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1、第一部分第一部分 教材知識梳理教材知識梳理第四章第四章 三角形三角形第二節(jié)第二節(jié) 三角形及其性質三角形及其性質中招考點清單中招考點清單考點一考點一 三角形及其分類三角形及其分類 1三角形的定義：由不在同一條直線上三角形的定義：由不在同一條直線上的的_相接所組成的圖形叫做三角形相接所組成的圖形叫做三角形 2. 按邊分按邊分三條線段三條線段三角形三角形不等邊三角形不等邊三角形等腰三角形等腰三角形“底邊底邊腰長腰長”的等腰三角形的等腰三角形等邊三角形等邊三角形 3. 按角分按角分直角直角鈍角鈍角三角形三角形_三角形三角形斜三角形斜三角形銳角三角形銳角三角形_三角形三角形考點二考點二 一般三角形的性質

2、一般三角形的性質（高頻考點高頻考點） 【考情總結考情總結】近近7年考查年考查4次，僅次，僅2014、2009和和2008年未考查，題型均為填空題，一般年未考查，題型均為填空題，一般不單獨設題，常與其他知識綜合求角度，涉及不單獨設題，常與其他知識綜合求角度，涉及的知識有尺規(guī)作圖和軸對稱性質的知識有尺規(guī)作圖和軸對稱性質. 1. 三角形的三邊關系：三角形兩邊的和三角形的三邊關系：三角形兩邊的和_第三邊，三角形兩邊的差第三邊，三角形兩邊的差_第三第三邊，若一個三角形的三邊邊長分別為邊，若一個三角形的三邊邊長分別為a、b、c，則則|a-b|ca+b.大于大于小于小于 【溫馨提示溫馨提示】（1 1）三角形

3、的三邊關系是）三角形的三邊關系是判斷三條線段能否構成三角形的重要依據，也判斷三條線段能否構成三角形的重要依據，也可利用三邊關系列出不等式求某些量的取值范可利用三邊關系列出不等式求某些量的取值范圍；（圍；（2 2）在一個三角形中，大角對大邊，?。┰谝粋€三角形中，大角對大邊，小角對小邊角對小邊. . 2. 三角形內角和定理：三角形三個內角的三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于和等于_.180 3. 三角形內、外角關系三角形內、外角關系:（1）三角形的外）三角形的外角角_與它不相鄰的兩內角的和與它不相鄰的兩內角的和;（2）三）三角形的任意一個外角角形的任意一個外角_任何一個和它不任何一個和它不相

4、鄰的內角相鄰的內角.等于等于大于大于考點三考點三 三角形中的重要線段三角形中的重要線段 1. 三角形的角平分線三角形的角平分線 三角形的角平分線的描三角形的角平分線的描述方式，如圖所示：述方式，如圖所示： （1）AD是是ABC的一的一條角平分線條角平分線. （2）三角形的任意一條角平分線均在三）三角形的任意一條角平分線均在三角形內角形內. （3）1=2= _.ABC12 2. 三角形的中線三角形的中線 三角形的中線的描三角形的中線的描述方式，如圖所示：述方式，如圖所示： （1）AM是是ABC的一條中線，的一條中線，M是是BC的的中點中點. （2）三角形的任意一條中線均在三角形）三角形的任意一條

5、中線均在三角形內內. （3）BM=CM，SABMSACM SABC.12 3. 三角形的高線三角形的高線 三角形的高線的描述方式：三角形的高線的描述方式： （1）AD是是ABC的一條高線，的一條高線，D是垂足是垂足. （2）三角形高線的位置如圖：）三角形高線的位置如圖： （3）三角形面積公式：）三角形面積公式：S= ah，其中，其中a是三角形的一條邊長，是三角形的一條邊長，h是這條邊上的高是這條邊上的高.12 【溫馨提示溫馨提示】三角形的角平分線、中線、三角形的角平分線、中線、高線不是直線也不是射線，而是線段；三角形高線不是直線也不是射線，而是線段；三角形的三條中線交于一點的三條中線交于一點,

6、 ,這一點叫做三角形的重這一點叫做三角形的重心心; ;三角形的三條角平分線的交點叫做三角形三角形的三條角平分線的交點叫做三角形的內心的內心; ;三條高的交點叫做三角形的垂心三條高的交點叫做三角形的垂心. . 4. 三角形的中位線三角形的中位線 （1）中位線的概念：連接三角形）中位線的概念：連接三角形_的線段叫做三角形的中位線的線段叫做三角形的中位線. （2）中位線的性質：三角形的中位線）中位線的性質：三角形的中位線 _第三邊，并且等于第三邊的第三邊，并且等于第三邊的 _. 兩邊兩邊中點中點平行于平行于11111212一半一半 如圖，如圖，ABC三邊中點分別為點三邊中點分別為點D、E、F，則有（

7、，則有（1）DFBC且且DF= BC；DEAC且且DE= AC；EFAB且且EF= AB；（2）SADF=SDBE=SFEC=SEFD= SABC.12121214考點四考點四 特殊三角形的性質及判定特殊三角形的性質及判定（高頻考點高頻考點） 【考情總結考情總結】近近7年每年必考，但一般不年每年必考，但一般不單獨設題單獨設題.其中等腰三角形近其中等腰三角形近7年考查年考查5次，僅次，僅2013年和年和2012年未考查，性質考查年未考查，性質考查2次，判定次，判定考查考查3次；直角三角形近次；直角三角形近7年考查年考查6次，僅次，僅2014、2010和和2009年未考查，年未考查，2013年和年

8、和2012年各考查年各考查2次，其中直角三角形的性質考查次，其中直角三角形的性質考查2次，直角三次，直角三角形的判定考查角形的判定考查4次次.題型為解答題和填空題題型為解答題和填空題. 1. 等腰三角形等腰三角形 性質：（性質：（1）兩腰相等，）兩腰相等， _相等；相等；（2）頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的）頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合；（中線互相重合；（3）是軸對稱圖形，有）是軸對稱圖形，有 _條對稱軸條對稱軸. 判定：判定：(1)有兩條邊相等的三角形；有兩條邊相等的三角形；(2)等等角對等邊角對等邊. 面積計算公式：面積計算公式：S= ah(h是邊是邊a上的高上的高)

9、. 兩底角兩底角一一1313141412 2. 等邊三角形等邊三角形 性質：（性質：（1）三邊相等；（）三邊相等；（2）三內角相等，）三內角相等，且每一個內角都等于且每一個內角都等于 _；（；（3）內外心重）內外心重合；（合；（4）是軸對稱圖形，有）是軸對稱圖形，有 _條對稱軸條對稱軸. 判定：（判定：（1）三條邊相等的三角形；（）三條邊相等的三角形；（2）三個角都相等的三角形；（三個角都相等的三角形；（3）有一個角等于）有一個角等于60的的 _是等邊三角形是等邊三角形. 面積計算公式：面積計算公式：S= ah= a2(h是邊是邊a上上的高的高).60三三151516161717等腰三角形等腰

10、三角形1234 3. 直角三角形直角三角形 性質：（性質：（1）兩銳角之和等于）兩銳角之和等于 _；（2）斜邊上的中線等于斜邊的）斜邊上的中線等于斜邊的 _；（；（3）30角所對的直角邊等于斜邊的一半；角所對的直角邊等于斜邊的一半；(4)若有若有一條直角邊等于斜邊的一半一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊那么這條直角邊所對的銳角等于所對的銳角等于 _；(5)兩直角邊的平方兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；（和等于斜邊的平方；（6）直角三角形的面積）直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半等于兩直角邊乘積的一半.90一半一半18181919202030 判定：判定：(1)有一個角為有一個角為90

11、；(2)斜邊上的斜邊上的中線等于斜邊的一半；中線等于斜邊的一半；(3)若若a2+b2=c2，則以，則以a、b、c為三邊的三角形是直角三角形為三邊的三角形是直角三角形. 面積計算公式：面積計算公式：S= ch= ab(a、b為為直角邊，直角邊，h是斜邊是斜邊c上的高上的高).1212 失分點失分點9 等腰三角形中分類討論思想的等腰三角形中分類討論思想的應用應用 （1）當已知等腰三角形的兩邊長時，若）當已知等腰三角形的兩邊長時，若沒有明確邊的類型，要分已知邊是底邊和已知沒有明確邊的類型，要分已知邊是底邊和已知邊是腰兩種情況進行討論，再根據三角形三邊邊是腰兩種情況進行討論，再根據三角形三邊關系：三角

12、形的任意兩邊之和大于第三邊，三關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊作出判斷；角形的任意兩邊之差小于第三邊作出判斷； （2）另外已知等腰三角形的一個內角度）另外已知等腰三角形的一個內角度數，確定其余兩個角的度數，也應當分類討數，確定其余兩個角的度數，也應當分類討論，已知角是銳角時，答案是兩種，已知角是論，已知角是銳角時，答案是兩種，已知角是直角或者是鈍角，只有一種情況，即是已知角直角或者是鈍角，只有一種情況，即是已知角為等腰三角形的頂角，其余兩個角都是底角為等腰三角形的頂角，其余兩個角都是底角. ?？碱愋推饰龀？碱愋推饰鲱愋鸵活愋鸵?三角形中位線的有關計算三角形中

13、位線的有關計算 例例1 已知已知ABC的各邊長度分別為的各邊長度分別為3 cm,4 cm,5 cm，則連接各邊中點的三角形的周長為，則連接各邊中點的三角形的周長為（ ） A. 2 cm B. 7 cm C. 5 cm D. 6 cmD 【解析解析】如解圖，如解圖，D，E，F(xiàn)分別是分別是ABC的三邊的中點，則的三邊的中點，則DE= AC，DF= BC，EF= AB，DEF的周長的周長= DE+DF+EF = (AC+BC+AB)=6 cm.12121212 【方法指導方法指導】在解決三角形中位線的有關在解決三角形中位線的有關計算時，一般先根據中點得到三角形的中位線，計算時，一般先根據中點得到三角

14、形的中位線，然后根據中位線的性質可得到線段之間的位置然后根據中位線的性質可得到線段之間的位置關系和數量關系，從而可求解有關的角度問題關系和數量關系，從而可求解有關的角度問題和線段長度問題，有時還會與垂線、角平分線和線段長度問題，有時還會與垂線、角平分線等的性質結合求線段長度或角度等的性質結合求線段長度或角度. . 拓展題拓展題1 (14瀘州瀘州)如圖，等邊如圖，等邊ABC中，中，點點D、E分別為邊分別為邊AB、AC的中點，則的中點，則DEC的的度數為度數為( )A. 30B. 60C. 120D. 150C【解析解析】由等邊由等邊ABC得得C=60，由三角形，由三角形中位線的性質得中位線的性質

15、得DEBC，DEC=180-C=180-60=120.類型二等腰三角形性質的有關計算類型二等腰三角形性質的有關計算 例例2 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于點于點D，且且AD BC，則，則ABC底角的度數為底角的度數為_.45或或75或或1512【解析解析】本題應分情況討論：如解圖，本題應分情況討論：如解圖，AB=AC,ADBC,BD=CD= BC, ADB=90，AD= BC, AD=BD, B=45，即此時，即此時ABC底角的度數為底角的度數為45；如解圖，；如解圖，AC=BC, ADBC, ADC=90，AD= BC, AD= AC, C=30，CAB=B=75，即此時，即此時A

16、BC底角的度數為底角的度數為75；如解圖，；如解圖，ADBC,AD= BC= AC,ACD=30，121212121212ACB=150，CAB=CBA=15，此時此時ABC底角的度數為底角的度數為15；綜上，；綜上，ABC底角的度數為底角的度數為45或或75或或15. 【方法指導方法指導】涉及等涉及等腰三角形的邊、角問題時，腰三角形的邊、角問題時，常常分情況討論：常常分情況討論： （1 1）對于解決已知某）對于解決已知某條邊求另外兩條邊或周長的條邊求另外兩條邊或周長的問題時，要分這條邊是底邊問題時，要分這條邊是底邊還是腰，同時在確定底邊和腰后，要根據三角還是腰，同時在確定底邊和腰后，要根據三

17、角形的三邊關系判斷能否構成三角形；形的三邊關系判斷能否構成三角形； （2 2）對于解決已知某角求另外兩角度數）對于解決已知某角求另外兩角度數的問題時，要分所給角是底角還是頂角，看頂的問題時，要分所給角是底角還是頂角，看頂角是銳角、鈍角，還是直角，同時在確定角后角是銳角、鈍角，還是直角，同時在確定角后注意：三角形的內角和等于注意：三角形的內角和等于180. 拓展題拓展題2 已知等腰已知等腰ABC的兩邊長分別為的兩邊長分別為2和和3，則等腰，則等腰ABC的周長為的周長為_.7或或8 【解析解析】因為等腰三角形的兩邊分別為因為等腰三角形的兩邊分別為2和和3，但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有，但沒有

18、明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分類討論：當兩種情況，需要分類討論：當2為底時，三角為底時，三角形的三邊為形的三邊為3，2，3可以構成三角形，周長為可以構成三角形，周長為8；當；當3為底時，三角形的三邊為為底時，三角形的三邊為3，2，2可以可以構成三角形，周長為構成三角形，周長為7.類型三類型三 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 例例3 如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=AC，A=36，BD、CE分別是分別是ABC、ACB的角平分線，則圖中的的角平分線，則圖中的等腰三角形有等腰三角形有( ) A. 5個個 B. 4個個 C. 3個個 D. 2個個A 【解析解析】AB=AC，ABC是

19、等腰三角形；是等腰三角形；BD、CE分別是分別是ABC、ACB的角平分線，的角平分線，EBC= ABC,ECB= ACB，ABC是等腰三角形，是等腰三角形，EBC=ECB，BCE是等腰三角形；是等腰三角形；1212A=36，AB=AC，ABC=ACB = (180-36)=72，又，又BD是是ABC的角平分線，的角平分線，ABD= ， ABD是等腰三角形；是等腰三角形；由可知由可知ABC=ACB=72，BD是是ABC的角平分線，的角平分線，DBC= ABC =36，BDC=180-ACB-DBC = 180-72-3672,BDC= ACB, BD=BC,BCD是等腰三角形；是等腰三角形；12

20、62=13ABCA12由得由得BDC=72，由得，由得ACB= 72，CE是是BCD的角平分線，的角平分線，DCE= BCD36，DEC= 180 -DCE-BDC=180-36-7272，DEC=EDC, CE=CD, CDE是等腰三角形是等腰三角形.12 【方法指導方法指導】有關等腰三角形的判定常用有關等腰三角形的判定常用的方法為：（的方法為：（1 1）直接證明三角形的兩邊相等，）直接證明三角形的兩邊相等，可以通過直接計算或者等量代換求得兩邊的數可以通過直接計算或者等量代換求得兩邊的數量關系，從而判定等腰三角形；（量關系，從而判定等腰三角形；（2 2）通過求）通過求三角形的兩個內角相等，利

21、用等角對等邊即可三角形的兩個內角相等，利用等角對等邊即可得到三角形的兩邊相等，從而判定等腰三角形得到三角形的兩邊相等，從而判定等腰三角形. .類型四類型四 直角三角形性質的有關計算直角三角形性質的有關計算 例例4 在在RtABC中，中，ABC=90，AB=6，BC=8，則，則AC上的中線長為上的中線長為_.5 【解析解析】如解圖，在如解圖，在RtABC中，中，ABC=90，AB=6，BC=8在在RtABC中，中，由勾股定理得由勾股定理得AC= = =10.又又BD是是AC邊上的中線，邊上的中線，BD= AC = =5.22ABBC 122268 102 【方法指導方法指導】一般涉及求線段長度時

22、一般涉及求線段長度時: : (1) (1)若在直角三角形中，可利用勾股定理若在直角三角形中，可利用勾股定理進行求解進行求解; ; （2 2）若在一般三角形中，可構造直角三）若在一般三角形中，可構造直角三角形利用勾股定理進行求解角形利用勾股定理進行求解; ; （3 3）若已知中線是對邊的一半，聯(lián)想到）若已知中線是對邊的一半，聯(lián)想到直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，然后利用勾股定理進行求解然后利用勾股定理進行求解. . 拓展題拓展題3 已知直角三角形兩邊的長為已知直角三角形兩邊的長為5和和12，求這個三角形第三邊的長為，求這個三角形第三邊的長為_. 拓

23、展題拓展題3 已知直角三角形兩邊的長為已知直角三角形兩邊的長為5和和12，求這個三角形第三邊的長為，求這個三角形第三邊的長為_. 13或或 119【解析解析】設這個三角形第三邊長為設這個三角形第三邊長為x.（1）當）當x為斜邊時，則由勾股定理可得為斜邊時，則由勾股定理可得52+122x2.解得解得x13,又又x0，x13，即這個三角形，即這個三角形第三邊的長為第三邊的長為13.（2）當）當x為直角邊時，則長為直角邊時，則長度為度為12的邊為斜邊，則由勾股定理可得的邊為斜邊，則由勾股定理可得52+x2=122.解得解得x= .又又x0，x= ,即這個三角形第三邊的長為即這個三角形第三邊的長為 .綜上綜上所述，這個三角形第三邊的長為所述，這個三角形第三邊的長為13或或 .119119119119