《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第二節(jié) 不等式證明的基本方法教師用書 理 選修45》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第二節(jié) 不等式證明的基本方法教師用書 理 選修45（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二節(jié)　不等式證明的基本方法 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 　　了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法。 2016，全國卷Ⅱ，24,10分(比較法證明不等式) 2015，全國卷Ⅱ，24,10分(分析法、綜合法證明不等式) 2014，全國卷Ⅰ，24,10分(放縮法、反證法證明不等式) 　　本部分主要考查比較法、綜合法、分析法證明不等式，往往應(yīng)用完全平方式、基本不等式等知識點，有時與函數(shù)、數(shù)列相結(jié)合。 微知識　小題練 自|主|排|查 1．比較法 作差比較法與作商比較法的基本原理： (1)作差法：a－b>0?a&g

2、t;b。 (2)作商法：>1?a>b(a>0，b>0)。 2．綜合法與分析法 (1)綜合法：證明不等式時，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過推理論證而得出命題成立，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чā? (2)分析法：證明命題時，從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立。這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法。 3．反證法 先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的

3、定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法。 4．放縮法 證明不等式時，通過把所證不等式的一邊適當?shù)胤糯蠡蚩s小，以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法。 5．柯西不等式 設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等號當且僅當ad＝bc時成立。 微點提醒 1．作差比較法的實質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)(或式子)與0的大小關(guān)系。 2．用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證

4、…”等分析到一個明顯成立的結(jié)論，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立。 小|題|快|練 1．設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1。 【證明】　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1。 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤。 (2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c。 所以＋＋≥1。 2．設(shè)a

5、>0，|x－1|<，|y－2|<，求證： |2x＋y－4|<a。 【證明】　因為|x－1|<，|y－2|<， 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a。 微考點　大課堂 考點一 比較法證明不等式 【典例1】　(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集。 (1)求M； (2)證明：當a，b∈M時，|a＋b|<|1＋ab|。 【解析】　(1)f(x)＝ 當x≤－時，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－

6、1； 當－<x<時，f(x)<2； 當x≥時，由f(x)<2得2x<2，解得x<1。 所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}。 (2)證明：由(1)知，當a，b∈M時，－1<a<1，－1<b<1，從而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0。 因此|a＋b|<|1＋ab|。 【答案】　(1)M＝{x|－1<x<1}　(2)見解析 反思歸納　作差比較法證明不等式的步驟 1．作差；2.變形；3.判斷差的符號；4.下結(jié)論。其中“變形

7、”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負。 【變式訓(xùn)練】　設(shè)a，b是非負實數(shù)，求證：a3＋b3≥(a2＋b2)。 　【證明】　由a，b是非負實數(shù)，作差得 a3＋b3－(a2＋b2) ＝a2(－)＋b2(－) ＝(－)[()5－()5]。 當a≥b時，≥， 從而()5≥()5， 得(－)[()5－()5]≥0； 當a<b時，<， 從而()5<()5， 得(－)[()5－()5]>0。 所以a3＋b3≥(a2＋b2)。 考點二 綜合法、分析法證明不等式 【典例2】　(1)已知x，y均為正數(shù)，且x

8、>y，求證：2x＋≥2y＋3。 (2)設(shè)a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b＋c≥。 【證明】　(1)因為x>0，y>0，x－y>0， 2x＋－2y＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥3＝3，(當且僅當x－y＝1時，等號成立) 所以2x＋≥2y＋3。 (2)因為a，b，c>0，所以要證a＋b＋c≥， 只需證(a＋b＋c)2≥3。 即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)。 即證：a2＋b2＋c2≥

9、ab＋bc＋ca。 而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(當且僅當a＝b＝c時等號成立)成立。 所以原不等式成立。 反思歸納　用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法。綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野。 【變式訓(xùn)練】　(1)已知n≥2，求證：>－。 (2)(2016·銀川質(zhì)檢)已知a，b，c全為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證： ①＋＋

10、≤1； ②a2＋b2＋c2≥。 【證明】　(1)要證>－，只需證>。 即>， 只需證 ＋>， 只需證>0， 只需證n>1， 因為n≥2>1，所以>－。 (2)①∵a，b，c全為正數(shù)，且a＋b＋c＝1， ∴a＋b≥2(當且僅當a＝b時等號成立)； b＋c≥2(當且僅當b＝c時等號成立)； c＋a≥2(當且僅當c＝a時等號成立)， ∴2(a＋b＋c)≥2＋2＋2(當且僅當a＝b＝c時等號成立)。 ∴＋＋≤1(當且僅當a＝b＝c時等號成立)。 ②a2＋b2＋c2≥?a2＋b2＋c2≥?a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。

11、∵ ∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac?a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac， ∴a2＋b2＋c2≥(當且僅當a＝b＝c時等號成立)。 考點三 柯西不等式的應(yīng)用 【典例3】　(2015·陜西高考)已知關(guān)于x的不等式|x＋a|<b的解集為{x|2<x<4}。 (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求＋的最大值。 【解析】　(1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a， 則解得 (2)＋＝·＋ ≤ ＝2＝4， 當且僅當＝，即t＝1時等號成立， 故(＋)max＝4。 【答案】　(1)a＝－3，b＝1　(

12、2)4 反思歸納　柯西不等式的常見類型及解題策略 1．求表達式的最值。依據(jù)已知條件，利用柯西不等式求最值，注意等號成立的條件； 2．求解析式的值。利用柯西不等式的條件，注意等號成立的條件，進而求得各個量的值，從而求出解析式的值； 3．證明不等式。注意所證不等式的結(jié)構(gòu)特征，尋找柯西不等式的條件，然后證明。 【變式訓(xùn)練】　已知x，y，z均為實數(shù)。 (1)若x＋y＋z＝1，求證：＋＋≤3； (2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值。 【解析】　(1)證明：因為(＋＋)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27。 所以＋＋≤3。 當且僅當x＝，y＝

13、，z＝0時取等號。 (2)因為6＝x＋2y＋3z≤·，所以x2＋y2＋z2≥，當且僅當x＝＝即x＝，y＝，z＝時，x2＋y2＋z2有最小值。 【答案】　(1)見解析　(2) 微考場　新提升 1．已知a，b均為正數(shù)，且a＋b＝1，證明：(ax＋by)2≤ax2＋by2。 證明　(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy， 因為a＋b＝1，所以，a－1＝－b，b－1＝－a，故(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy ＝－ab(x2＋y2－2xy)＝－ab(x－y)2≤0， 當且僅當x＝y(tǒng)

14、時等號成立。 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2。 2．已知x>0，y>0，a∈R，b∈R。求證：2≤。 證明　因為x>0，y>0，所以x＋y>0。 所以要證2≤， 即證(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)， 即證xy(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立。故2≤。 3．設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋。證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立。 證明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1。 (1)由基本不等式及ab＝1

15、，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，當且僅當a＝b＝1時等號成立。 (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，則由a2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab＝1矛盾。故a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立。 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375