《專題59 邊角轉(zhuǎn)化解三角(解析版)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《專題59 邊角轉(zhuǎn)化解三角(解析版)（50頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題59 邊角轉(zhuǎn)化解三角 一、單選題 1．設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，.若，，則角（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由正弦定理得出邊之間的關(guān)系，再由余弦定理求得，由角的范圍可得選項(xiàng). 【詳解】 根據(jù)正弦定理，由，得，又，所以令，，，. 由余弦定理可得，又故，所以. 故選：B. 2．在銳角中，角A、B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b，若，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由條件結(jié)合正弦定理可得，然后得到即可選出答案. 【詳解】 因?yàn)? 所以由正弦定理可得，因?yàn)?，所? 因?yàn)榻茿為銳角，所以 故選：A 3

2、．在銳角中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用正、余弦定理角化邊，運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系切化弦，化簡(jiǎn)解出即可 【詳解】 銳角中， ， 由余弦定理可得， 化簡(jiǎn)得：， 又 ． 故選：D 4．中，邊，，的對(duì)角分別是，，，若，則角（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】 利用正弦定理的邊角互化即可求解. 【詳解】 在中，由正弦定理知 則， 因?yàn)榻鞘堑膬?nèi)角， 所以， 所以角等于或． 故選：D． 5．在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，則（ ） A． B． C．

3、 D． 【答案】C 【分析】 根據(jù)條件由正弦定理可得，再根據(jù)余弦定理可得得出答案. 【詳解】 由，得，可得 所以，則 又，所以 故選：C 6．在中，角的對(duì)邊分別為，若，，的面積等于，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用正弦，余弦定理將角化邊，結(jié)合三角形面積公式，列方程求解即可. 【詳解】 ① ② 據(jù)題設(shè)可得③ 由①②③解得 故選：C 7．在中，、、分別為的內(nèi)角、、的對(duì)邊，，則角的大小為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由正弦定理將角化邊，即可得到，再由余弦定理，即

4、可得到，再利用輔助角公式及基本不等式即可得到，即可得解； 【詳解】 解：因?yàn)? 由正弦定理可得，即， 又由余弦定理可知， 則， 則，即：， ，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， ∴，，， 故選：A. 【點(diǎn)睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值. 8．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿足，，，則邊長(zhǎng)的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由同

5、角三角函數(shù)的平方關(guān)系、正弦定理、余弦定理可求出的值，可求得角的值，利用三角形的內(nèi)角和定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值. 【詳解】 ， 則， 即，由正弦定理得， 所以，，， ，， 又，則，且. 又，所以，， 故選：D. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下： （1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”； （2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”； （3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”； （

6、4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置； （5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解； （6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理. 9．中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則A的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根據(jù)題中條件，由正弦定理，得到，，由兩角和的正切公式，得出，利用基本不等式，即可得出結(jié)果. 【詳解】 因?yàn)?，由正弦定理可得，則， 所以， 因?yàn)锳，B，C為的內(nèi)角， 則，，所以，則，所以、都為銳角； 又由可得，即， 則， 令，則， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立； 所以，因此的最大值為.

7、 故選：C. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛： 求解本題的關(guān)鍵在于利用正弦定理，結(jié)合三角恒等變換，得到，再利用基本不等式，求解即可.（求解時(shí)，要注意角的范圍）. 10．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且，則周長(zhǎng)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 把已知式中2換成后用正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得，然后由正弦定理把用角表示，得周長(zhǎng)的表達(dá)式，求出角范圍后可得周長(zhǎng)的范圍， 【詳解】 因?yàn)?，，所以? 所以， 所以，則，即. 由正弦定理可得， 則，， 故的周長(zhǎng). 因?yàn)榻獾?，則，故的周長(zhǎng). 故選：B． 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

8、本題主要考查正弦定理，解題關(guān)鍵是把已知等式中的2用邊替換，這樣可用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，化邊為角，從而求得，然后可得角范圍，同時(shí)再用正弦定理求出邊（表示為的函數(shù)），從而可求得周長(zhǎng)的范圍． 11．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，則面積的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 用正弦定理化邊為角，求出，，，再用余弦定理求出的關(guān)系，由基本不等式得的最大值，從而可得三角形面積的最大值． 【詳解】 因?yàn)?，所以? 所以，即，，. 由余弦定理可得，即，則， 故的面積. 故選：C． 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求三角形面積的最值，應(yīng)用的知識(shí)較多：

9、正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式等．要求掌握所有的知識(shí)點(diǎn)才能正確求解，本題屬于中檔題． 12．在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合正弦定理進(jìn)行求解即可. 【詳解】 因?yàn)榻鞘侨切蔚膬?nèi)角，所以， 由，可得：， 由正弦定理可知：，因?yàn)?，? 所以. 故選：D 二、多選題 13．在中，角所對(duì)的邊分別為，下列說法中正確的是（ ） A．若，則 B．若，則 C．若，則為鈍角三角形 D．若，則為直角三角形 【答案】ACD 【分析】

10、 根據(jù)正弦定理與余弦定理，可判斷AC選項(xiàng)；根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角形的性質(zhì)，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)三角恒等變換和正弦定理，可判斷D選項(xiàng). 【詳解】 A選項(xiàng)，在中，大邊對(duì)大角，由可得，利用正弦定理，可得；故A正確； B選項(xiàng)，在中，若，則或，所以或；故B錯(cuò)； C選項(xiàng)，若，則，所以角為鈍角，即為鈍角三角形；故C正確； D選項(xiàng)，若，則，所以，則，又為三角形內(nèi)角，所以，則. 故選：ACD. 14．下列說法正確的是（ ） A．在中，若，則． B．在中，． C．在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積． D．在中，已知，，，則此三角形有一解． 【答案】ABC 【分析】 根據(jù)正弦定

11、理和余弦定理，逐項(xiàng)判定，即可得出結(jié)果. 【詳解】 A選項(xiàng)，因?yàn)?，根?jù)正弦定理，可得，由三角形的性質(zhì)，大邊對(duì)大角，所以，故A正確； B選項(xiàng)，在中，由正弦定理可得（為外接圓半徑），所以，故B正確； C選項(xiàng)，在三角形中，若已知兩邊與兩邊夾角，可直接根據(jù)三角形面積公式求三角形面積；若已知兩邊一鄰角，可根據(jù)余弦定理，先求出第三邊，再根據(jù)三角形面積公式即可求出三角形面積；即在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積．故C正確； D選項(xiàng)，在中，已知，，，由正弦定理可得：，顯然不成立，所以此三角形不存在，故D錯(cuò). 故選：ABC. 三、解答題 15．在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，

12、補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由. 問題：是否存在，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，__________，？ 【答案】答案見解析. 【分析】 選擇①結(jié)合余弦定理和正弦定理求出，，即可求出三角形面積； 選擇②由正弦定理可得，從而可求出的大小，再結(jié)合正弦定理可求出，從而可求出三角形的面積；選擇③由輔助角公式可求出，結(jié)合正弦定理可求出，進(jìn)而可求出三角形的面積. 【詳解】 選擇①：由余弦定理可知，， 由正弦定理得，，又，所以， 所以是直角三角形，則，所以的面積. 選擇②：由正弦定理得，，即， 又，所以，所以，即， 又，

13、所以.由正弦定理得，， 所以的面積. 選擇③：因?yàn)?，所以? 又，所以，所以，，即. 由正弦定理得，， 所以的面積. 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛： 三角形相關(guān)問題，若已知條件中既有邊又有角，則常運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互換，偶爾也會(huì)用到余弦定理或余弦定理的變形形式進(jìn)行邊角互換. 16．從條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并給出解答． 在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，________，求的面積． 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分． 【答案】答案見解析. 【分析】 若選①，利用余弦定理可得，求出角后可計(jì)算三角形的面積. 若選②，利用正弦定理可得，求

14、出角后可計(jì)算三角形的面積. 若選③，利用正弦定理可得，求出角的正弦后可計(jì)算三角形的面積. 【詳解】 解：選擇①，因?yàn)椋? 所以由余弦定理得， 所以， 所以由余弦定理得，而為三角形內(nèi)角， 所以， 所以的面積為． 選擇②，因?yàn)椋? 所以由正弦定理得， 所以． 又，所以， 所以，而為三角形內(nèi)角，所以，所以， 所以的面積為． 選擇③，因?yàn)椋? 所以由正弦定理得， 即， 所以． 又，所以， 所以，而為三角形內(nèi)角，所以， 所以的面積為． 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式

15、或角的關(guān)系式. 17．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，． （1）求的值； （2）若為銳角三角形，求的面積． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)正弦定理，由題中條件，求出外接圓的半徑，進(jìn)而可求出； （2）先由（1）求出，根據(jù)余弦定理，求出的值，并檢驗(yàn)，再由三角形面積公式，即可得出結(jié)果. 【詳解】 （1）根據(jù)正弦定理，由可化為（其中為外接圓半徑）， 因?yàn)?，，所以? 則； （2）因?yàn)闉殇J角三角形，所， 由余弦定理可得：，即， 解得或， 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為鈍角，舍去． 所以，則． 18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，

16、b，c且滿足 （1）求角C的大??； （2）若a=，b=c，求△ABC的面積 【答案】（1）；（2）16. 【分析】 （1）利用正弦定理把中邊統(tǒng)一成角，然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可求出角C的值； （2）利用余弦定理求出的值，再利用面積公式可求得結(jié)果 【詳解】 解：（1）∵， ∴由正弦定理有， ∴， ∵∴， ∴． （2）由余弦定理 ∴ ∴∴ ∴ ∴． 19．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，. （1）求的值； （2）若，求的面積. 【答案】

17、（1）；（2）. 【分析】 (1)利用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的兩角和差公式化為，進(jìn)而得解； (2)根據(jù)已知條件，利用余弦定理求得的值，進(jìn)而利用面積公式計(jì)算. 【詳解】 （1）由正弦定理可得， 由，可得. 因?yàn)?，所以? 故， 所以， 即， 得. （2）在中，由余弦定理，得 ， 又因?yàn)?，所以，? 所以的面積為. 【點(diǎn)睛】 本題考查正余弦定理，三角形面積公式，涉及兩角差的正弦公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題,關(guān)鍵是利用正弦定理將邊的關(guān)系化為角的正弦的關(guān)系和根據(jù)已知條件選擇合適的余弦定理的形式求得的值, 20．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，. （Ⅰ）求角的

18、大??； （Ⅱ）若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）根據(jù)，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到，然后再利用余弦定理求解. （Ⅱ）結(jié)合，，在中利用正弦定理得到，再根據(jù)為銳角三角形，求得B的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解. 【詳解】 （Ⅰ）因?yàn)椋? 由正弦定理可得，即為. 由余弦定理可得， 因?yàn)椋? 所以. （Ⅱ）在中由正弦定理得，又， 所以，， 所以， ， ， 因?yàn)闉殇J角三角形， 所以，且， 所以且， 所以且， 所以， 所以， 所以周長(zhǎng)的取值范圍是. 【點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問在確定角B的范圍時(shí)，容易忽視，結(jié)合即的條件

19、. 21．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為，，，且. （1）求的值； （2）若，，求的周長(zhǎng). 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合范圍，可求的值. （2）由已知可得，又由余弦定理可得，聯(lián)立解得的值，即可得解三角形的周長(zhǎng). 【詳解】 解：（1）由題意可得，可得， 由正弦定理可得， 因?yàn)?，可? （2）由，可得， 又由余弦定理可得，可得， 可得，解得，或（舍去）， 故的周長(zhǎng)為. 22．在中，，，______，求邊上的高.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分. 【答

20、案】答案見解析 【分析】 選①，先根據(jù)正弦定理得，再根據(jù)余弦定理得，進(jìn)而得邊上的高為； 選②，由得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理得，進(jìn)而得邊上的高為； 選擇③，由得，進(jìn)而由余弦定理得，進(jìn)而得邊上的高為. 【詳解】 解：選擇①， 在中，由正弦定理得，即， 解得， 由余弦定理得，即， 化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）； 所以邊上的高為. 選擇②， 在中，由正弦定理得， 又因?yàn)?，所以，即? 由余弦定理得， 即， 化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）； 所以邊上的高為. 選擇③， 在中，由，得； 由余弦定理得， 即 化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）； 所以邊上的高為. 【點(diǎn)睛】 本題解題的關(guān)鍵在

21、于應(yīng)用正余弦定理的方程思想計(jì)算出邊，進(jìn)而根據(jù)邊上的高為求解，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題. 23．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且 （1）求角C的正弦值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）；（2）4. 【分析】 (1)利用正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式后可得，從而可求得角C的正弦值； (2)利用正弦定理將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)的值域可求得所求的最值. 【詳解】 解：（1）∵， ∴， ∵，∴． ∴，，∴，∴； （2）∵，∴，又， ∴ ， ∵，∴， 當(dāng)，即時(shí)，． 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：（1）在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我

22、們可以利用余弦定理化簡(jiǎn)該條件； （2）如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡(jiǎn)該條件； （3）如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式. （4）與三角形有關(guān)的最值問題，我們可以利用基本不等式來求最值或利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)式，再利用三角變換和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)求最值或范圍. 24．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知. （1）求角的大小. （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）-4. 【分析】 （1）由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理求得角； （2）由三角形面積

23、公式得，再由數(shù)量積的定義求得數(shù)量積． 【詳解】 （1）∵，∴由正弦定理：， ∴，. 由余弦定理：∴. ∵，∴. （2）由，，. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理和余弦定理，三角形面積公式，解三角形時(shí)，邊角出現(xiàn)在一個(gè)等式中，常常利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，化角后應(yīng)用三角性等變換公式化簡(jiǎn)，化邊后，一種利用代數(shù)式的運(yùn)算進(jìn)行變形，一種利用余弦定理求角． 25．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若. （1）求角B； （2）若，求周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)的面積. 【答案】（1）；（2）6，. 【分析】 （1）利用正弦定理余弦定理化簡(jiǎn)即得解； （2）利用基本不等

24、式求出，即得周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)的面積. 【詳解】 （1）∵， 由己知結(jié)合正弦定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴. （2）∵， 即， ∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， ∴周長(zhǎng)的最小值為6， 此時(shí)的面積. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：求最值常用的方法有：（1）函數(shù)法（研究函數(shù)的單調(diào)性求出最值）；（2）導(dǎo)數(shù)法（利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值）；（3）數(shù)形結(jié)合法（把數(shù)和形結(jié)合起來求出函數(shù)的最值）；（4）基本不等式法（利用基本不等式法求函數(shù)的最值）. 26．已知在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且. （1）求角的大??； （2）若，，求的面積. 【答案】（1）；（2）4

25、. 【分析】 （1）利用正弦定理化邊為角可得，由可得，即可求角的大??； （2）利用余弦定理求出邊，再利用面積公式即可求解. 【詳解】 （1）在中，， 在中，由正弦定理得， 即， 又角為三角形內(nèi)角，， ∴， 即，又∵，∴， （2）在中，由余弦定理得， 則，即， 解得或(舍)， ∴. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求三角形面積的關(guān)鍵是利用余弦定理求出邊，再利用面積公式即可求的面積. 27．已知，，分別為的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，. （1）求； （2）若，的面積為，求. 【答案】（1）；（2）8. 【分析】 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，由余弦定理可得，結(jié)合范

26、圍，可求的值． （2）由已知利用三角形的面積公式可求的值，進(jìn)而利用余弦定理可求的值． 【詳解】 （1）由， 根據(jù)正弦定理可得， 即， 由余弦定理， 得， 由于，所以. （2）因?yàn)榈拿娣e為， 所以，即， 因?yàn)椋裕? 所以 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到. 28．已知中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且． （1）求證：； （2）若

27、，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，當(dāng)線段的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求的面積． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【分析】 （1）根據(jù)余弦定理得，再由正弦定理得，由角的范圍可得證； （2）由（1）和已知條件求得，，再由向量垂直的條件得點(diǎn)在以為直徑的圓上，且當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，取得最小值，再由三角函數(shù)的定義和正弦二倍角公式可求得的面積． 【詳解】 （1）∵，，∴， 由正弦定理得，∵， 代入得，，即，∵，，為三角形的內(nèi)角， ∴． （2）因?yàn)?，所以，．由題意，得，點(diǎn)在以為直徑的圓上， ∵，∴，， 設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，則當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，取得最小值，此時(shí) ．設(shè)，則，，， 中，， 的面積， ∴當(dāng)

28、取得最小值時(shí)，的面積為． 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于由已知條件得出點(diǎn)P的軌跡，找到取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置. 29．在中，角所對(duì)的邊分別為.已知. （1）求角； （2）若為邊的中點(diǎn)，且，求的面積. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理邊化角和同角公式可求得結(jié)果； （2）在中，根據(jù)余弦定理可求得，再根據(jù)三角形面積公式可求得結(jié)果. 【詳解】 （1）因?yàn)?，所以? 因?yàn)?，所以，所以，? 因?yàn)?，所? （2）在中，. 由余弦定理可得， 則， 即，解得. 故的面積為. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）問利用正弦定理邊化角是解題關(guān)鍵，第（

29、2）問在中，根據(jù)余弦定理求出是解題關(guān)鍵. 30．在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且. （1）求C的大小； （2）如果，，求c的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理邊角互化，可得C的大小； （2）利用三角形的面積公式求出，利用余弦定理可得c的值． 【詳解】 （1）由正弦定理，可化為，即. 又∵，∴. （2）由，有，. 由余弦定理，得 ∴. 31．已知中，角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足. （1）求的大小； （2）若，，，求的長(zhǎng). 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由正弦定理得，再由，代入得，可求得的大?。? （2

30、）由正弦定理，求得，再由已知和余弦定理求得，，利用余弦定理求得答案. 【詳解】 解：（1）在中，由正弦定理得， 又， 所以 即，整理得， 因?yàn)榭傻?，又? 所以； （2）在中，，由，解得， 又因?yàn)椋? 所以，得， 由得，所以， 所以， 所以. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在運(yùn)用正弦定理、余弦定理解三角形時(shí)，注意由已知條件選擇合適的定理，并注意角的范圍. 32．在中，角所對(duì)的邊分別，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）.. 【分析】 （1）已知，根據(jù)正弦定理可得，即求的值； （2）根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)平方關(guān)系式求，得到結(jié)果. 【詳解

31、】 （1）由正弦定理得 （2）由（1）知又因?yàn)椋? 由余弦定理得， 又因?yàn)椋? 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，解題方法如下： （1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合題中條件，建立等量關(guān)系式，求得結(jié)果； （2）結(jié)合（1）的結(jié)論，得到，結(jié)合題中所給的條件，利用余弦定理求得，根據(jù)平方關(guān)系式求. 33．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且 （1）求角A的大小； （2）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且，求△ABC的面積的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由正弦定理的角化邊公式化簡(jiǎn)得到，結(jié)合余弦定理解出角的大小； （2）利用兩邊平方得到,

32、再利用基本不等式得出最大值. 【詳解】 （1）由題意得 （2） ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 故△ABC的面積的最大值是 【點(diǎn)睛】 用三角形中線向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵. 34．已知A，B，C為的三個(gè)內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a，b，c，若 （1）求A； （2）若，求的面積 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由正弦定理將邊化成角，再根據(jù)和角公式化簡(jiǎn)即可； （2）由余弦定理代入數(shù)據(jù)，求出，再由面積公式求解即可. 【詳解】 （1）根據(jù)正弦定理得 即 又 又； （2）由余弦定理，得 則 . 【點(diǎn)睛】 本題主要考查正余弦定理的

33、應(yīng)用，涉及到三角形面積公式，屬于中檔題. 35．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）已知，，且邊上有一點(diǎn)滿足，求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）利用正弦定理的邊角互化可得，再利用二倍角公式即可求解. （Ⅱ）設(shè)的邊上的高為，的邊上的高為，根據(jù)可得，從而確定是角的內(nèi)角平分線，然后由，結(jié)合三角形面積公式即可求解. 【詳解】 解：（Ⅰ）因?yàn)椋? 由正弦定理得， 因?yàn)?，所以? 所以，因?yàn)?，所以? 所以，即，所以． （Ⅱ）設(shè)的邊上的高為，的邊上的高為， 因?yàn)椋?，? 所以， 所以，是角的內(nèi)角平分線，所以， 因?yàn)椋芍? 所以， 所以．

34、【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了正弦定理的邊角互化、三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是確定是角的內(nèi)角平分線，考查了運(yùn)算能力. 36．中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面積. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】 （1）本題首先可通過正弦定理以及兩角和的正弦公式得出，然后根據(jù)得出，最后根據(jù)以及即可得出結(jié)果； （2）本題首先可根據(jù)正弦定理求出或，然后求出角的大小，最后根據(jù)解三角形面積公式即可得出結(jié)果. 【詳解】 （1）因?yàn)椋? 所以由正弦定理可得， 化簡(jiǎn)整理得， 因?yàn)?，所以? 因?yàn)椋?，所以? （2）因?yàn)椋?，? 所以，即，解得，或，

35、 若，則，； 若，則，， 故的面積為或. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用以及解三角形面積公式，考查兩角和的正弦公式，正弦公式，解三角形面積公式，考查計(jì)算能力，是中檔題. 37．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知. （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）3；（2）2. 【分析】 （1）由題中條件，根據(jù)正弦定理，將原式化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果； （2）由（1）的結(jié)果，結(jié)合正弦定理，得到，再由余弦定理，根據(jù)題中條件，即可求出結(jié)果. 【詳解】 （1）由題意，根據(jù)正弦定理可得， 則， 即， 即，即， ∴. （2）∵，∴， 由余弦定

36、理可得：， 解得， ∴. 38．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若， （1）求； （2）若外接圓的面積為，求邊長(zhǎng)． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）由題中條件，根據(jù)余弦定理，求出，進(jìn)而可求出； （2）根據(jù)題中條件，先求出外接圓半徑，再由正弦定理，即可求出結(jié)果. 【詳解】 （1）由余弦定理得 又， ∴， ∴，又為三角形的內(nèi)角，所以； （2）∵外接圓的面積為，設(shè)該圓半徑為， 則，∴， 由正弦定理得：，所以. 四、填空題 39．在中，若，則是________三角形． 【答案】等腰直角 【分析】 根據(jù)正弦定理，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.

37、【詳解】 由正弦定理可知：，因?yàn)?，所以? 由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 即，有，所以，而，所以，，因此為等腰直角三角形． 故答案為：等腰直角 40．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，若，則_______. 【答案】 【分析】 先利用三角恒等變換，將原式化為，根據(jù)正弦定理，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果. 【詳解】 由 得， 則， 則 即， 由正弦定理可得：， 又角，，為三角形內(nèi)角，所以， 則，即，所以. 故答案為：. 41．我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為

38、實(shí)：一為從隅，開平方得積.把以上文字寫成公式，即（其中為三角形的面積，，，為三角形的三邊）.在非直角中，，，為內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的三邊，若，且，則的面積最大時(shí)，______. 【答案】3 【分析】 先利用正弦定理將邊化為角，化簡(jiǎn)整理得，帶入面積公式，配方可得最值． 【詳解】 解：，， ， ， 非直角三角形，， ，即， ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值. 故答案為：3． 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系，注意三角形內(nèi)角和的應(yīng)用． 五、雙空題 42．如圖，設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，且.若點(diǎn)是外一點(diǎn)，，，則當(dāng)_

39、_____時(shí)，四邊形的面積的最大值為____________ 【答案】 【分析】 利用正弦定理邊角互化結(jié)合的取值范圍可求得，可判斷出為等邊三角形，利用余弦定理求得，利用三角形的面積公式可得出四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用三角恒等變換思想結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可求得四邊形面積的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，即可得解. 【詳解】 ， 由正弦定理可得， 所以，， ，，可得，，， 所以，為等邊三角形， 設(shè)，則， 由余弦定理可得， ， ， 所以，四邊形的面積為， ，， 所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最大值. 故答案為：；. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下： （1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”； （2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”； （3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”； （4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置； （5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解； （6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.