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1、課 題：第三章 第2節(jié)圓的對稱性（1） 課 型：新授課 教學目標： 1. 理解圓的對稱性（軸對稱）及有關性質.（重點） 2．理解垂徑定理及推論，并會運用其解決有關問題．(難點) 教法與學法指導： 這節(jié)課主要通過“找圓心”等問題情境激發(fā)學生探究的興趣和熱情，經歷“操作實踐—大膽猜測---綜合證明----靈活應用”的課堂模式，在探究垂徑定理過程中，讓學生領會數學的嚴謹性，并培養(yǎng)學生的數學應用意識，勇于探索的精神. 課前準備：制作課件，學生預習學案. 教學過程： 一、情景導入 明確目標 組織教學：準備，給每一位同學發(fā)放圓形紙片（用化學濾紙）；并提出問題，(問題1) 通

2、過上節(jié)課《車輪為什么是圓形》的學習，認識了圓的基本概念,這是一張圓形紙片,你有什么辦法找出它的圓心呢？ 學生活動 ：學生憑借經驗很容易想到用兩次折疊的方法，找到圓心. [師]：同學們上一節(jié)課,我們學習了圓的基本概念，知道，半徑定圓的大小，圓心定圓的位置.下面，請一位同學到前面演示自己找圓心的過程. 學生演示： [師]：（問題2） 在折疊的過程中，你從中還知道圓具有什么性質? [生1]：老師，圓是對稱圖形，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形. [師]：很好，同學們觀察的很認真，這節(jié)課，我們重點研究圓的軸對稱性，那么，圓的對稱軸是怎樣的直線，有多少條對稱軸？ [生2]：老師，圓的對

3、稱軸是直徑，它有無數條對稱軸. [師]：同學們，這位同學回答的對嗎？ [生3]：不正確，對稱軸應該是直線，而直徑是線段，應該說，對稱軸是直徑所在的直線，或者是過圓心的直線. 教師活動：進行鼓勵表揚并板書，3.2 圓的對稱性（1） 圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條過圓心的直線. 設計意圖：問題可以激發(fā)學生學習數學的興趣，而興趣又是最好的老師.通過設計一連串的問題情境容易引發(fā)學生學習和探究的興趣，在動手操作中既復習圓的意義，又探索到圓的對稱性. 二、自主學習 合作探究： 探究活動一：圓的基本概念 （讓學生注意觀察動畫課件） 學案(問題3)： （1）什么是弦？什么是弧

4、？如何區(qū)別？怎么表示？ （2）弧與弦分別可以分成幾類？它們如何區(qū)分？ 學情預設：可能出現(xiàn)的 情形一：學生看書后能理解弦、弧、優(yōu)弧、劣弧及半圓的意義，但是難以區(qū)別異同，如：弦是線段，弧是曲線段；直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧． 情形二：學生寫出的弧可能重復或遺漏，不能掌握“優(yōu)弧與劣弧成對出現(xiàn)”的規(guī)律. 情形三：優(yōu)弧的表示方法. 以上若學生不能討論總結得出，則需要老師引導得出結論. 學生活動：學生在預習的前提下邊觀察圖形演示邊獨立思考，再在四人小組間交流討論. 教師活動：參與學生的討論，注意收集信息，以便及時補充，然后提問.

5、[生1]： (1)連接圓上任意兩點的線段叫做弦．經過圓心的弦叫直徑. 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧;直徑的兩個端點把圓分成兩個部分，每一部分叫做半圓.大于半圓弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧. [生2]：弦是線段，弧是曲線段.弧的表示方法是在兩個端點上面添加“︵“符號. [生3]：弦分為過圓心的和不過圓心的弦；弧分為劣弧、半圓、優(yōu)弧. [師] 同學們總結的很好，下面，結合圖形加深認識，并思考，你還可以得出什么性質. 教師活動：引導學生，能不能從它們之間的相互關系來比較說明. [生4]：直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧.

6、 [生5]：直徑是圓中最大的弦. 學生活動:整理好筆記. 設計意圖：讓學生帶著問題探究，加強自主探究的針對性，激發(fā)思考與交流，從而真正掌握它們的本質與異同，學會辨證統(tǒng)一、分類討論地解決問題，提高課堂效率. 探究活動二：垂徑定理 （問題4） （1）剛才折出的兩條直徑是怎樣的位置關系？圖中能得出哪些等量關系？ （2）若把AB向上平移到任意位置，成了不是直徑的弦，折疊后猜想：還有與剛才類似的結論嗎？有哪些方法證明你的猜想正確與否？ （3）思考：上述探索過程利用了圓的什么性質？還運用了哪些知識？若只證明AM=BM，還有什么方法？ （4）把上述發(fā)現(xiàn)歸納成文字語言和幾何語言.

7、 學生活動：拿出圓形紙片,將其對折，得到一條折痕CD,在CD上取一點M，作CD的垂線AB,然后再將圓沿CD對折，觀察，得出結論. [生1]：垂直關系；相等的量有，AM=BM, 因為圓沿直線CD對折后，點A與B重合. [生2]： 若只證明AM=BM， 還可以用等腰三角形“三線合一”. 證明：連接OA,OB則OA=OB 又 ∵CD⊥AB ∴AM=BM,CD是線段AB的垂直平分線 ∴點A和點B關于直線CD對稱 ∴ 教師活動:引導學生總結并板書 文字語言和幾何語言： 垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的（兩條）弧． 如圖，在⊙O中，即①

8、②→③④⑤ ① CD是直徑 ③AM=BM， ④ ② CD⊥AB于M ⑤ 設計意圖：用運動變化的觀點體會從特殊到一般研究問題的方法，在折疊中領會定理的證明思路，突出重點、突破難點，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提高學生的概括、總結的語言表達能力. 探究活動三：垂徑定理的推論 議一議： (問題5)同學們，如果把“垂徑定理”中的條件“垂直于弦”與結論“平分于弦”互換，即：①③→②④⑤，結論是否還成立？如果成立，請你說明理由；不成立，請舉反例. 學情預設： 大多數學生會模仿定理畫圖、折疊、推理后認

9、為是成立的，可能有個別學生會持反對意見，引起一番有意義的討論，老師可以適時地引導.當AB與CD是⊙O的直徑時，互相平分，但不一定垂直！只有當弦AB不是直徑時，結論才會成立. [生1]： 成立. ∴OA=OB,AM=BM, ∴ CD⊥AB(三線合一) ∴ [生2]：不一定成立，如圖，當AB是直徑時， CD平分AB，但不垂直AB.只有AB不是直徑時，才成立. [師]： 同學們討論的非常好，做數學就是要求我們思維要嚴謹，注意，條件與圖形的統(tǒng)一及多樣性，多畫圖，多分析，多總結.那么這個推論我們應該怎么說？ 在學生的歸納中，板書. 垂徑定理的推論： 平分弦（不是直徑）的直徑垂直

10、于弦，并且平分弦所對的兩條弧. （問題6）如果我們繼續(xù)交換條件是否能夠②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③？ 學生活動：采取折疊-重合-得出結論成立. 師生共同歸納總結：由 “①直徑、②垂直于弦、③平分弦、④平分優(yōu)弧、⑤平分劣弧”，其中兩個作條件推出另三個結論. 設計意圖：對教材知識進行適當的變式和拓展，讓學生能舉一反三，發(fā)散學生的思維，讓不同層次的學生得到不同的發(fā)展，并體驗數學的嚴謹性和探究的樂趣，感受合作交流的重要性. （問題7）例題分析 例1：如右圖所示，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中弧CD，點O是弧CD的圓心)，其中CD=600m，E為弧CD上一點，且OE⊥CD，垂

11、足為F，EF=90 m．求這段彎路的半徑． 學生活動：觀察示意圖，分析題目的已知和要求的結果，尋求相互關系，然后嘗試獨立解答，在與小組其他同學交流，確定解題思路. 教師活動:與個別學生交流解題思想方法，讓其上黑板板演過程，并說明為什么這樣解答. [生]：解：連接OC，設彎路的半徑是R，則 OF=(R-90))m ∵OE⊥CD ∴CF=CD/2=300m（垂徑定理） 由勾股定理得 OC2=CF2+OF2 即R2=3002+(R-90)2 解得R=545 所以，彎路的半徑是545m. 設計意圖:讓學生在實踐中理解垂徑定理應用，在四個量半徑R、弦CD的長、弦心距OF長、弓形高

12、EF的長中，任已知兩個量可以求出另兩個量.一題多變，多題歸一，探尋規(guī)律，構造直角三角形后通過勾股定理求解，從題海中解脫出來，并培養(yǎng)學生的數學應用意識，體會數學與生活的聯(lián)系. 三、歸納總結，拓展提高 [師]：同學們，我們本節(jié)課學習了垂徑定理及推論，理解了與圓有關的應用，你有收獲，或者是疑慮問題，交流一下. 學生活動：有獨立思考，落筆組織語言的，也有相互討論，交流總結的觀點的，氣氛相當熱烈，各抒己見. [生]：老師，如圖，OC⊥AB，可不可以使用垂徑定理. [師]：可以，這條線（或線段）過圓心，就可以作為直徑使用， 同時，過圓心作弦的垂線是今后解答圓的問題的常用輔助線，在以后的學習中

13、，注意體會和總結. 設計意圖: 用問題形式引導學生回顧總結學習過程，使知識系統(tǒng)化，學會提煉其中蘊含的數學思想方法，且能夠靈活應用；學會自我反思，養(yǎng)成良好的數學學習習慣. 課堂檢測: 1.已知⊙O的半徑為5，弦AB的長為6 ，則這條弦的中點到弦所對劣弧中點的距離為____. 考察知識點：理解垂徑定理的意義，會構造符合定理的基本圖形，來解決問題. 答案提示： 解：過O點作AB的垂線，垂足是D，且與弧AB交于點C,連接OA, ∵OC⊥AB ∴D是AB的中點，C是弧AB的中點， ∴ ∴DC=5-4=1 所以，這條弦的中點到弦所對劣弧中點的距離為1 2.兩個同心圓中，大圓

14、的弦AB交小圓于C、D，若AB=4，CD=2，圓心到AB的距離為l，則大圓的與小圓的半徑之比為____________. 考察知識點：理解垂徑定理的使用，加深認識輔助線“弦心距和半徑”經常是成對構造的，以便構造直角三角形，解決問題. 答案提示： 解： 則大圓的與小圓的半徑之比為 3. 儲油罐的截面如圖所示，裝入一些油后，若油面寬AB=600mm， 求油的最大深度． 考察知識點：主要是檢測垂徑定理在生活中的應用，解決此類問題的關鍵是畫出示意圖，轉化為數學問題解答. 答案提示：由垂徑定理知， 油最大深度=325-125=200（mm） 4．已知：如圖，⊙O 中， A

15、B為 弦，C 為 AB 的中點，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半徑OA. 考察知識點：數學方法的綜合應用，主要是方程知識與圖形解答的結合. 答案提示： 解：設⊙O的半徑為r 在直角三角形AOD中， 所以， ∴r=5cm ∴OA=5cm 學情預設：部分同學可以當堂完成，教師，當堂批改，及時知道學生的解答情況；部分同學需要老師的引導，才能完成解答. 教師活動：通過檢查，關鍵看學生的圖形構造，是否能夠利用半徑和弦心距構造出直角三角形，運用勾股定理解決問題. 設計意圖：通過例題的分析學習，讓學生體會數學學習要善于構造圖形，解決問題;進一

16、步理解，為了應用條件和已有的性質定理，需要添加輔助線來完善圖形，從而培養(yǎng)學生良好的學習習慣. 板書設計： 3.2圓的對稱性（1） 一、圓的對稱性 二、垂徑定理 三、垂徑定理的推論及應用 圓是軸對稱圖形， 垂直于弦的直徑平分這條弦 例題解答 對稱軸是任意一條過 并且平分弦所對的（兩條）弧 圓心的直線， 教學反思： 《圓的對稱性》是一節(jié)操作性較強的課，所以，我在教學中首先創(chuàng)設“找圓心”情境，讓學生感到新穎、有趣同時又注重了垂徑定理及推論的發(fā)生、發(fā)展和應用過程的教學；再以連貫的問題串形式步步深入，層層推進學生思考，有效激活學生思維. 讓學生真正體驗了探索獲取新知的成績感和成功感，同時也達到了培養(yǎng)學生學習主動性和創(chuàng)造性的目的；最后，通過提供有層次的達標檢測題讓學生應用所學解決實際問題.孩子們在解決問題的同時享受到了成功的喜悅，個性得到了彰顯，解決問題的能力也得到了充分的提升，更感受到數學的價值，從而更加熱愛數學學習. 感到課堂不足的地方是，本節(jié)課學生操作和自主學習的時間多，每個環(huán)節(jié)的銜接要流暢，才能在課堂上完成，所以本節(jié)課要提前發(fā)放導學案，才能順利完成課堂教學任務. 8