《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)復(fù)習(xí)題1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)復(fù)習(xí)題1（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)復(fù)習(xí)題 (1) 1.10,1.19 令D(x)=Cxm xx M(x)=°(x—)kD()d=0(x-)kCxmd 二kC( =kC( =kC 1.m1 x m1 1m1 x- m1 1 1-m2x ^^)|0 Um*2) (m1)(m2) 所以： 2_2m . x 二const (2) 2.13,考察一個(gè)被約束在圓形軌道上作勻速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)。設(shè)v是任意時(shí)刻 的速度，質(zhì)點(diǎn)的加速度是多少，即力量dv/dt是多少？ 答案；在橫坐標(biāo)中速度矢量廿可以表示如下=設(shè)八分別

2、表示以產(chǎn)為原點(diǎn)沿餞向、切1」相而不，仙FY面的仆I，4*的單位矢匕以側(cè)122.卜！—M，"中【足仁的港門(mén)值,因此,微分后有 由于”是常數(shù)，最后一項(xiàng)為零。為了計(jì)算注意。是單位矢量,因此，它僅能改變方向(保注：而大小始終不變八所以rdO/df聿直于矢量京，即平行于心設(shè)如為質(zhì)點(diǎn)對(duì)物道中心的ffi速度t顯嬤5以^—v/a的速率忖動(dòng).因此T方/d—T/GJdw由=一 圖P2.13廁形軌道上運(yùn)行的粒子速度 圖［2 M 螺旋軌道 2.19,兩個(gè)矢量u=(Ui,U2,u)和v=(mN2N3)的矢量積是矢量w=uxv 其分量為證明上式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為i=徐UjVk 證明：反證法：有■產(chǎn)；脹叫vk 所

3、以有1=；ljkUjVk.'2=；2jkUjVk.'3=；3jkUjVk ’1="111U1V1+112uiv2+，113uiv3+,123u2v3+-12iu2v1+132u3v2+122u2v2+131u3v1+733U3v3 ’2=211u1V1+212U1v2+213U1V2+221U2V1+-222u2v2+-223u2v3+231u3v1+-232u3v2+-233u3v3 13=-311u1v1+312u1v2+313u1v3+321u2v1+322u2v2+323u2v3+331u3v1+332U3v2+333u3v3 ，產(chǎn)u2v373v2 由止匕得出：2=U3v1

4、-U1v3 3=u1v2-U2vl 2 ---Uk ki) - Xi = ；^^ 1-2v k，) i ft2 2.37將下列方程寫(xiě)出展開(kāi)的形式G(Ui,kk G(& G啜 1*F2Uk +——*——- 1-2vxkxi  -2,, )+Xi=：F一t 當(dāng)i=1時(shí)。 .2 .2 U1-- 從 G( —^ + —T 二 x1 Cx2 2 2 G(二十E x 二 y 同理i=2,3有 ：：2U1 1 * + —21 + x3 1-2v .2 .2 / 二 Ui 二 U2 ( + — + .2 二 U3 -x

5、1 x1 ; x2 ：xi 二 x3：xi -2 ))+xi=：t G( G( 2 2 二 v 2 v ~2 +2 + x 二 y ■ 2 -2 二 w : w + fz2 +—— 1-2v .2 .2 .2 .2 / U 二 v 二 w ■ U (—二 + + ))+X1=P—J x : yx zx 二 t -2、, v -2+ ― :z2 1-2v -2,, 二 u ~~2 x — + —+—+——* x :y ；z 1-2v -2w v + y:x ■ 2 二 v .2 二 w \、 + ))+X2 = P ；z x

6、 . 2 ―2- + + :x ；y.x ￡v ；:t2 」))+X3 = ： zx j2w ft2 (3) 3.9,在無(wú)體力情況下，如下應(yīng)力分布是否處于平衡狀態(tài): 答：根據(jù)亞+Xi=0得到處于平衡狀態(tài)。 yx ' c 即一L + —y- + 一zx=0 , fx y zz. 巴+色y+2=0, y 二 x 二 z :二二二 :z fz .ooooooooo P3.22。令內(nèi)筒 T ,作用在外筒 3.22庫(kù)埃特流動(dòng)。兩個(gè)同心圓筒間的空間中充滿(mǎn)了流體，如圖靜止，外筒以每秒w弧度的角速度旋轉(zhuǎn)。若測(cè)得內(nèi)筒的扭矩為的扭矩是多少？為什么？速

7、度場(chǎng)：vr=0;v1-v(r);vz=0 不可壓縮流體連續(xù)方程： 2 2、 2 2, 、1 ■> '(rvr)?1"z=0 r；:rrz 不計(jì)體力，并按抽對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行計(jì)算，環(huán)向運(yùn)動(dòng)方程為: 2 dvg+1dvg與o dr2-2( J2 -- 1ri )r . r2。(, '1 - -2)] r2 -ri r rdrr2 易證明，ve=r;vH=L均滿(mǎn)足以上方程 所以其一般解為Q =Ar +B(A, B為常數(shù)) 設(shè)g r2為內(nèi)外筒的半徑； B . r1 = Ar1 —; r2 = Ar2 r 孫，切2為內(nèi)外筒的半徑 B + 「2 r1 2 2 22,

8、 、 八 _ ，2r2 — '1r1 . D _ r2 r1 ( ' '1 1 '2 ) A = 2 2 ; B = 2 2 r2 - r1 也-r1 2 2 22, ..--相.r2 r〔 ( '1 - '2) 1 v 71 2 2 r 2 2 r2 f r2 -ri r 壁面剪應(yīng)力為.="(口二 drr 22 「2-ri 當(dāng)叫=0,切2=0或眄=6，82=。時(shí)，單位長(zhǎng)度扭矩為: 4出屏為 22 「2-ri =常數(shù) 所以?xún)?nèi)外筒扭矩相等。為T(mén) (4) 4.12用錘子打擊一個(gè)無(wú)限大的彈性體，應(yīng)該設(shè)置什么樣的邊界條件? 解：

9、5場(chǎng)條件：變形處處為零.可能于打需時(shí)，邊界急件是： （a）在平表面上，但不在儺TFt T*=0（i=123） （b）半無(wú)限體在無(wú)限遠(yuǎn)處的條件，令片是物體變形引起的位移分量必是虛力[則 （“）-0*（%）aQ（￡不1,九3） M在錘子下的震聞處,垂亶于表面的應(yīng)力矢量與位移都必須一致.因此?若用（T）和分別表示桌子和錘子,則在共同界而上必有 （金/，=a,嚴(yán),&tyn= 設(shè)法■。垂直于界面?界面可以用方程工n/Cr*力/來(lái)描述.則M1力，打-』"標(biāo)士KUk膽是,我們并不知道函數(shù)/a*了/）.它只有在將怪了和耒子一起求解辭個(gè)應(yīng)力分布間嬉后才能?chē)?yán)格地硒定. 為了代替精確解，可以提出一個(gè)

10、近似附題.例如，可以假設(shè)；當(dāng)伸T打擊桌面時(shí)，應(yīng)力矢瓜巾TQ栗子的分量遠(yuǎn)大于切向分量.于是T若略去后一分量（這種情況秫為“有潤(rùn)滑”的推擊3則鐐子下的辿界條件可以寫(xiě)為 %=0.1\k0,五一FQ,y）&⑴ 其中風(fēng)心是狄拉克（DiraG單位脈沖函數(shù)，當(dāng)，為由限時(shí)它等于零.但當(dāng)￡■*（）時(shí)它趨于8,而H將■（『）從一啟到丑對(duì)f積分正好等于I-盤(pán)■個(gè)正數(shù).F5,川）未加.可￡茍單偏設(shè)為FtX.*）:-COlK[* 提示：或許等于馬桌面之同是不規(guī)則的接觸『局部破壞?滑移等.如果要認(rèn)真對(duì)待這些時(shí)能性，那就必須精確地給定它伯,然后研究它們的后果. (5)分別推導(dǎo)拉格朗日應(yīng)變張量和歐拉應(yīng)變張量， 答：

11、變形前物體中有三個(gè)相鄰點(diǎn)p、p'、p"。變形后他們移到QQ、Q'點(diǎn)。 考察連接點(diǎn)p(a1,a2,a3)和相鄰點(diǎn)p'(a1+da1,a2+da2,a3+da3) 的無(wú)限小線元。初始構(gòu)形中線元pp'長(zhǎng)度ds。的平方 ds02;da12da22da32; ?2.2.2.2 ds=dX1dX2dX3; ,ai, dXi=——daj,dai=——dXj xj xj =ds02=da12da22da32=ijdaidaj=、jW-^dX1dxm XXm ds2=dX12dX22dX32=ijdXidXj=、jX^~xX^-daldam aiam 二ds2 -dso2 ；:x

12、：:x：,,,,,.X-：:xi、，, C「一-——daidaj-cjdajdaj=（、，：--——―、j）daidaj'aiaj'aiaj OR ds2 -dso2 xj fa---aI dXidXj=（、j-、一：）dXidXj XXj eij Eij /:x'x：\ (,一一-飛) aiaj XiXj 5.2血管是不可壓縮的，即其體積不會(huì)變化。在通常情況下，血管可以看作一個(gè)圓柱殼。假設(shè)因某種原因人的血壓上升了，使該血

13、管的內(nèi)徑由a增力口至a+da, 而軸向長(zhǎng)度不變。試計(jì)算因血壓升高引起的血管內(nèi)環(huán)向和徑向應(yīng)變的變化。 解：設(shè)血管外徑為b,血壓上升后外徑b′=b+Ab 則有：Mb2-a2)=冗[(b+Ab)2-(a+Aa)2] ?22一 b+2b*b-2a*a-：a=0 ,-2b+4b2+4(2a*.a+.a2)2——2 b=:=-b+.b2+2a*.：a+.：a2 2 err=b-a=-b-a+.b2+2a*.a+.a2 血管為圓形截面 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，七=0,」=Jr(r) e=1(1.+不二)=0 72rrr -r1'aa e：B=-+-=—— rr[a 5.9 5,9在一

14、次JMt研究中?瑞利（LorH曲）研究了彈性力學(xué)線性化方程的如下彩 式解答?a-Ac■七xp「uKj*-tr）Jv—Be-+'vxpI法fjt-a）j—=y 若用號(hào)面r（h發(fā)示地面■了表示距總表的深度—”表示地球內(nèi)受點(diǎn)的位移.喇瑞利承走示波葭速度「沿工方向的傳播.11黃懦山指數(shù)展律庭焉開(kāi)地面而妾發(fā)鼠設(shè)續(xù)產(chǎn)生了地理內(nèi)部.地理左曲H由*即作用于地表處的應(yīng)力矢量為零.在號(hào)察運(yùn)動(dòng)方程和邊界集忤后,瑞科技且了密數(shù)A./hb和一并得目如「解， u=A＜（＜*'i43-0.5773±*工**11**上（工一）r-八（-0.8"5（：7卬小+L46?93k科T如公m上（』一r.i 覆『.9幅口表?

15、彼 府用”稱(chēng)為陶利波速,若泊松出為14它巧I用切夜建的。IX倍.也解滿(mǎn)足在1ml由及朝尸丫”的羋無(wú)限大彈件體內(nèi)族傅搞的茶櫛.屋點(diǎn)Hg平兩內(nèi)運(yùn)動(dòng).其鼓幅隨高Fl11&愉的班離埴大而減?。ㄈ鐖DF嗎「峭小」小利癡足相生地醺時(shí)能從地侵記錄曲戰(zhàn)中》馴的鼠主要的波之一. （4）試畫(huà)必波形］ tb）憂(yōu)西出白由表面？工口上幾個(gè)1；同，伯處質(zhì)點(diǎn)的遇動(dòng)路徑.試對(duì)位？不同的：v＞0佛處的幾個(gè)疑點(diǎn)也畫(huà)出其運(yùn)動(dòng)路徑. （c）試證明血點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是逆行的. （d）試場(chǎng)定在任意給定可發(fā)生最人生以皆的地意.并給出選應(yīng)變值. 部分螂1 Cd）因?yàn)闋?%只有值變分?%■%?%不?于等.筠敷函數(shù)阜蟲(chóng)其中心M）黑刪人竄

16、一「及乂號(hào)數(shù)的最大值發(fā)生在處.丐（1。時(shí),談平向hfi 心.一金二一AH1-657普）&in虹Hjt 乙、=吧=At|-6847511,4679?5成筋、E3 dy r?一羋久一口.取75-0,5773X0,3*）3314（-0,8475+I.467弘"抬=02 因此*最大主應(yīng)變?yōu)? t21=工。.4227八小，工（\14打9也八上 6J考察物體的流動(dòng)，其速度分量口和罩由勢(shì)函數(shù)力導(dǎo)出： u=-t fJx 而分量w恒為零.試畫(huà)出下列勢(shì)函數(shù)所描述的速度場(chǎng); (a)單=」log(M，+y*〉=，k>"?4jt/it (b)中=工事 (c)fp—A^cosnO(。一airifi

17、””■ 提示：可以由1勢(shì)函數(shù)奴工**以)導(dǎo)出速度分量的流場(chǎng)稱(chēng)為勢(shì)流。在本題所給的例子中，有幾種情況是中用極坐標(biāo)『而表示的.如果我們注意到，速度矢球皿小)就是標(biāo)量函數(shù) (b) (c) (d) (a) Ur =—— 二 r 2二 r ln a ;u[=° Ur Ur 三二1;v x cC* ——=Anr .:r .:r n「cosni;u? v SB J- = -Anrn sin ni c6 sin 1 6.6花二維平密應(yīng)變場(chǎng)中，位移由HCr^Xr.））描述，而沿z軸的明恒等尸零.工了"是一組笛卡兒直角坐標(biāo)系.

18、示應(yīng)變分吊:Ej/a 試推導(dǎo)對(duì)應(yīng)變系■，L，中的勢(shì)調(diào)方程. 卜列應(yīng)變系是否協(xié)調(diào)？ ,kr y , ev. = k ry etr—hd-y?） 其中KS是常數(shù).其余應(yīng)變分量均為零。 （C）的答案,若l=則協(xié)凋. (a) 1 Juj eL2(M :ui -) xj —-u =?exx=- (b) 2 _ 也 _ ：:u T 2 - 2 y 二x：y 2 ：x 2 ■eyy：V.Gy1--U二V、 一2二7~2~.~；7~~二二(--27~2一) x二x二y二x：y21x：y二x:y 二"Gy_1/-0. 一：x.:y2；:y2 （c）將已知

19、（c）中的式子代入（b）中得: --2k L] xy 由（b）中知若要協(xié)調(diào)則有 &a .2一2一2一一 yxxy 即-2k=2k'即k'=-k 則應(yīng)變系是協(xié)調(diào)的 (7)給出牛頓流體和非牛頓流體的本構(gòu)方程 D,：：,., 各向同性時(shí)，jkl 答：牛頓流體本構(gòu)方程5=—p&j+DjkiVki(粘性效應(yīng)與變形率呈線性關(guān)系)='、力、"1,'『￥) --P;ij-,Vkk-j-2% 平均正應(yīng)力1/3。卜卜與體積膨脹率Vkk無(wú)關(guān) 2, -ij=-pj.ij+2uVij-3^Vkk；ij 不可壓 -j=-pj+2UVj 非牛頓流體本構(gòu)方程

20、 7.14航天員上了月球，并帶回一些巖石樣本。我們很關(guān)心這些巖石的力學(xué)性能。試設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)大綱，以使用這些少量的巖石得到盡可能多的信息。 答：硬度：刻痕 抗拉：a,制成標(biāo)準(zhǔn)試件受拉b,劈裂 抗壓：a,單軸抗壓圓柱形試件半徑4.8--5.2cm,H=(2--3)倍半徑長(zhǎng)方體試件：變長(zhǎng)L=4.8--5.2cm,H=(2--2.5)L 抗剪：?jiǎn)蚊婕羟?、雙面剪切、沖擊剪切 彈性模量E,剪切模量G,被送比u:標(biāo)準(zhǔn)試件作應(yīng)力應(yīng)變曲線，觀察曲線特征剛度試驗(yàn)機(jī)F應(yīng)力應(yīng)變曲線 (8)8.1區(qū)別均勻和各向同性?xún)蓚€(gè)詞 (a)如果你涉及高空探測(cè)火箭，你是否認(rèn)為大氣是均勻的或各向同性的？ (b)如果問(wèn)

21、題涉及圍繞火箭鄰區(qū)域的流動(dòng)，該火箭以不產(chǎn)生激波的速度飛行， 能否把空氣處理為均勻的或各向同性的？ (c)如果在(b)問(wèn)題中發(fā)生了激波，又該怎樣考慮？ 答：均勻性是指某種物理特性在空間各點(diǎn)測(cè)量結(jié)果相同，可以看作平移對(duì)稱(chēng)性， 各向同性是指力學(xué)性質(zhì)和方向無(wú)關(guān)的，可以看作空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性 例如流動(dòng)的河水是均勻的，但不是各向同性的 (a)不考慮緊鄰區(qū)域流動(dòng)，火箭速度不產(chǎn)生激波，則可處理為均勻，各相同性。 (b)考慮緊鄰區(qū)域流動(dòng)，不產(chǎn)生激波速度飛行，可處理為均勻，各向異性。 (c)考慮緊鄰區(qū)域流動(dòng)，產(chǎn)生激波速度飛行，不均勻，各向異性。 8.5,說(shuō)出三種非各向同性的液體 答：(纖維油漆、牛

22、奶、血液、液晶) 8.15,在有些組受拉、其余組分受壓而整體處于平衡的復(fù)合材料中，殘余應(yīng)力是改進(jìn)力學(xué)性質(zhì)的很好途徑。例如，預(yù)應(yīng)力鋼筋增強(qiáng)的混凝土，高強(qiáng)纖維增強(qiáng)的金屬和塑料都是改進(jìn)的結(jié)構(gòu)材料。若希望實(shí)現(xiàn)復(fù)合材料的各向同性或橫觀各向同性（在遠(yuǎn)大于單根纖維直徑的尺度上），纖維應(yīng)按合乎需要的幾何圖形來(lái)鋪設(shè)。試設(shè)計(jì)一種以高強(qiáng)度和各向同性為目的的復(fù)合材料。 答：（1）模壓板材復(fù)合材料，將浸有樹(shù)脂的隨機(jī)短纖維模壓、由于短纖維的方向隨機(jī)，因此是橫觀各向同性。 （2）三疊層板（m=3、4、5.oo）o由復(fù)合材料力學(xué)知，滿(mǎn)足m h 2 f（sin2B,cos28,sin4e,cos48）dz=0的疊

23、層板是準(zhǔn)各向同性疊層板。 h 2 固化制成復(fù)合材料。 而 二疊層板滿(mǎn)足上 m 式。 （9）9.8考慮具有麥克斯韋模型、有方程（9-6-1）描述的粘彈性材料。把一個(gè)正弦變化的力F=asincot加到物體上。其穩(wěn)態(tài)擾度u是什么？ t u = 0( awcoswt a sin wt )dt F=asint; aaa u=—sinwt———coswt 」ww aw . , a , a wu =——sin wt 一一 coswt —= aw a ()(a) [sin( wt - ：■) a ] J2 2」 (aw) (a) A- u=—[si

24、n(wt--)sin-]w aw2,工2I11 其中A=(-)+(-),tan:=- (10)導(dǎo)出雷諾系數(shù)，說(shuō)明雷諾系數(shù)的意義，解釋為什么雷諾系數(shù)很大時(shí)，需要邊界層理論； 答：雷諾數(shù)表示慣性力與剪應(yīng)力的比值慣性力量級(jí)：：V2 」V 剪應(yīng)力量級(jí)：— L 慣性力 'V 2 剪應(yīng)力 」v/L -vL - —-二Rn 大雷諾數(shù)表示慣性力效應(yīng)占優(yōu)勢(shì)，小雷諾數(shù)表示剪切效應(yīng)占優(yōu)勢(shì) '一'， ＞噌+不/1,2,3) 2, RNTm時(shí)，除非二階導(dǎo)數(shù)VU1極大，否則最后一項(xiàng)總可以略去。 在速度及其導(dǎo)數(shù)為有限值的一般流場(chǎng)中，當(dāng)Re趨于無(wú)限時(shí)，粘性效應(yīng)即不存在。然而，由 于無(wú)

25、滑移條件的關(guān)系，在固體壁附近，速度會(huì)發(fā)生迅速變化，有自由由流速變?yōu)楣腆w速度。如果此轉(zhuǎn)變層很薄，即使雷諾系數(shù)很大，也不能忽略最后一項(xiàng)。 即在邊界層內(nèi)，即使雷諾數(shù)非常大，粘性影響亦是很明顯的那個(gè)流體區(qū)域。 口，…1 量級(jí)分析。=0(^) \Rn P：jL—，一，一 Re=—。雷諾數(shù)控制了流體的動(dòng)力相似性，表征了流體的流動(dòng)狀態(tài)。雷諾數(shù) 代表慣性力和粘性力(剪切力相關(guān))的比值。雷諾數(shù)小時(shí)，粘性力占主導(dǎo)地位；雷諾數(shù)大時(shí)，慣性力占優(yōu)勢(shì)。當(dāng)其很大時(shí)，粘性效應(yīng)消失，但是由于固體表面無(wú)滑移條件，邊界層的粘性效應(yīng)還是存在，需要考慮。 (11) 11.11如果空氣真是無(wú)粘性的，飛機(jī)能夠飛行嗎？鳥(niǎo)和昆

26、蟲(chóng)能飛行嗎？ 為什么？ 答：飛機(jī)能飛，機(jī)翼上下空氣流動(dòng)速度不一樣，上面流動(dòng)得快，下面流動(dòng)得慢，使機(jī)翼上下面產(chǎn)生向上壓力差，給飛機(jī)上升的力，所以飛機(jī)能飛 鳥(niǎo)和昆蟲(chóng)不能飛，鳥(niǎo)和昆蟲(chóng)的飛行是扇動(dòng)翅膀依靠空氣給翅膀的反作用力飛行，如果空氣沒(méi)有粘性，就無(wú)法提供這個(gè)反作用力，所以鳥(niǎo)和昆蟲(chóng)不能飛行 (12)寫(xiě)出均勻各向同性彈性體的基本方程 ,邊界條件 應(yīng)變張量: 1 MFUk：lk ej力一,-----) 2 ：xicXj一xi一Xj 質(zhì)點(diǎn)速度： -vjNi vi二一vi一nl).rv .tCXj 質(zhì)點(diǎn)加速度： ai -：MN —vj— ZJC .t二Xj 連續(xù)性方程： *(%)n 二0 ，t:佻 歐拉運(yùn)動(dòng)方程： ■■■- ij ：Xj Xi 各向均勻同性彈性材料胡克定律二ij='ekk-ij'2Geij M(x)k D3C2(m1)(m2)=2-2m=0. =m=1.