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1、 東北三省四市2011屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（二） 數(shù)學(xué)（理）試題 命　題：東北三省四市聯(lián)合命制 時間：120分鐘 總分：150分 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第（22）題～第（24）題為選考題，其它題為必考題．考生作答時，將答案答在答題卡及答題紙上，在本試卷上答題無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡（紙）一并交回． 參考公式： 樣本數(shù)據(jù)
，
，
，
的標(biāo)準(zhǔn)差
其中
為樣本平均數(shù) 柱體體積公式
其中
為底面面積，
為高 錐體體積公式
其中
為底面面積，
為高 球的表面積和體積公式
，
其

2、中
為球的半徑 第I卷 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑． （1）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. （2）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則的值為 A. B.C. D. （3）已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則為 A． B． C． D． （4）已知命題：拋物線的準(zhǔn)線方程為；命題：若函數(shù)為偶

3、函數(shù)，則關(guān)于對稱．則下列命題是真命題的是 A．B.C. D. （5）等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為．則“”是“的最小值為，且無最大值”的 開始 定義 輸入精確度 和區(qū)間 是 否 或 是 否 輸出 結(jié)束 圖1 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件 （6）已知圖象不間斷的函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)．圖1是用二分法求方程近似解的程序框圖，判斷框內(nèi)可以填寫的內(nèi)容有如下四個選擇： ①； ②； ③；

4、 ④ 其中能夠正確求出近似解的是（ ） 第2節(jié) ①、③ B．②、③ C．①、④ D．②、④ （7）若展開式中各項系數(shù)之和為32，則該展開式中含的項的系數(shù)為 A. B. C. D. （8）設(shè)函數(shù)，若對于任意的， 都有，則的最小值為 A．4 B．2 C．1 D． （9）在送醫(yī)下鄉(xiāng)活動中，某醫(yī)院安排3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生到三所鄉(xiāng)醫(yī)院工作，每所醫(yī)院至少安排一名醫(yī)生，且女醫(yī)生不安排在同一鄉(xiāng)醫(yī)院工作，則不同的分配方法總數(shù)為 A．78 B．114 C．1

5、08 D. 120 （10）設(shè)，. 若當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． （11）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)的坐標(biāo)、滿足不等式組. 若當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，則的取值范圍是 A. B. C. D. （12）已知函數(shù)，函數(shù)(a>0)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第（13）題～第（21）題為必考題，每個試題考生都必須做答．第（22）題～第（24）題為選考

6、題，考生根據(jù)要求做答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題紙相應(yīng)的位置上． （13）． （14）已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作與軸垂直的直線與雙曲線一個交點(diǎn)為，且，則雙曲線的漸近線方程為． （15）對于命題： 圖2 若是線段上一點(diǎn)，則有 將它類比到平面的情形是： 若是△內(nèi)一點(diǎn)，則有 將它類比到空間的情形應(yīng)該是： 若是四面體內(nèi)一點(diǎn)，則有． （16） 已知一個三棱錐的三視圖如圖2所示，其中俯視圖是頂角為的等腰三角形，則該三棱錐的外接球體積為． 三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （17）（本小題

7、滿分12分） 圖3 如圖3，中， 點(diǎn)在線段上，且 （Ⅰ）求的長； （Ⅱ）求的面積. O 圖4 （18）（本小題滿分12分） 　如圖4，三棱柱中，側(cè)面底面，，且,O為中點(diǎn)． （Ⅰ）在上確定一點(diǎn)，使得平面，并說明理由； （Ⅱ）求二面角的大?。? （19）（本小題滿分12分） 某科考試中，從甲、乙兩個班級各抽取10名同學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，兩班成績的莖葉圖如圖5所示，成績不小于90分為及格． 甲 乙 257 368 58 68 7 8 9 10 89 678 1235 1

8、 （Ⅰ）甲班10名同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差 乙班10名同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差（填“>”，“<”）； （Ⅱ）從兩班10名同學(xué)中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同學(xué)不及格的概率； （Ⅲ）從甲班10人中取一人，乙班10人中取兩人，三人中及格人數(shù)記為X，圖5 求X的分布列和期望． （20）（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若過點(diǎn)(2，0)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)＜ 時，求實數(shù)取值范圍． （

9、21）（本小題滿分12分） 已知． （Ⅰ）已知對于給定區(qū)間，存在使得成立，求證：唯一； （Ⅱ）若，當(dāng)時，比較和大小，并說明理由； （Ⅲ）設(shè)A、B、C是函數(shù)圖象上三個不同的點(diǎn)， 求證：△ABC是鈍角三角形． 請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分. 做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑． （22）（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講 如圖6，直線AB過圓心O，交圓O于A、B，直線AF交圓O于F（不與B重合），直線與圓O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC． 求證：（Ⅰ）；

10、 （Ⅱ）． 圖6 （23）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 平面直角坐標(biāo)系中，將曲線（為參數(shù)）上的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，然后整個圖象向右平移個單位，最后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，的非負(fù)半軸為極軸，建立的極坐標(biāo)中的曲線的方程為，求和公共弦的長度． （24）（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 對于任意實數(shù)和，不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍． 參考答案 說明： 一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比

11、照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則. 二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答末改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分. 三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù). 四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分. 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分． （1）D （2）A （3）A （4）D （5） A （6）C （7）C （8）B （9）B （10）D （11）D （12）A 二、

12、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． （13） （14） （15） + + + = （16） 三、解答題：本大題共共70分. （17）（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）因為，所以.2分 在中，設(shè)， 則由余弦定理可得 ①5分 在和中，由余弦定理可得， ．7分 因為， 所以有，所以 ② 由①②可得，即．9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得的面積為， 所以的面積為．12分 （注：也可以設(shè)，所以，用向量法解決；或者以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法解答；或者過作平行線交延長線于，用正余弦定理解答．具體過程略）

13、 （18）（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）為中點(diǎn)．2分 證法一：取中點(diǎn)，連接．3分 所以可得，所以面面．5分 所以平面．6分 證法二：因為，且Ｏ為 的中點(diǎn)，所以．又由題意可知， 平面平面，交線為， 且平面，所以平面． 以Ｏ為原點(diǎn)，所在直線分別 為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…………1分 由題意可知，又 所以得: 則有：．2分 設(shè)平面的一個法向量為，則有 ，令，得 所以．4分 設(shè) 即，得 所以得由已知平面， 得 ， 即得． 即存在這樣的點(diǎn)，為的中點(diǎn)．6分 （Ⅱ）由法二，已知，設(shè)面的法向量為 m m m ，則， m

14、令，所以．8分 m‖n mn n m 所以＜,＞＝＝＝．10分 由圖可得二面角的大小為．12分 （19）（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）>．2分 （Ⅱ）甲班有4人及格，乙班有5人及格． 事件“從兩班10名同學(xué)中各抽取一人，已知有人及格”記作， 事件“從兩班10名同學(xué)中各抽取一人，乙班同學(xué)不及格”記作， 則．6分 （Ⅲ）X取值為0,1,2,3 ；； ；．10分 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P(X) 所以．12分 （20）（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）由題意知， 所以． 即．2分 又因為，所以，． 故橢圓的方程為．

15、4分 （Ⅱ）由題意知直線的斜率存在. 設(shè)：，，，， 由得. ，.6分 ，. ∵，∴，， . ∵點(diǎn)在橢圓上，∴， ∴.8分 ∵＜，∴，∴ ∴， ∴，∴.10分 ∴，∵，∴， ∴或， ∴實數(shù)取值范圍為.12分 (注意：可設(shè)直線方程為，但需要討論或兩種情況) （21）（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）證明：假設(shè)存在 ， ，即 . 1分 ∵，∴上的單調(diào)增函數(shù)（或者通過復(fù)合函數(shù)單調(diào)性說明的單調(diào)性）. 3分 ∴矛盾，即是唯一的. 4分 （Ⅱ） 原因如下： (法一)設(shè) 則 .5分 ∵.6分 ∴1+， .8分 （法二）設(shè)，則． 由（Ⅰ）

16、知單調(diào)增． 所以當(dāng)即時，有 所以時，單調(diào)減．5分 當(dāng)即時，有 所以時，單調(diào)增．6分 所以，所以．8分 （Ⅲ）證明：設(shè)，因為 ∵上的單調(diào)減函數(shù)．9分 ∴．∵ ∴．10分 ∵ ∴為鈍角. 故△為鈍角三角形．12分 （22）（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講 證明：（Ⅰ）連結(jié)，是直徑， ，． …2分 切圓于，． …4分 ． …………………………5分 （Ⅱ）連結(jié)， 切圓于， ． ……………………………6分 圖6 又∽． …8分 ． …………10分 （23）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：曲線（為參數(shù)）上的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變， 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话氲玫剑?分 然后整個圖象向右平移個單位得到，………………………………2分 最后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到，3分 所以為，4分 又為，即，5分 所以和公共弦所在直線為，7分 所以到距離為， 所以公共弦長為．10分 （24）（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 解：原式等價于，設(shè)， 則原式變?yōu)閷θ我夂愠闪ⅲ?分 因為，最小值為時取到，為．6分 所以有≥解得．10分