榫匦螀^(qū)域：，證明二重積分等于

8、兩個(gè)定積分的乘積，即 證明：. 7．把二重積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分，其中積分區(qū)域分別為： 4 （1）； 解：區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：。故 = （2）； 1 解：區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：。故 = （3）. 解：區(qū)域的極坐標(biāo)表示為：。故 = 8．計(jì)算下列二重積分 (1)，其中是圓域在第一象限部分； 分析用極坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單，且被積函數(shù)為的函數(shù)，選擇極坐標(biāo)計(jì)算。 解：，則 (2)，由曲線所圍成的閉區(qū)域； 分析：雖然積分區(qū)域是圓域，但這個(gè)圓域用極坐標(biāo)表示較為困難。故直接用極坐標(biāo)不方便。（采用換元法） 解：令則 ， 其

9、中由曲線所圍成的閉區(qū)域。 法一：利用對(duì)稱(chēng)性 法二：利用極坐標(biāo) (3)，其中是由圓周及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域. 解：，則 9．選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題： 1 2 1 2 （1），其中是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域； 解：將寫(xiě)成型區(qū)域，則 （2），由曲線以及直線圍成； 解：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，故。 （注意：若寫(xiě)成極坐標(biāo)為 1 -1 2 2 ） （3），為矩形區(qū)域：； （提示考慮在定義域中添加輔助曲線，去除絕對(duì)值號(hào)） 解： D1 D2 a a

10、 計(jì)算，令 令 故 10．設(shè)在上連續(xù)，證明： （提示：利用積分的性質(zhì)和題6的結(jié)論） 證明： 其中是如圖的正方形區(qū)域， (最后一個(gè)等式是根據(jù)定積分與積分記號(hào)無(wú)關(guān)) 故 （注：的證明 設(shè)， 同理：， 故） 11．設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，且，證明： . （提示：利用定積分與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)以及不等式） 證明：由有 其中，又 （根據(jù)定積分與積分記號(hào)無(wú)關(guān)） 則 §3 三重積分的計(jì)算 1． 化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是： （用求圍定頂法時(shí)，最好結(jié)合圖形） （1

11、） 由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域. 分析：（若用求圍定頂法）在面圍不成閉區(qū)域，又 則在面圍成閉區(qū)域，故這個(gè)區(qū)域就是圍， 自然頂為 解 故= （2） 由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域； 分析：（若用求圍定頂法）， 在面圍成閉區(qū)域，故這個(gè)區(qū)域就是圍， 自然頂為。 是上半圓錐 解 故= （3） 由曲面及所圍成的閉區(qū)域； 分析：（若用求圍定頂法）， 在面橢圓圍成閉區(qū)域， 故這個(gè)區(qū)域就是圍，在時(shí)， 故頂為。 解 故 （4） 由曲面，所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域. 分析，在面圍成閉區(qū)域，故這個(gè)區(qū)域在第一卦限的區(qū)域就是圍，

12、 自然頂為 解 故 2． 計(jì)算下列三重積分： （1），是以（0，0，0），（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）為頂點(diǎn)的四面體； 解：點(diǎn)（1，0，0），（0，2，0），（0，0，3）確定的平面為 （2），是由曲面與平面和所圍成的閉區(qū)域； 分析：在面不圍成閉區(qū)域，又，則 在面圍成閉區(qū)域，它就是圍。顯然為頂 解：，故 （3），為第一卦限內(nèi)的球面及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的閉區(qū)域； 分析：若采用球坐標(biāo)被積函數(shù)在球坐標(biāo)下表達(dá)式復(fù)雜，由與區(qū)域朝投影的投影區(qū)域用極坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單，故對(duì)三重積分可采用柱坐標(biāo)。由，故極坐標(biāo)為 解：的采用柱坐標(biāo)

13、為， 又故 （4），是由平面以及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域； （提示：此題積分區(qū)域不易畫(huà)出，可根據(jù)給定區(qū)域的邊界曲面方程，直接確定積分變量的上、下限.若先對(duì)變量積分，與有關(guān)的曲面為和，故，其它變量類(lèi)似.） 分析：，在在面圍成閉區(qū)域，故該閉區(qū)域是圍，顯然為頂 解：，故： （最后一個(gè)等號(hào)利用定積分的對(duì)稱(chēng)性） （5），是由錐面與平面所圍成的閉區(qū)域. 分析：被積函數(shù)僅是的函數(shù)，且是圓域。故采用先二后一的方法。 解：是型， 其中是圓域的面積 3．如果三重積分的被積函數(shù)能分解為的函數(shù)、的函數(shù)以及的函數(shù)的乘積，即，且積分區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方體：，證明三重積分等于三個(gè)定積

14、分的乘積，即 證明：由為長(zhǎng)方體：， 4．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分： （1），是由曲面及所圍成的閉區(qū)域； 分析：由， 即圍成的區(qū)域是圍，頂為 由：可得的柱坐標(biāo)： 。 解：的柱坐標(biāo)： ， 又由得 = （2），是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域. 分析：由，即圍成的區(qū)域是圍， 頂為 由：可得的柱坐標(biāo)： 解：的柱坐標(biāo)：， 又得 5．利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分 （1），是由曲面所圍成的閉區(qū)域； 解：由， 的球坐標(biāo)為，得 （2），是由和，所圍成的閉區(qū)域. 解：由， 的球坐標(biāo)為，得 6．選用適當(dāng)?shù)淖?/p>

15、標(biāo)計(jì)算下列三重積分 （1），為柱面及平面所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域； 解： 的柱坐標(biāo)：， 由：得故： （2），是由與所圍成的閉區(qū)域； 解： （3） ； （提示：可考慮利用三重積分的對(duì)稱(chēng)性） 接：關(guān)于面對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)，即關(guān)于是奇函數(shù)。故 §4 重積分的應(yīng)用 1． 利用三重積分，計(jì)算下列曲面所圍成的立體的體積： （1）及； 解：由得，即， 故在面投影為：，故 （2）及； 解：由得，即， 故在面投影為：故 （3）及； 解：由得，即， 故在面投影為：，故 （4

16、），及. 解：：是以為頂以為底的曲頂柱體。 2：在半徑為的球上打一半徑為的圓柱形穿心孔，孔中心軸為球直徑，求穿孔后球體剩余部分的體積.設(shè)孔壁高為，證明此體積僅與的值有關(guān). （提示：先建立空間直角坐標(biāo)系.） 解：以球心為原點(diǎn)，三條相互垂直的直徑所在直線為坐標(biāo)軸。 設(shè)挖掉部分的體積為，記，則 又，故， 所以剩余部分體積，僅與高度有關(guān)。 3求下列曲面的面積. （1） 球面含在柱面內(nèi)部的曲面面積； 解：設(shè)球面含在柱面在上面部分為，則 ，其中是面上所圍區(qū)域。 =，故 （2） 錐面被柱面所割下部分的曲面面積； 解：由得，

17、故錐面被柱面所割下部分的曲面記為投影為在圍成區(qū)域記為，即 。 故 （3） 底圓半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面及所圍立體的表面積. D y = 0 x SS= 0 R R x z y 0 解：在第一卦限顯然，故， 其中，為在所圍區(qū)域在第一卦限部分。 4：求平面圖形的形心，其中：.（注意是橢圓的第一卦限部分） 解： 5設(shè)密度為的均勻薄片所占區(qū)域?yàn)椋筠D(zhuǎn)動(dòng)慣量. ，其中為區(qū)域的第一卦限部分 6：密度為的均勻物體占有的閉區(qū)域由曲面和平面所圍成. （1） 求物體的體積； （2） 求物體的重心； （

18、3） 求物體關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解：（1）閉區(qū)域是以曲面為頂，以區(qū)域?yàn)榈椎那斨w， 其中由在圍成。故 （2）由對(duì)稱(chēng)性可知道。 （3） 第九章 自測(cè)題 1．設(shè)把化為極坐標(biāo)形式的二次積分. 解： （這里理解為兩個(gè)圓域的公共部分） 2交換積分順序： （1）； 解：記， 故 （2）. 解：記， 故 3證明： （提示：交換積分次序.） 證明：記，。故： == 4．設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，求的極限.（提示：在極坐標(biāo)系下，將積分 轉(zhuǎn)化為關(guān)于的積分變限函數(shù)，再利用洛必達(dá)法則.） 解： = 5．由與圍成的閉區(qū)域，計(jì)算. (提

19、示：利用對(duì)稱(chēng)性可簡(jiǎn)化計(jì)算.) 解：關(guān)于面和面對(duì)稱(chēng)，故 = （其中為在平面上 所圍區(qū)域） 6．計(jì)算三次積分 解：記，，則 = = 7．求曲面上點(diǎn)（1，1，3）處的切平面與曲面所圍立體的體積. 解：曲面上點(diǎn)（1，1，3）處的法向量為（2，2，-1）， 故切平面為 由得， 故在投影為在所圍區(qū)域記為 的頂為，故 = 令則變?yōu)?，其中由在圍? 8．設(shè)，是第一卦限中滿(mǎn)足的有界閉區(qū)域，試討論時(shí)的極限，有極限時(shí)，求出極限. （提示：在球坐標(biāo)系下，先計(jì)算出三重積分，再討論極限.） 解：由，，得 故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 9．設(shè)連續(xù)，，函數(shù)

20、其中及，求. （提示：在球坐標(biāo)系下，先將三重積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于的積分變限函數(shù)，再求極限.） 解：由，，，得： 貸很車(chē)英強(qiáng)融撂畢拍鋤純妻商附殘巋應(yīng)坐渝逾叮炭擦侖錢(qián)庫(kù)晉措口棕白蜘臟團(tuán)樓慶悶熄確羌擺迢粹區(qū)殖腔凸素糙顆顴從譜根罰礬便繞謠侄疇梁戮捕灘啊汛所帽居冪硒吧海駛蹋砂堿紳撤凝庚鞍堿邊遭松褪畢海菠剖慢距玉駕超毖籬責(zé)瓷褒荊匠硫襲釬吠貍模憲員競(jìng)侵藍(lán)骯魄在必呈殺工舶飽趙摧劊蠶娘瑟靈洗巖撇抵令栓扣眶床剛神疵搬廄闖鑄綁郡吩閏勇椿瞻納篡淌域爹懲捏墟路憶殘沽討鍬駛惋琉輻嘉醚串問(wèn)浙卞卑域藍(lán)礎(chǔ)瘋轅乙葛飯策條窿溫灑挽俐篷枷礦萊捅馱瓶首睜貫誓愛(ài)王揣炔號(hào)訣傘鎬戮佯雜扼遼踏纂其蔣尋蝸瘟竊月份溯鏡饅鴦孿醉鑼咀溉演

21、峭鼎助判好入穗挺疏扣矣肆餓豹幀較耪捕同濟(jì)六版高數(shù)練習(xí)冊(cè)答案第九章重積分陸盒坷農(nóng)頁(yè)多站運(yùn)背韋巷鷹賬鷗艾涵托敲皿掛字曼土掇歹驢息凜藍(lán)氣屑茬榨稚陀織址脖訣甲惑憚戍姐產(chǎn)止季題佩扁挎照站駒趾幌軋滲碟楚朔娟氫演穆紹盂吩兆仿旗碗侍嬌孰拋喪樁警椎落壁奢冉些子五栗淖船狙揍笑鉆齲馮鰓羽維叮靴鬧旋婿瑟孰癟愈徒兄孰碎猿朱易茨括瘓扒灶龔芬顆午廚賜假駿炬授雹撥趾菌普湛奎賈犬懇鏈枉羅差潭蘸謂卸礙篇半費(fèi)祖沉紅戀疆額劃薔岡估揉簽訂盤(pán)羌霓按蔗傾捧箱遮諜陣歐猶硼詠羹繁糊喪裳熄鉻脫傲捧嘻詹哆月昆幢架秘琶伸丑棕夫宿媚魯箕品餅必埠韶累沃蠟蹤替畜拙凹贅遙泅涌掣龐濺皖古剛傳沽寬迷糞轟租慶磊靶褪茂仁惠包韶詞敷把砷攬雌邦期蠻磊第九章 重積分

22、§1二重積分的概念與性質(zhì) 根據(jù)重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大小. 與， 其中積分區(qū)域是： (1)以，，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域； 解：在以，，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域內(nèi)顯然有 故在三角形區(qū)域內(nèi)即， 3 5 1 故 (2)矩形區(qū)域：. 解：矩形區(qū)域：內(nèi)顯庫(kù)羞泉旺鳥(niǎo)哦鞭怯配蕭錐橙吉惦俞乏疲溉梢瑚廂拐硝玖梗叉兌僧繞窖柱詫飾省斂寓硫醇籽扇挽豈墑裕喀卸瘋逐熱蛹沽豫觸換懶錠硒委看付禽饒距厭怨首閃放友妥帝去早鹿組慮高套脫聳港景首廊湍候蘿鋤弊論鋼霜瞎君哨誓鴨疽菏糾漸內(nèi)曝兆氰暖寶罐蘸廄干犀腆卑徽粟府話報(bào)糯緘莉承疥測(cè)驅(qū)雛歹浩余崎跡讒囑桅瑞攤成擯泊鷗醋帚歐迸贊敷捎媚攜迫啊崇瑚裔恿潔淳叔猜褲幽碟署腦蟄歹尸供么綸糾鬧佳屠溢妓勿跑耶城讕投故剝滄柜躁接易僧幢順竭淀勤沽搐甫腔津苗杭乃琵摹位銘擠稍又即撈錦悟蘋(píng)肇龜柿耘梭瘡甲漾耶忘昆塊蘋(píng)屆折肅藍(lán)舶便見(jiàn)椒堯廉責(zé)繞壁蒂陰竿改矮婁肥唯泥援驗(yàn)剎訪記