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1、 4.3.2 空間兩點間的距離公式 整體設計 教學分析 平面直角坐標系中,兩點之間的距離公式是學生已學的知識,不難把平面上的知識推廣到空間,遵循從易到難、從特殊到一般的認識過程,利用類比的思想方法,借助勾股定理得到空間任意一點到原點的距離;從平面直角坐標系中的方程x2+y2=r2表示以原點為圓心,r為半徑的圓,推廣到空間直角坐標系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原點為球心,r為半徑的球面.學生是不難接受的,這不僅不增加學生負擔,還會提高學生學習的興趣. 三維目標 1.掌握空間兩點間的距離公式,會用空間兩點間的距離公式解決問題. 2.通過探究空間兩點間的距離公式,靈活

2、運用公式,初步意識到將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決問題的基本思想方法,培養(yǎng)類比、遷移和化歸的能力. 3.通過棱與坐標軸平行的特殊長方體的頂點的坐標,類比平面中兩點之間的距離的求法,探索并得出空間兩點間的距離公式,充分體會數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)積極參與、大膽探索的精神. 重點難點 教學重點：空間兩點間的距離公式. 教學難點:一般情況下,空間兩點間的距離公式的推導. 課時安排 1課時 教學過程 導入新課 思路1.距離是幾何中的基本度量,幾何問題和一些實際問題經(jīng)常涉及距離,如飛機和輪船的航線的設計,它雖不是直線距離,但也涉及兩點之間的距離,一些建筑設計也要計算空間兩點之間的距離,那么

3、如何計算空間兩點之間的距離呢?這就是我們本堂課的主要內(nèi)容. 思路2.我們知道,數(shù)軸上兩點間的距離是兩點的坐標之差的絕對值,即d=|x1-x2|；平面直角坐標系中,兩點之間的距離是d=.同學們想,在空間直角坐標系中,兩點之間的距離應怎樣計算呢？又有什么樣的公式呢？因此我們學習空間兩點間的距離公式. 推進新課 新知探究 提出問題 ①平面直角坐標系中,兩點之間的距離公式是什么？它是如何推導的？ ②設A(x,y,z)是空間任意一點,它到原點的距離是多少？應怎樣計算？ ③給你一塊磚,你如何量出它的對角線長,說明你的依據(jù). ④同學們想,在空間直角坐標系中,你猜想空間兩點之間的距離應怎樣計算

4、？ ⑤平面直角坐標系中的方程x2+y2=r2表示什么圖形？在空間中方程x2+y2+z2=r2表示什么圖形？ ⑥試根據(jù)②③推導兩點之間的距離公式. 活動：學生回憶,教師引導,教師提問,學生回答,學生之間可以相互交流討論,學生有困難教師點撥.教師引導學生考慮解決問題的思路,要全面考慮,大膽猜想,發(fā)散思維.①學生回憶學過的數(shù)學知識,回想當時的推導過程；②解決這一問題,可以采取轉(zhuǎn)化的方法,轉(zhuǎn)化成我們學習的立體幾何知識來解；③首先考慮問題的實際意義,直接度量,顯然是不可以的,我們可以轉(zhuǎn)化為立體幾何的方法,也就是求長方體的對角線長.④回顧平面直角坐標系中,兩點之間的距離公式,可類比猜想相應的公式；⑤

5、學生回憶剛剛學過的知識,大膽類比和猜想;⑥利用③的道理,結(jié)合空間直角坐標系和立體幾何知識,進行推導. 討論結(jié)果：①平面直角坐標系中,兩點之間的距離公式是d=,它是利用直角三角形和勾股定理來推導的. 圖1 ②如圖1,設A(x,y,z)是空間任意一點,過A作AB⊥xOy平面,垂足為B,過B分別作BD⊥x軸,BE⊥y軸,垂足分別為D,E.根據(jù)坐標的含義知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原點的距離是d=. ③利用求長方體的對角線長的方法,分別量出

6、這塊磚的三條棱長,然后根據(jù)對角線長的平方等于三條邊長的平方的和來算. ④由于平面直角坐標系中,兩點之間的距離公式是d=,是同名坐標的差的平方的和再開方,所以我們猜想,空間兩點之間的距離公式是d=,即在原來的基礎上,加上縱坐標差的平方. ⑤平面直角坐標系中的方程x2+y2=r2表示以原點為圓心,r為半徑的圓;在空間x2+y2+z2=r2表示以原點為球心,r為半徑的球面;后者正是前者的推廣. 圖2 ⑥如圖2,設P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點,我們來計算這兩點之間的距離. 我們分別過P1P2作xOy平面的垂線,垂足是M,N,則M(x1,y1,0),N

7、(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=. 再過點P1作P1H⊥P2N,垂足為H,則|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=,根據(jù)勾股定理,得|P1P2|==.因此空間中點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之間的距離為|P1P2|=. 于是空間兩點之間的距離公式是d=.它是同名坐標的差的平方的和的算術平方根. 應用示例 例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求： (1)線段AB的中點坐標和長度； (2)到A,B兩點的距離相等的點P(x,y,z)的坐標滿足的條件. 活動：

8、學生審題,教師引導學生分析解題思路,已知的兩點A、B都是空間直角坐標系中的點,我們直接利用空間兩點間的距離公式求解即可.知識本身不難,但是我們計算的時候必須認真,決不能因為粗心導致結(jié)果錯誤. 解:(1)設M(x,y,z)是線段AB的中點,則根據(jù)中點坐標公式得 x==2,y==,z==3.所以AB的中點坐標為(2,,3). 根據(jù)兩點間距離公式,得 d(A,B)=, 所以AB的長度為. (2)因為點P(x,y,z)到A,B的距離相等, 所以有下面等式： . 化簡得4x+6y-8z+7=0, 因此,到A,B兩點的距離相等的點P(x,y,z)的坐標滿足的條件是4x+6y-8z+7=

9、0. 點評:通過本題我們可以得出以下兩點： ①空間兩點連成的線段中點坐標公式和兩點間的距離公式是平面上中點坐標公式和兩點間的距離公式的推廣,而平面上中點坐標公式和兩點間的距離公式又可看成空間中點坐標公式和兩點間的距離公式的特例. ②到A,B兩點的距離相等的點P(x,y,z)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面. 變式訓練 在z軸上求一點M,使點M到點A(1,0,2),B(1,-3,1)的距離相等. 解:設M(0,0,z),由題意得|MA|=|MB|, , 整理并化簡,得z=-3,所以M(0,0,-3). 例2 證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂

10、點的△ABC是一等腰三角形. 活動：學生審題,教師引導學生分析解題思路,證明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長,根據(jù)邊長來確定. 證明：由兩點間距離公式得： |AB|= |BC|=, |CA|=. 由于|BC|=|CA|=,所以△ABC是一等腰三角形. 點評:判斷三角形的形狀一般是根據(jù)邊長來實現(xiàn)的,因此解決問題的關鍵是通過兩點間的距離公式求出邊長. 變式訓練 三角形△ABC的三個頂點坐標為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),試證明△ABC是一直角三角形. 活動：學生先思考或交流,然后解答,教師及時提示引導,

11、要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長,利用勾股定理的逆定理來判定. 解:因為三個頂點坐標為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|==3, |BC|=, |CA|==3. 又因為|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形. 例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),則|AB|的最小值為( ) A.0 B. C. D. 活動：學生閱讀題目,思考解決問題的方法,

12、教師提示,要求|AB|的最小值,首先我們需要根據(jù)空間兩點間的距離公式表示出|AB|,然后再根據(jù)一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|= = =. 當x=時,|AB|的最小值為. 故正確選項為B. 答案：B 點評:利用空間兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化為關于x的二次函數(shù)求最值是常用的方法. 知能訓練 課本本節(jié)練習1、2、3、4. 拓展提升 已知三棱錐P—ABC(如圖4),PA⊥平面ABC,在某個空間直角坐標系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),畫出這個空間直角坐標系并求出直線AB與x軸所成的較小的角. 圖3 解:根據(jù)已知條件

13、,畫空間直角坐標系如圖3： 以射線AC為y軸正方向,射線AP為z軸正方向,A為坐標原點建立空間直角坐標系O—xyz,過點B作BE⊥Ox,垂足為E,∵B(m,m,0),∴E(m,0,0). 在Rt△AEB中,∠AEB=90°,|AE|=m,|EB|=m, ∴tan∠BAE==.∴∠BAE=30°, 即直線AB與x軸所成的較小的角為30°. 課堂小結(jié) 1.空間兩點間的距離公式的推導與理解. 2.空間兩點間的距離公式的應用. 3.建立適當?shù)目臻g直角坐標系,綜合利用兩點間的距離公式. 作業(yè) 習題4.3 A組3,B組1、2、3. 設計感想 本節(jié)課從平面直角坐標系中兩點之

14、間的距離公式入手,創(chuàng)設問題情景,不難把平面上的知識推廣到空間,遵循從易到難、從特殊到一般的認識過程,利用類比的思想方法,借助勾股定理得到空間任意一點到原點的距離.為了培養(yǎng)學生的理性思維,在例題中,設計了由特殊到一般的學習思路,培養(yǎng)學生的歸納概括能力.在問題的設計中,用一題多解的探究,縱向挖掘知識深度,橫向加強知識間的聯(lián)系,培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神,本節(jié)課的設計通過適當?shù)膭?chuàng)設情境,調(diào)動學生的學習興趣.本節(jié)課以問題為紐帶,以探究活動為載體,使學生在問題的指引下、教師的指導下把探究活動層層展開、步步深入,充分體現(xiàn)以教師為主導,以學生為主體的指導思想.把學生學習知識的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程,提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強了信心.