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1、. , 數數是是唯唯一一確確定定的的梯梯形形矩矩陣陣中中非非零零行行的的行行梯梯形形，階階把把它它變變?yōu)闉殡A階變變換換總總可可經經過過有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩陣陣nmA ., 12階子式階子式的的稱為矩陣稱為矩陣階行列式，階行列式，的的中所處的位置次序而得中所處的位置次序而得變它們在變它們在不改不改元素元素處的個處的個），位于這些行列交叉），位于這些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩陣矩陣在在定義定義kAkAknkmkkkAnm 矩陣的秩矩陣的秩. )A(RArAD01rDr0A2等于零等于零并規(guī)定零矩陣的秩并規(guī)定零矩陣的秩的秩，記作的秩，記作稱為矩陣稱為矩陣的最高階非零子式，數的

2、最高階非零子式，數稱為矩陣稱為矩陣，那末，那末于于）全等）全等階子式（如果存在的話階子式（如果存在的話，且所有，且所有式式階子階子的的中有一個不等于中有一個不等于設在矩陣設在矩陣定義定義 .)( 子式的最高階數子式的最高階數中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩陣矩陣AARAnm ，對于對于TA).()(ARART 顯有顯有. 個個階子式共有階子式共有的的矩陣矩陣knkmCCkAnm 例例1.174532321的秩的秩求矩陣求矩陣 A解解中，中，在在 A，階子式只有一個階子式只有一個的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR例例2.00000340005213023012的秩的

3、秩求矩陣求矩陣 B解解行，行，非零行有非零行有是一個階梯形矩陣，其是一個階梯形矩陣，其3B.4階子式全為零階子式全為零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR例例3 3，求該矩陣的秩，求該矩陣的秩已知已知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解計算計算A的的3階子式，階子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR做初等變換，做初等變換，對矩陣對矩陣 510231202231A另解另解,000031202231510231202231 顯然，非零行的行數為顯然，非零行的行數

4、為2， . 2 AR此方法簡單！此方法簡單！., 形形等行變換把他變?yōu)殡A梯等行變換把他變?yōu)殡A梯總可經過有限次初總可經過有限次初因為對于任何矩陣因為對于任何矩陣nmA 問題：問題：經過變換矩陣的秩變嗎？經過變換矩陣的秩變嗎？ . ,1 BRARBA 則則若若定定理理初初等等變變換換初等變換求矩陣秩的方法：初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為階梯形矩陣，階把矩陣用初等行變換變成為階梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩.例例4的一個最高階非零子式的一個最高階非零子式秩，并求秩，并求的的求矩陣求矩陣設設AAA,41461351021632305

5、023 梯形矩陣：梯形矩陣：作初等行變換，變成階作初等行變換，變成階對對A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由階梯形矩陣有三個非零行可知由階梯形矩陣有三個非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34

6、rr . 的一個最高階子式的一個最高階子式求求 A , 3)( AR . 3階階的的最最高高階階非非零零子子式式為為知知A階子式共有階子式共有的的 3A . 403534個個 CC階梯形矩陣為階梯形矩陣為的行的行則矩陣則矩陣記記),(),(42154321aaaBaaaaaA 的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，考察考察A 000400140161, 3)( BR的前三行構成的子式的前三行構成的子式計算計算B .3階非零子式階非零子式中必有中必有故故 B.4 個個且共有且共有623502523 1106502523 116522 . 016 則這個子式便是則這個子式便是 的一個最高階非零子式的一個

7、最高階非零子式.A，階階可可逆逆矩矩陣陣設設An , 0 A,AA的的最最高高階階非非零零子子式式為為。nAR )(.為為滿滿秩秩矩矩陣陣，故故稱稱可可逆逆矩矩陣陣可可逆逆矩矩陣陣的的秩秩等等于于階階數數.奇奇異異矩矩陣陣為為降降秩秩矩矩陣陣(2)(2)初等變換法初等變換法1. 矩陣秩的概念矩陣秩的概念2. 求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法(1)(1)利用定義利用定義(把矩陣用初等行變換變成為階梯形矩陣，階梯把矩陣用初等行變換變成為階梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數即尋找矩陣中非零子式的最高階數);?)()(,是是否否相相等等與與為為任任一一實實矩矩陣陣設設ARAARAT 相等相等., 0 x因因為為對對于于任任一一實實向向量量,0時時當當 Ax, 0 AxAT必有必有有有時時反之當反之當,0 AxAT0 AxAxTT 即即 0 AxAxT; 0 Ax由此可知由此可知,00同解同解與與 AxAAxT .ARAART 故故