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1、 人教版高中數(shù)學必修精品教學資料 章末綜合測評(四)　圓與方程 (時間120分鐘,滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1．在空間直角坐標系中,點A(－3,4,0)與點B(2,－1,6)的距離是(　　) A．2 B．2 C．9 D. 【解析】　由空間直角坐標系中兩點間距離公式得： |AB|＝＝. 【答案】　D 2．當圓x2＋y2＋2x＋ky＋k2＝0的面積最大時,圓心坐標是(　　) A．(0,－1) B．(－1,0) C．(1,－1) D．(－1,1) 【解析】　圓的標準方程

2、得：(x＋1)2＋2＝1－,當半徑的平方1－取最大值為1時,圓的面積最大．∴k＝0,即圓心為(－1,0)． 【答案】　B 3．圓O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0與圓O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關系是(　　) A．相交 B．相離 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切 【解析】　把圓O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0與圓O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分別化為標準式為(x－2)2＋(y－3)2＝1和(x－4)2＋(y－3)2＝9,兩圓心間的距離d＝＝2＝|r1－r2|,所以兩圓的位置關系為內(nèi)切,故選D. 【答案】　D 4．(2016葫蘆島高一檢測)過點(2,1)的直線中

3、,被圓x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最長弦所在的直線方程為(　　) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0 【解析】　依題意知所求直線通過圓心(1,－2),由直線的兩點式方程,得＝,即3x－y－5＝0,故選A. 【答案】　A 5．已知點M(a,b)在圓O：x2＋y2＝1外,則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 【解析】　由題意知點在圓外,則a2＋b2＞1,圓心到直線的距離d＝＜1,故直線與圓相交． 【答案】　B 6．若P(2,－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的

4、中點,則直線AB的方程是(　　) A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0 【解析】　圓心C(1,0),kPC＝＝－1, 則kAB＝1,AB的方程為y＋1＝x－2, 即x－y－3＝0,故選D. 【答案】　D 7．圓心在x軸上,半徑為1,且過點(2,1)的圓的方程是(　　) A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1 【解析】　設圓心坐標為(a,0),則由題意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1,解得a＝2.故所求圓的方程是(x－2)2＋y2＝1. 【答案

5、】　A 8．(2016泰安高一檢測)圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的差是(　　) 【導學號：09960151】 A．36 B．18 C．6 D．5 【解析】　圓x2＋y2－4x－4y－10＝0的圓心為(2,2),半徑為3,圓心到直線x＋y－14＝0的距離為＝5＞3,圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R＝6. 【答案】　C 9．過點P(－2,4)作圓O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l,直線m：ax－3y＝0與直線l平行,則直線l與m的距離為(　　) A．4 B．2 C. D. 【解析】　P為圓上一點,

6、則有kOPkl＝－1,而kOP＝＝－, ∴kl＝.∴a＝4,∴m：4x－3y＝0,l：4x－3y＋20＝0.∴l(xiāng)與m的距離為＝4. 【答案】　A 10．一個幾何體的三視圖如圖1所示,正視圖和側(cè)視圖都是等邊三角形,該幾何體的四個頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),則第五個頂點的坐標可能是(　　) 圖1 A．(1,1,1) B．(1,1,) C．(1,1,) D．(2,2,) 【解析】　由三視圖知,該幾何體為正四棱錐,正四棱錐的頂點在底面的射影是底面正方形的中心,高為,則第五個頂點的坐標為(1,1,)．故選C.

7、 【答案】　C 11．已知圓C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2,圓C2與圓C1關于直線x－y－1＝0對稱,則圓C2的方程為(　　) A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2 【解析】　設點(－2,2)關于直線x－y－1＝0的對稱點為Q(m,n),則解得m＝3,n＝－3,所以圓C2的圓心坐標為(3,－3),所以圓C2的方程為(x－3)2＋(y＋3)2＝2,故選D. 【答案】　D 12．(2016臺州高二檢測)已知圓O：x2＋y2－4＝0,圓C：x2＋y2＋2x－15＝0,

8、若圓O的切線l交圓C于A,B兩點,則△OAB面積的取值范圍是(　　) 圖2 A．[2,2] B．[2,8] C．[2,2] D．[2,8] 【解析】　S△OAB＝|AB|2＝|AB|, 設C到AB的距離為d, 則|AB|＝2,又d∈[1,3], 7≤42－d2≤15, 所以S△OAB＝|AB|∈[2,2]． 【答案】　A 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上) 13．已知A(1,2,3),B(5,6,－7),則線段AB中點D的坐標為________． 【解析】　設D(x,y,z),由中點坐標公式可得x＝＝3,y＝＝4,z＝＝－2,

9、所以D(3,4,－2)． 【答案】　(3,4,－2) 14．以原點O為圓心且截直線3x＋4y＋15＝0所得弦長為8的圓的方程是________． 【解析】　原點O到直線的距離d＝＝3,設圓的半徑為r,∴r2＝32＋42＝25,∴圓的方程是x2＋y2＝25. 【答案】　x2＋y2＝25 15．(2015重慶高考)若點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上,則該圓在點P處的切線方程為________． 【解析】　∵以原點O為圓心的圓過點P(1,2), ∴圓的方程為x2＋y2＝5. ∵kOP＝2,∴切線的斜率k＝－. 由點斜式可得切線方程為y－2＝－(x－1), 即x＋2y－5＝0

10、. 【答案】　x＋2y－5＝0 16．若x,y∈R,且x＝,則的取值范圍是________． 【解析】　 x＝?x2＋y2＝1(x≥0),此方程表示半圓,如圖,設P(x,y)是半圓上的點,則表示過點P(x,y),Q(－1,－2)兩點直線的斜率．設切線QA的斜率為k,則它的方程為y＋2＝k(x＋1)．從而由＝1,解得k＝.又kBQ＝3,∴所求范圍是. 【答案】　 三、解答題(本大題共6小題,共70分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)求經(jīng)過兩點A(－1,4),B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程． 【解】　法一：∵圓心在y軸上, 設圓的標準

11、方程是x2＋(y－b)2＝r2. ∵該圓經(jīng)過A、B兩點, ∴∴ 所以圓的方程是x2＋(y－1)2＝10. 法二：線段AB的中點為(1,3), kAB＝＝－, ∴弦AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1), 即y＝2x＋1. 由得(0,1)為所求圓的圓心． 由兩點間距離公式得圓半徑r為 ＝, ∴所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10. 18．(本小題滿分12分)如圖3所示,BC＝4,原點O是BC的中點,點A的坐標是,點D在平面yOz上,且∠BDC＝90,∠DCB＝30,求AD的長度． 圖3 【解】　由題意得B(0,－2,0),C(0,2,0),設D(0,y,z)

12、,在Rt△BDC中,∠DCB＝30, ∴|BD|＝2,|CD|＝2,∴z＝,2－y＝3, ∴y＝－1,∴D(0,－1,)． 又∵A, ∴|AD|＝＝. 19．(本小題滿分12分)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25,直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)證明：不論m為何值時,直線和圓恒相交于兩點； (2)求直線l被圓C截得的弦長最小時的方程． 【解】　(1)證明：由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0, 得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0. 解得 ∴直線l恒過定點A(3,1)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25, ∴(

13、3,1)在圓C的內(nèi)部,故直線l與圓C恒有兩個公共點． (2)當直線l被圓C截得的弦長最小時,有l(wèi)⊥AC,由kAC＝－,得l的方程為y－1＝2(x－3),即2x－y－5＝0. 20．(本小題滿分12分)點A(0,2)是圓x2＋y2＝16內(nèi)的定點,B,C是這個圓上的兩個動點,若BA⊥CA,求BC中點M的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么曲線． 【解】　設點M(x,y),因為M是弦BC的中點,故OM⊥BC. 又∵∠BAC＝90,∴|MA|＝|BC|＝|MB|. ∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2, ∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2,即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]

14、,化簡為x2＋y2－2y－6＝0, 即x2＋(y－1)2＝7. ∴所求軌跡為以(0,1)為圓心,以為半徑的圓． 21．(本小題滿分12分)如圖4所示,平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于E點,定點A,C的坐標分別是A(－2,3),C(2,1)． 圖4 (1)求以線段AC為直徑的圓E的方程； (2)若B點的坐標為(－2,－2),求直線BC截圓E所得的弦長． 【解】　(1)AC的中點E(0,2)即為圓心, 半徑r＝|AC|＝＝, 所以圓E的方程為x2＋(y－2)2＝5. (2)直線BC的斜率k＝＝, 其方程為y－1＝(x－2),即3x－4y－2＝0. 點E到直線BC

15、的距離為d＝＝2,所以BC截圓E所得的弦長為2＝2. 22.(本小題滿分12分)如圖5,已知圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0,點A(0,6)． (1)求圓心在直線y＝x上,經(jīng)過點A,且與圓C相外切的圓N的方程； (2)若過點A的直線m與圓C交于P,Q兩點,且圓弧PQ恰為圓C周長的,求直線m的方程． 【導學號：09960152】 圖5 【解】　(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0, 化為標準方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50. 所以圓C的圓心坐標為C(－5,－5), 又圓N的圓心在直線y＝x上, 所以當兩圓外切時,切點為O,設圓N的圓心坐標為(a,a), 則有＝, 解得a＝3, 所以圓N的圓心坐標為(3,3),半徑r＝3, 故圓N的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝18. (2)因為圓弧PQ恰為圓C周長的,所以CP⊥CQ. 所以點C到直線m的距離為5. 當直線m的斜率不存在時,點C到y(tǒng)軸的距離為5,直線m即為y軸,所以此時直線m的方程為x＝0. 當直線m的斜率存在時,設直線m的方程為y＝kx＋6, 即kx－y＋6＝0. 所以＝5,解得k＝. 所以此時直線m的方程為x－y＋6＝0, 即48x－55y＋330＝0, 故所求直線m的方程為x＝0或48x－55y＋330＝0.