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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 第一章 緒論 研究連續(xù)介質(zhì)宏觀力學(xué)性狀的分支學(xué)科。宏觀力學(xué)性狀是指在三維歐氏空間和均勻流逝時間下受牛頓力學(xué)支配的物質(zhì)性狀。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)對物質(zhì)的結(jié)構(gòu)不作任何假設(shè)。它與物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論并不矛盾，而是相輔相成的。物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論研究特殊結(jié)構(gòu)的物質(zhì)性狀，而連續(xù)介質(zhì)力學(xué)則研究具有不同結(jié)構(gòu)的許多物質(zhì)的共同性狀。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的主要目的在于建立各種物質(zhì)的力學(xué)模型和把各種物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系用數(shù)學(xué)形式確定下來，并在給定的初始條件和邊界條件下求出問題的解答。 如果一個物體的質(zhì)量、動量、能量密度在數(shù)學(xué)意義上存在，這個物質(zhì)就是一個物質(zhì)連續(xù)統(tǒng)（連續(xù)介質(zhì)）。這樣一個物質(zhì)連續(xù)統(tǒng)的力學(xué)就是連續(xù)

2、介質(zhì)力學(xué)（附加限制條件：只要始終保持含有足夠多的粒子，而不至于使極限值不存在或者發(fā)生突躍）。它通常包括下述基本內(nèi)容：①變形幾何學(xué)，研究連續(xù)介質(zhì)變形的幾何性質(zhì)，確定變形所引起物體各部分空間位置和方向的變化以及各鄰近點相互距離的變化，這里包括諸如運(yùn)動，構(gòu)形、變形梯度、應(yīng)變張量、變形的基本定理、極分解定理等重要概念。②運(yùn)動學(xué)，主要研究連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中各種量的時間率，這里包括諸如速度梯度，變形速率和旋轉(zhuǎn)速率，里夫林－埃里克森張量等重要概念。③基本方程，根據(jù)適用于所有物質(zhì)的守恒定律建立的方程，例如，熱力連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中包括連續(xù)性方程、運(yùn)動方程、能量方程、熵不等式等。④本構(gòu)關(guān)系。⑤特殊理論，例如彈性理論、粘性

3、流體理論、塑性理論、粘彈性理論、熱彈性固體理論、熱粘性流體理論等。⑥問題的求解。根據(jù)發(fā)展過程和研究內(nèi)容，客觀上連續(xù)介質(zhì)力學(xué)已分為古典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和近代連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。 1.1基本假設(shè) 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的最基本假設(shè)是“連續(xù)介質(zhì)假設(shè)”：即認(rèn)為真實的流體和固體可以近似看作連續(xù)的，充滿全空間的介質(zhì)組成，物質(zhì)的宏觀性質(zhì)依然受牛頓力學(xué)的支配。這一假設(shè)忽略物質(zhì)的具體微觀結(jié)構(gòu)（對固體和液體微觀結(jié)構(gòu)研究屬于凝聚態(tài)物理學(xué)的范疇），而用一組偏微分方程來表達(dá)宏觀物理量（如質(zhì)量，數(shù)度，壓力等）。這些方程包括描述介質(zhì)性質(zhì)的方程（constitutive equations）和基本的物理定律，如質(zhì)量守恒定律，

4、動量守恒定律等。 專心---專注---專業(yè) 1.2研究對象 固體：固體不受外力時，具有確定的形狀。固體包括不可變形的剛體和可變形固體。剛體在一般力學(xué)中的剛體力學(xué)研究；連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的固體力學(xué)則研究可變形固體在應(yīng)力，應(yīng)變等外界因素作用下的變化規(guī)律，主要包括彈性和塑性問題。 　　 彈性：應(yīng)力作用后，可恢復(fù)到原來的形狀。 　　 塑性：應(yīng)力作用后，不能恢復(fù)到原來的形狀，發(fā)生永久形變。 　　 流體：流體包括液體和氣體，無確定形狀，可流動。流體最重要的性質(zhì)是粘性（viscosity，流體對由剪切里引起的形變的抵抗力，無粘性的

5、理想氣體，不屬于流體力學(xué)的研究范圍）。從理論研究的角度，流體常被分為牛頓流體和非牛頓流體。 　　 牛頓流體：滿足牛頓粘性定律的流體，比如水和空氣。 　　 非牛頓流體：不滿足牛頓粘性定律的流體，介乎于固體和牛頓流體之間的物質(zhì)形態(tài)。 1.3連續(xù)介質(zhì)力學(xué)發(fā)展史 古典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，側(cè)重于研究兩種典型的理想物質(zhì)，即線性彈性物質(zhì)和線性粘性物質(zhì)。彈性物質(zhì)是指應(yīng)力只由應(yīng)變來決定的物質(zhì)。當(dāng)變形微小時，應(yīng)力可以表示為應(yīng)變張量的線性函數(shù)，這種物質(zhì)稱為線性彈性固體。本構(gòu)方程中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)。對各向異性彈性固體最多可有21個彈性常數(shù),而各向同性彈性固體則只有2個。粘性物質(zhì)是指應(yīng)力

6、與變形速率有關(guān)的物質(zhì)。對流體來說，如果這個關(guān)系是線性的，就稱為線性粘性流體或稱牛頓流體。對線性粘性流體只有 2個粘性系數(shù)。這兩種典型物質(zhì)能很好地表示出工程技術(shù)上所處理的大部分物質(zhì)的特性，所以，古典連續(xù)介質(zhì)理論至今仍被廣泛應(yīng)用并將繼續(xù)發(fā)揮它解決實際問題的能力。連續(xù)介質(zhì)力學(xué) 近代連續(xù)介質(zhì)力學(xué) 是1945年以后逐漸發(fā)展起來的。它在下列幾個方面對古典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)作了推廣和擴(kuò)充：①物體不必只看作是點的集合體；它可能是由具有微結(jié)構(gòu)的物質(zhì)點組成。②運(yùn)動不必總是光滑的；激波以及其他間斷性、擴(kuò)散等，都是容許的。③物體不必只承受力的作用；它也可以承受體力偶、力偶應(yīng)力以及電磁場所引起的效應(yīng)等。④對本構(gòu)

7、關(guān)系進(jìn)行更加概括的研究。⑤重點研究非線性問題。研究非線性連續(xù)介質(zhì)問題的理論稱為非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。 　　 近年來，近代連續(xù)介質(zhì)力學(xué)在深度和廣度方面都已取得很大的進(jìn)展，并出現(xiàn)下列三個發(fā)展方向：①按照理性力學(xué)的觀點和方法研究連續(xù)介質(zhì)理論，從而發(fā)展成為理性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。②把近代連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和電子計算機(jī)結(jié)合起來，從而發(fā)展成為計算連續(xù)介質(zhì)力學(xué)。③把近代連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的研究對象擴(kuò)大，從而發(fā)展成為連續(xù)統(tǒng)物理學(xué)。 1.4學(xué)科構(gòu)成 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)體系的由基元（物體、質(zhì)量、時空系、運(yùn)動、力、功和能、溫度和熱），基本規(guī)律（適合于所有物體，構(gòu)成自然界的基本規(guī)律）及本構(gòu)方程（各種物體特有的規(guī)律）組成。 1.5主要分

8、支學(xué)科： 基本分支學(xué)科：固體力學(xué)；彈性力學(xué)；塑性力學(xué)；斷裂力學(xué)；流體力學(xué)；流體靜力學(xué)；流體運(yùn)動學(xué)；流體動力學(xué)。 　　 應(yīng)用分支學(xué)科和交叉學(xué)科：結(jié)構(gòu)力學(xué)；材料力學(xué)；爆炸力學(xué)；空氣動力學(xué)；等離子體動力學(xué)；磁流體動力學(xué)。 1.6主要研究內(nèi)容 張量初步（張量的概念、坐標(biāo)變換、張量運(yùn)算等）；運(yùn)動和變形（關(guān)于物體變形和運(yùn)動的幾何描述）；基本定律（如質(zhì)量守恒、動量守恒等以及熱力學(xué)定律）；本構(gòu)關(guān)系（本構(gòu)公理以及典型簡單物質(zhì)的本構(gòu)方程）。 第二章 張量初步 2.1 矢量和張量 重要矢量等式： 指標(biāo)記法： 啞指標(biāo)求和約定 自由指標(biāo)規(guī)則 協(xié)變基底和逆變基底： 張量概念

9、 度量張量 張量的商法則 置換符號 置換張量 2.2： 二階張量 重要性質(zhì)： 主不變量 標(biāo)準(zhǔn)形 1) 特征值、特征向量 2) 實對稱二階張量標(biāo)準(zhǔn)形 3. 正交張量（了解方法） 4. 反對稱二階張量的標(biāo)準(zhǔn)形 5. 正則張量極分解

10、 2.3 張量函數(shù) 概念：各項同性張量函數(shù)、解析函數(shù) 計算 重要定理： 1) Hamilton-Cayley定理： 2) .對稱各向同性張量函數(shù)表示定理： ； 其中；而系數(shù)是的主不變量的函數(shù)。 張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1) 方向?qū)?shù)： 是的線性函數(shù) 2) 方向?qū)?shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 3) 導(dǎo)數(shù) 4) 張量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t：，則 重要輔助知識 2.4：曲線坐標(biāo)系張量分析 基矢量的導(dǎo)數(shù) Hamilton 算子 張

11、量的協(xié)變導(dǎo)數(shù) 重要性質(zhì)： 1) ．度量張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零 2) ．置換張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零 3) ．張量分量的縮并與求協(xié)變導(dǎo)數(shù)次序可交換 4) ． 積分定理 Riemann-Christoffel 張量 歐氏空間特性： ① Riemann曲率張量等于零 ②張量對曲線坐標(biāo)的求導(dǎo)順序可交換 張量的物理分量 掌握張量在標(biāo)準(zhǔn)基下分解時Hamilton 算子對張量的運(yùn)算（會求極坐標(biāo)系下線應(yīng)變張量） 第三章 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基礎(chǔ) 3.1物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo) 對于有限個質(zhì)點組成的質(zhì)點系統(tǒng)，我們

12、可以采用給質(zhì)點編號的方式區(qū)分各個質(zhì)點;對于有無限個質(zhì)點組成的系統(tǒng)，我們就采用坐標(biāo)識別系統(tǒng)中各個質(zhì)點。用于標(biāo)示質(zhì)點的坐標(biāo)稱為物質(zhì)坐標(biāo)；表示空間中幾何點的坐標(biāo)則稱為歐拉坐標(biāo)。 兩種坐標(biāo)是通過連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動聯(lián)系起來的：如果在時刻t質(zhì)點占據(jù)空間位置，則二者之間具有函數(shù)關(guān)系： 由于這個函數(shù)必須是一一影射的，其反函數(shù)存在并且唯一： 因此，質(zhì)點的位置矢量、速度等都可以等價地用物質(zhì)坐標(biāo)或空間坐標(biāo)描述： 當(dāng)我們采用物質(zhì)坐標(biāo)時，相應(yīng)的基矢量： 當(dāng)我們采用空間（Euler）坐標(biāo)時，相應(yīng)的基矢量： 兩者之間具有轉(zhuǎn)換關(guān)系：

13、 3.2物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 高斯定理： 設(shè)Ω 為空間有界閉區(qū)域，其邊界面S是分片光滑曲面，曲面正側(cè)記作S+，若向量函數(shù)F(x,y,z)={P (x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)}的各分量在Ω及S+上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有： 或其中，在點(x,y,z)處的單位法向量。 3.2.1質(zhì)點的速度： 算子稱為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（全導(dǎo)數(shù)）。它的含義是保持物質(zhì)坐標(biāo)不變時，張量隨時間的變化率。 Euler 坐標(biāo)基底矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)： 物質(zhì)坐標(biāo)（Langrange）基底矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)： 歐氏空間中矢量求偏導(dǎo)數(shù)的順序是可以交換的，因此 利用協(xié)變基

14、與逆變基之間的關(guān)系，我們得到： Langrange逆變基底矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可以由逆變基的定義式 求得。顯而易見： 因此 該式左端是逆變基物質(zhì)導(dǎo)數(shù)在協(xié)變基下的分量，因而 （物質(zhì)坐標(biāo)基底矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可表示為速度梯度與基矢量的點積；協(xié)變基的導(dǎo)數(shù)與哈密頓算子相鄰；逆變基的導(dǎo)數(shù)與負(fù)的速度矢量相鄰） 3.2.2張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) Euler描述下，張量是空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)，所以張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)： 　　　　　 物質(zhì)描述下，張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)： 由于 　　　　 所以 可以證明度量張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)

15、為零： （） 3.3速度場的加法分解 　將速度梯度分解為對稱部分和反對稱部分： 其中： 如果彈性體做剛體運(yùn)動，則剛體上一點的速度 因此 （） 所以，剛體運(yùn)動時速度梯度的對稱部分，即剛體運(yùn)動的速度梯度是反對稱的。速度梯度的對稱部分描述變形的速率，而反對稱部分描述基矢量的轉(zhuǎn)動速率。 3.4二階張量場的相對導(dǎo)數(shù) 剛體轉(zhuǎn)動會引起張量變化率的改變，客觀的應(yīng)力、應(yīng)變隨時間變化率應(yīng)剔除剛體轉(zhuǎn)動所引起的那部分。 將速度梯度進(jìn)行加法分解后得到： 上式右端的前兩項定義為Jaumann導(dǎo)數(shù):

16、 Jaumann導(dǎo)數(shù)剔除了局部剛體運(yùn)動的影響，它是一種相對導(dǎo)數(shù)。些材料的本構(gòu)關(guān)系和應(yīng)變、應(yīng)力的變化率有關(guān)。然而，應(yīng)力張量（應(yīng)變張量）的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)卻不適合在本構(gòu)關(guān)系中使用：例如：一個做剛體運(yùn)動的彈性體的內(nèi)部應(yīng)力是不變的，然而應(yīng)力張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)卻是非零的，因此應(yīng)當(dāng)采用應(yīng)力、應(yīng)變的相對導(dǎo)數(shù)描述本構(gòu)關(guān)系： 3.5連續(xù)介質(zhì)的變形與運(yùn)動 變形前物質(zhì)線元 ，變形后成為 其中 ； 是變形梯度張量，它的逆張量 ； 這是由于： 從變形梯度張量的表達(dá)式中可知： 變形梯度張量是協(xié)變瞬時協(xié)變基底矢量與初始協(xié)變基底矢量的并矢；它的逆是初始協(xié)變基底與

17、瞬時逆變基底的并矢。 3.5.1位移梯度與變形梯度張量之間的關(guān)系 物質(zhì)描述下空間一點的矢徑 其中為變形前（初始時刻）連續(xù)介質(zhì)中一點所在的位置；為質(zhì)點的位移。 因此 其中,算子 ; 兩者之間的聯(lián)系： 變形前后線元長度的變化： 兩種張量與位移梯度之間的關(guān)系： 小變形、小位移假設(shè)下，應(yīng)變張量的非線性部分：可以忽略，從而： ; 變形前后連續(xù)體所占據(jù)的空間沒有明顯變化，物質(zhì)描述與空間描述之間的差別也可忽略，兩種應(yīng)變是一致的。 Green應(yīng)變的分量表示 在直角坐標(biāo)系下

18、 3.5.2體積微元 變形前連續(xù)介質(zhì)中一個體積微元可以由三個線性無關(guān)的線元作混合積表示為 變形后，這三個微元分別變換為 變形后的體積微元 因此 其中 表示變形梯度張量的第三不變量，即它的行列式： 它與基底矢量之間的關(guān)系為 3.5.3面元 變形前連續(xù)介質(zhì)中一片帶有方向的面積微元可以由組成它的兩條邊的線元表示為： 面元的方向指向該面的外法線方向。變形后的面元可以由變形后的線元和表示為 選一與變形前的兩個線元線性無關(guān)的線元，則它可與面元共同組成一個體積微元。這個體積微元在變形前后的關(guān)系為 體元與面元之間具有如下的

19、聯(lián)系 因此 由于上式對任何不在面元內(nèi)的線元都成立，所以 考慮到：，代入上式中可得： 因此 3.5.4變形梯度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 由變形梯度張量的構(gòu)成，依據(jù)Lagrange基底矢量物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，我們可以得到： 推導(dǎo)以上各式的過程中，我們利用了初始構(gòu)型下的基矢量的性質(zhì)： 3.5.5線元的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 將代入后得： 把線元分解為長度和方向描述，即 長度的變化率 由于 所以 特別地，如果速度梯度的對稱部分等于零，則線元

20、長度不變（局部剛體運(yùn)動）。線元的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)也可表述為： 由此可得線元方向的變化率 3.5.6體元的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 瞬時體積微元： 因此，它的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)： 將各個線元的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)代入到上式得： 回顧二階張量第一不變量的性質(zhì)，可知： 然而： 所以 另一方面，由變形前后體積微元之間的聯(lián)系可得： 兩種形式的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一致的，所以 3.5.7面元的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 由變形前后面元的轉(zhuǎn)換關(guān)系 可知: 面元的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 將變形梯度張量以及體積比的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)代入上式得到： 面元矢量的數(shù)值是微元的面積，面元的方

21、向是微元的外法線方向，即： 微元的面積與微元矢量的關(guān)系可以表述為： 因此，微元面積的變化率 將微元矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)代入上式中得到： 微元矢量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可用微元面積和微元方向矢量表述為 從中可得微元矢量的變化率 整理后得到： 與線元的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)相比，可見兩者之間是不相同的。這是因為面元方向矢量不是由一段物質(zhì)質(zhì)點組成的線元。 3.5.8張量場函數(shù)在域上積分的導(dǎo)數(shù) 1) 求這類積分時，不但要考慮張量自身隨時間的變化，還要考慮積分域也在隨連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動而改變，因此 將張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 代入到上式中，我們得到： 其

22、中 所以 最后兩項中：第一項代表由于張量隨時間變化而引起的體積分變化率；第二項則是由于外表面的運(yùn)動引起的積分區(qū)域的變化所導(dǎo)致的體積分變化率。 2) 對張量和面元分別求導(dǎo)得： 將 代入上式得 3) 3.5.9 Green應(yīng)變張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 由Green應(yīng)變與變形梯度之間的關(guān)系 得到它的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)： 代入變形梯度張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)后： 可見，Green應(yīng)變張量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是否為零張量，取決于速度梯度張量的對稱部分。如果在連續(xù)體某些點處，則這點附近的連續(xù)體做局部剛體運(yùn)動。 幾種應(yīng)力定義 在已變形的連續(xù)介質(zhì)中，過固定質(zhì)點的外法線為的

23、面積微元上，周圍介質(zhì)的作用力在這個截面上的合力為。對圖示的四面體，截面與坐標(biāo)面之間存在關(guān)系（封閉曲面有向面積之和為零）： 其中 因此 運(yùn)用牛頓定律可得： 當(dāng)截面無限趨近于特定質(zhì)點時，由于體積微元是比面積微元更高一階的無窮小量，上式右端將比左端更快地趨近于零。因此, 利用并矢定義，我們可以將上式重寫為： 由于矢量的并矢是張量，所以稱 為Cauchy應(yīng)力張量，并且過質(zhì)點外法線為的截面上的面力 Cauchy應(yīng)力張量的分量 表示外法線沿的截面上的面力沿方向的分量。在變形后的面積微元上的面力合力

24、 其中定義為第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力。與Cauchy不同的是，它參照初始構(gòu)型中的面積微元度量變形后該面上的面力。根據(jù)面積微元的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得： 從中可見：第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量與Cauchy應(yīng)力張量之的轉(zhuǎn)換關(guān)系： 如果將Cauchy應(yīng)力張量表述為 則 （） 從中可見：第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量在度量初始構(gòu)型中面積微元變形后所受的面力時，面力是相對瞬時基底表述的。第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力 則把將Cauchy應(yīng)力張量的兩個瞬時協(xié)變基底都轉(zhuǎn)化為初始協(xié)變基底： 第四

25、章 連續(xù)介質(zhì)的基本規(guī)律 4.1質(zhì)量守恒定律、連續(xù)方程 質(zhì)量守恒： 一小塊連續(xù)介質(zhì)，變形前的體積為，變形后的體積成為；同時質(zhì)量密度也從變化為。物理定律告訴我們：由同量物質(zhì)組成的物體，無論發(fā)生怎樣的形狀變化，它所含的物體質(zhì)量是不變的——質(zhì)量守恒定律。因此： 將變形前后體積微元之間的聯(lián)系代入到上式中，我們得到質(zhì)量密度的變化與變形梯度行列式值之間的關(guān)系： 對該方程兩端求物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，得到質(zhì)量密度變化規(guī)律： 體積分的物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 在t時刻，占據(jù)空間體積為V的那部分連續(xù)介質(zhì)的質(zhì)量m為： 其中為質(zhì)量密度 連續(xù)性方程： 1) 歐拉形式

26、的連續(xù)性方程： （積分形式） （微分形式） 2) 拉格朗日連續(xù)性方程： 3) 由質(zhì)量守恒 有體元變換 得到 （微分形式的連續(xù)性方程） 4.2動量守恒定律 牛頓定律指出：質(zhì)點所受的合外力等于該質(zhì)點動量的變化率。在連續(xù)介質(zhì)中取出一個無限小的微元體，牛頓定律對這個微元體成立： 其中，為微元體所受的體力密度（如重力加速度）；分別是連續(xù)介質(zhì)初始時刻所占據(jù)的空間域和表面；是連續(xù)介質(zhì)瞬時所占據(jù)的空間域和表面。將沿外表面的積分轉(zhuǎn)化為體積積分： 則動量定理可以改寫為： 這個方程對圍繞核心質(zhì)點的任意形狀的微元體都成立，因此被積函數(shù)必然為零：

27、 連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動方程還可以寫作 這是由于兩類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量存在聯(lián)系： 4.3動量矩定理 對質(zhì)點系統(tǒng)應(yīng)用牛頓定律可以證明：質(zhì)點系統(tǒng)相對于固定點的動量矩變化率等于外力對該點的合力矩——動量矩定理。把連續(xù)介質(zhì)中的一團(tuán)物質(zhì)看作是質(zhì)點系，應(yīng)用動量矩定理，則 把上式中的面積分轉(zhuǎn)換為體積分得到： 根據(jù)連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動方程，上式右端的第一項為零。因此，右端第二項也為零： 由于積分區(qū)域的任意性，積分函數(shù)必然為零： （?。┘矗? 即Cauchy應(yīng)力張量是對稱的： 從，與之間的

28、關(guān)系可知：第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量是對稱的，第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量則是不對稱的。依據(jù)對稱的Cauchy應(yīng)力與之間的關(guān)系 ,可以得到第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量與變形梯度之間存在等式： 4.4機(jī)械能守恒定律 在連續(xù)介質(zhì)中，任意選定一部分，周圍介質(zhì)對它的作用力的功率為： 將面積分轉(zhuǎn)換為體積分，則 其中 而 (） 由于 Cauchy應(yīng)力張量是對稱的 ； 因此 從普遍的能量守恒定律，我們知道：外力功率應(yīng)當(dāng)?shù)扔谙到y(tǒng)動能變化率與系統(tǒng)內(nèi)能變化率之和。

29、在不考慮熱能的前提下，連續(xù)介質(zhì)內(nèi)能只有變形能?？梢姳硎具B續(xù)體內(nèi)儲存的變形功率密度。利用二階張量內(nèi)積與求跡之間的關(guān)系： 可以證明： 以及 所以，變形功率密度 4.5能量守恒、熱力學(xué)第一定律 4.6狀態(tài)方程、熱律學(xué)第二定律 1) 狀態(tài)參量與狀態(tài)方程的概念 狀態(tài)參量：一個熱力學(xué)系統(tǒng)在任何瞬間任何部位的狀態(tài)都可以用一些確定的物理量來描述，這些物理量均稱為狀態(tài)參量。 分為運(yùn)動學(xué)量和熱力學(xué)量；如果系統(tǒng)內(nèi)各處狀態(tài)參量都相同，稱為均勻系統(tǒng)；如果系統(tǒng)內(nèi)狀態(tài)參量不隨時間變化，稱為平衡系統(tǒng)；如果系統(tǒng)內(nèi)狀態(tài)參量隨時間變化，這些變化的總和稱為過程； 2) 狀態(tài)方程：許多狀態(tài)參量之間存在著一定的函數(shù)關(guān)系，表征這種函數(shù)關(guān)系的關(guān)系式就稱為狀態(tài)方程。（廣義） 狀態(tài)方程是指熱力學(xué)參量之間所滿足的關(guān)系式。（狹義） 4.7熵不等式、熱力學(xué)第一定律常見形式