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1、 連續(xù)介質力學 章節(jié)內容提要 1、彈性力學的內容彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、形變和位移。 2、彈性力學中的幾個基本物理量：體力體力分布在物體體積內的力、記號為 、 、 ，量綱為L-2MT-2，以坐標 正向為正。xfyfzf第一章第一章 內容提要內容提要第一章第一章 內容提要內容提要面力面力 分布在物體表面上的力，記號為 。量綱為L-1MT-2 ，以坐 標正向為正。應力應力 單位截面面積上的內力，記號 ，量綱為L-1MT-2，以正 面正向為正，負面負向為正；反之 為負。xyxzyxfff,第一章第一章 內容提要內容提要 形變形變用線應變 和切應變 表示

2、， 量綱為1，線應變以伸長為正，切 應變以直角減小為正。位移位移一點位置的移動，記號為 、， 量綱為L，以坐標正向為正。uwvxyyx ,第一章第一章 內容提要內容提要 3 3、彈性力學中的基本假定、彈性力學中的基本假定 理想彈性體假定連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性。 小變形假定。 4 4、彈性力學、彈性力學問題的問題的研究方法研究方法 已知：物體的邊界形狀，材料性質，體力,邊界上的面力或約束。 求解：應力、形變和位移。第一章第一章 內容提要內容提要 解法：在彈性體區(qū)域V 內， 根據微分體上力的平衡條件，建立平衡微分方程；根據微分線段上應變和位移的幾何條件，建立幾何方程；根據應力和應變之間

3、的物理條件，建立物理方程。 在彈性體邊界s上， 根據面力條件，建立應力邊界條件， 根據約束條件，建立位移邊界條件。 然后在邊界條件下，求解區(qū)域內的微分方程，得出應力、形變和位移。第一章第一章 內容提要內容提要第二章 內容提要1、平面問題包括平面應力問題和平面應變問題。它們的特征是： 平面應力問題，（1） 只有平面應力 存在；（2）應力和應變均只是x,y的函數。, 0zyzxzxyyx , ,第二章第二章 內容提要內容提要第二章 內容提要 平面應變問題，（1） 只有平面應變 存在；（2） 應力、應變和位移只是x,y的函數。, 0zyzxzxyyx , ,第二章 內容提要 平面應力問題對應的彈性體

4、通常為等厚度薄板，而平面應變問題對應的彈性體通常為常截面長柱體。這兩類平面問題的平衡微分方程、幾何方程、應力和位移邊界條件都完全相同，只有物理方程的系數不同。第二章 內容提要 如果將平面應力問題的物理方程作 的變換，便可得到平面應變問題的物理方程。1 ,12EE第二章 內容提要2、平面問題的基本方程和邊界條件（平面應力問題） 平 面 問 題 中 共 有 八 個 未 知 函 數 ， 即 。它們必須滿足區(qū)域內的基本方程：（1）平衡微分方程 vuxyyx , ; , ,; , ,xyyx.0,0yxyyxyxxfxyfyx第二章 內容提要（2）幾何方程（3）物理方程. , ,xvyuyvxuxyyx

5、.)1 (2),(1),(1xyxyxyyyxxEEE第二章 內容提要和邊界條件：（1）應力邊界條件（2）位移邊界條件（在 上）ss .)(,)(ysxyyxsyxxflmfml)( .)( ,)(上在usssvvuu第二章 內容提要3、按位移求解平面問題（平面應力問題） 位移分量u和v必須滿足下列全部條件：（1）用位移表示的平衡微分方程.0)2121(1,0)2121(1222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE第二章 內容提要（2）用位移表示的應力邊界條件.)(21)(1,)(21)(122ysxsfxvyulxuyvmEfxvyumyvxulE（在 上）ss 第二章

6、 內容提要（3）位移邊界條件)( .)( ,)(上在ussSvvuu第二章 內容提要4、按應力求解平面問題（平面應力問題）， 應力分量必須滿足下列全部條件： （1）平衡微分方程xyyx , ,.0,0yxyyxyxxfxyfyx第二章 內容提要（2）相容方程).)(1 ()(2yfxfyxyx（3）應力邊界條件（假設全部為應力邊界條 件，）ss （在 上）ss .)(,)(ysxyyxsyxxflmfml（4）若為多連體，還須滿足位移單值條件。第二章 內容提要5、在常體力情況下，按應力求解可進一步簡化為按應力函數求解。必須滿足下列全部條件：（1）相容方程（2）應力邊界條件（假設全部為應力邊界

7、條件，）。. 04 ss 第二章 內容提要（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。 求出應力函數后，可以按下式求出應力分量，（在 上）ss . , ,22222yxyfxxfyxyyyxx.)(,)(ysxyyxsyxxflmfml1. 按應力函數 求解時， 必須滿足： (1) 區(qū)域A內的相容方程，（2） 上的應力邊界條件（假設全部為應力邊界條件）（3）多連體的位移單值條件。2. 在半逆解法中尋找應力函數 時，通常采用下列方法來假設應力分量的函數形式 （1）由材料力學解答提出假設，（2）由邊界受力情況提出假設，（3）用量綱分析方法提出假設。ss第三章第三章 內容提要內容提要 3. 在校核應力邊

8、界條件時，必須注意以 下幾點（見（四）。 4. 學習本章的重點，是掌握彈性力學問 題按應力求解的方法。要求讀者在掌 握這些基本理論之后，能閱讀和理解 彈性力學文獻，并將已有的解答應用 到工程實踐中去。5. 對于工程實際問題，由于邊界形狀和受 力、約束條件較為復雜，難以得出微分方 程的函數式解答。因此，并不要求讀者去求解新的解答，只要求能掌握基本理論，并能應用彈性力學近似解法（見后面幾章）去解決工程實際問題。第四章 內容提要1.極坐標中的基本方程和邊界條件（1）平衡微分方程0f210,f1第四章第四章 內容提要內容提要第四章 內容提要（2）幾何方程。uuu1uu1u,第四章 內容提要（3）物理方

9、程（平面應力問題）。EEE)1 (2),(1),(1當物體的邊界面為 面或 面時，位移或應力邊界條件都非常簡單。第四章 內容提要2.從直角坐標系到極坐標系的物理量的變換 式變量轉換：函數轉換：矢量轉換：,cosx;siny。)(),(,yx。uuvuuucossin,sincos導數轉換：一階導數（二階和高階導 數可以類推）：第四章 內容提要。，)cos(sin)sin(cosyx拉普拉斯算子.11222222第四章 內容提要應力轉換：,sincos2sincos22x,sincos2cossin22y。)sin(cossincos)(22xy3.極坐標中按應力函數 求解， 應滿足：（1）區(qū)域

10、內的相容方程。04 （2）邊界上的應力邊界條件（假設全部為 應力邊界條件）。第四章 內容提要（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。 當不記體力時，應力分量的表達式為,22211,22)1(第四章 內容提要4.軸對稱應力和相應的位移應力函數：。DCBA22lnln。0,2)ln23(,2)ln21 (22CBACBA 應力：第四章 內容提要位移（平面應力問題）：。，cossin4sincos)1 ( 2)31 () 1(ln)1 ( 2)1 (1KIHEBuKICBBAEu第五章第五章 內容提要內容提要.2)( ,2)(2002203131hfffxfhffxf,)(010hffxf.)(30

11、0hffxf第五章第五章 內容提要內容提要第五章第五章 內容提要內容提要.)()(,)( ,)(BABABAyBBAxBdsfxxdsfyydsfxdsfyyBxBB 2.2.應力函數應力函數 的差分解法的差分解法相容方程,004 )( 2)( 820876543210. 0)(1211109第五章第五章 內容提要內容提要應力公式).(41)(),(1)( ),2(1)(820202003042h2hh6751xyyx第五章第五章 內容提要內容提要 3.3.變分法是研究泛函及其極值的求解方變分法是研究泛函及其極值的求解方法。法。彈性力學中的位移變分法彈性力學中的位移變分法，是取位 移函數為宗量

12、，由總勢能處于極小值的 條件來導出變分方程，然后進行求解的。 以下列出平面應力問題的有關變分公式 及方程。第五章第五章 內容提要內容提要,pVUE,d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfufW.WVAxyxyyyxxyxUd)d(21.dd21212dd2121222222222yxyuxvyvxuyvxuEyxEAAxyyxyx第五章第五章 內容提要內容提要vu, ,vvvuuu第五章第五章 內容提要內容提要當虛位移發(fā)生時，當虛位移發(fā)生時，外力的虛功外力勢能的變分形變勢能的變分.d)(dd)(svfufyxvfufWyxsAyx.dd)(AxyxyyyxxyxU.WV第五章第五章 內容

13、提要內容提要 6.6.變分方程變分方程在封閉系統(tǒng)中，假定沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中，形變勢能的增加應等于外力勢能的減少，即上式也可以改用下列各形式表示和解釋。位移變分方程位移變分方程.WU.d)(dd)(svfufyxvfufUyxsAyx第五章第五章 內容提要內容提要.d)(dd)(dd)(svfufyxvfufyxyxsAyxAxyxyyyxx0pE, 0p2E.pminEVUEp第五章第五章 內容提要內容提要Ayxyyxyxxyxvfxyufyxdd )()(. 0d)()(svflmufmlsyxyyxyxx位移變分方程的又一形式位移變分方

14、程的又一形式第五章第五章 內容提要內容提要, ),(),(, ),(),(00mmyxvByxvvyxuAyxuummmmusAsAsxmmymymmxmsvfyxvfBUsufyxufAU.ddd,ddd)2 , 1(m第五章第五章 內容提要內容提要s. 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222yxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA)2 , 1(msus第六章 內容提要 1.有限單元法是20世紀中期發(fā)展起來的彈性力學數值解法。它是解決各種力學問題和進行結構分析的非常有效的數值方法，具有極大的通用性和靈活性，可以編制通用程序上機進行計算，能夠解

15、決各種復雜工程問題的分析并達到所需的精度。 第六章第六章 內容提要內容提要第六章 內容提要 2.彈性力學中的有限單元法，是將連續(xù)體變換為離散化結構，然后應用結構力學方法求解，或者應用變分法求解。第六章 內容提要 3.有限單元法中的公式，可以用統(tǒng)一的 形式表示： 單元的位移模式 單元的應變列陣 單元的應力列陣 單元的結點力列陣 ;eNd ;eB;,DBSS其中e;,vTeedvDBBkkF其中)(a)(d)(c)(b第六章 內容提要單元的結點荷載列陣 結點平衡方程組;,為集中力其中PPTeLtffNF。其中eijijLkKFK,)(e)( f對于各種問題和各種單元，都可以用上述公式表示，只是各矩

16、陣中的具體元素不同而已。第六章 內容提要 4.位移模式表示單元中的位移分布形式。它是應用插值公式，由結點位移值，求出單元中的位移函數表達式。 為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式必須滿足下列條件： （1）必須反映單元的剛體位移； （2）必須反映單元的常量應變； （3）盡可能反映位移的連續(xù)性。第六章 內容提要 5.單元中的應變列陣和應力列陣，可以根據單元中的位移函數（位移模式），分別應用幾何方程和物理方程求出。 6.單元中的結點力列陣，是內力向結點簡化的結果；單元中的結點荷載列陣，是外力向結點簡化的結果。它們都可以應用虛功方程導出。 第六章 內容提要 7.應用結構力學方法導出有限單元法的基本

17、方程時，結點的平衡方程組 表示離散化結構中，各結點的平衡條件。 應用變分方法導出有限單元法的基本方程時，式 表示彈性體總勢能在各結點處的極小值條件。)( f)( f第六章 內容提要 （三）FEM的說明 1.有限單元法可以應用于各種彈性結構的問題，如 桿系結構桁架，剛架，梁等，常采用 兩鉸接 點桿件單元，兩剛結點桿件單元， 梁單元等。 平面問題平面應力問題和平面應變問題，常采用三結點三角形單元，六結點三角形單元，四結點矩形單元，平面等參數單元等。第六章 內容提要 空間問題空間體問題，常采用四結點四 面體單元，八結點六面體單元，空間等參數單元等。 薄板彎曲問題采用板單元。 薄殼問題采用殼體單元。

18、組合結構綜合采用 上述各種單元， 對組合結構進行分析。教學參考資料第六章 內容提要 2.有限單元法可以應用于各種非線性力學問題，如物理非線性問題（彈塑性問題等），幾何非線性問題（大撓度問題等），接觸非線性問題，土力學和巖石力學等問題。教學參考資料 3.在國內外，已經有許多通用的有限單元法程序，可供分析結構時使用。 1. 直角坐標系(x,y,z)中的一般空間問題，其基本方程及邊界條件具有對等性，可將下標、導數和物理量等按（ x,y,z ）輪換的方式得出其余表達式。 平衡微分方程，),.(0zyxfzyxxzxyxx 幾何方程，第七章第七章 內容提要內容提要),;,.(,wvuzyxzvywxuy

19、xx 物理方程：（1）應變用應力表示，),.()1 (2),(1zyxEEyzyxzyxx （2）應力用應變表示，),( ,)1 ( 2),21(1zyxEEyzyzxx.zyx。 應力邊界條件， .)(xszxyxxfnml （在 上 ）s),(zyx 位移邊界條件，uus/。 （在 上 ）us),(wvu 2. 一點的應力狀態(tài)斜面應力，.,22222222222nzyxnxyzxyxzyxnppplmnlmnnml 3. 柱坐標系（ ）中的空間軸對稱問題（ 不具有對稱性）),.(zyxnmlpzxyxxxz,z, 平衡微分方程， 幾何方程.0,0zzzzzfzfz.,zzzzuzuzuuu 物理方程：（1）應變用應力表示，),()1 (2),(1.ZEEZZZ （2）應變用應力表示，),(.,)1(2),21(1zEEZzZ