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1、第五章 測量誤差的基本知識 測量誤差概述 評定精度的指標(biāo) 誤差傳播定律 等精度直接觀測平差 不等精度直接觀測平差第一節(jié)第一節(jié) 測量誤差概述測量誤差概述一、測量誤差及其來源一、測量誤差及其來源1 1、測量誤差、測量誤差測測量量人人員員的的主主要要任任務(wù)務(wù):觀觀測測、記記錄錄計(jì)計(jì)算算、數(shù)據(jù)處理分析。數(shù)據(jù)處理分析。測量誤差總是存在的。測量誤差總是存在的。真值和真誤差真值和真誤差真誤差真誤差:觀測值觀測值L L 與與 真值真值X X 之間的差值，用之間的差值，用 表示。表示。真值：真值：代表觀測值代表觀測值L L 真正大小的數(shù)值，用真正大小的數(shù)值，用 X X 表示。表示。一般情況下，一般情況下，很難求

2、得。很難求得。當(dāng)觀測值中只有偶然誤差時(shí)，當(dāng)觀測值中只有偶然誤差時(shí)，E E(L L)=)=X X。=L L-X X不等精度觀測不等精度觀測:觀測條件不同的各次觀測，其結(jié)果具有不同精度。觀測條件不同的各次觀測，其結(jié)果具有不同精度。等精度觀測等精度觀測:觀測條件相同的各次觀測，其結(jié)果具有相同精度。觀測條件相同的各次觀測，其結(jié)果具有相同精度。2 2、測量誤差的來源測量誤差的來源觀觀測測條條件件觀測者觀測者儀器（工具）儀器（工具）外界條件外界條件二、測量誤差的分類二、測量誤差的分類1 1、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差(Systematic Errors)(Systematic Errors)2 2、偶然誤差偶然誤差

3、(Random Errors)(Random Errors)粗差粗差(blunders)(blunders)系統(tǒng)誤差是可以被消除和減弱的。系統(tǒng)誤差是可以被消除和減弱的。整體上遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性；整體上遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性；數(shù)學(xué)上又稱隨機(jī)誤差。數(shù)學(xué)上又稱隨機(jī)誤差。有限性：有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會(huì)超過一定的限值；值不會(huì)超過一定的限值；抵抵償償性性：當(dāng)當(dāng)觀觀測測次次數(shù)數(shù)無無限限增增多多時(shí)時(shí)，偶偶然然誤誤差差的的算算術(shù)平均值趨近于零。即術(shù)平均值趨近于零。即 集中性：集中性：絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出

4、現(xiàn)的概率大；出現(xiàn)的概率大；對稱性：對稱性：絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；率相同；其中其中 偶然誤差的四個(gè)特性偶然誤差的四個(gè)特性本本 節(jié)節(jié) 小小 結(jié)結(jié)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差偶然誤差偶然誤差4個(gè)特性個(gè)特性測量誤差測量誤差第二節(jié)第二節(jié) 評定精度的指標(biāo)評定精度的指標(biāo)一、中誤差一、中誤差1 1、定義、定義標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差中誤差中誤差 在一定的觀測條件下，標(biāo)準(zhǔn)差是一個(gè)固定的常數(shù)；在一定的觀測條件下，標(biāo)準(zhǔn)差是一個(gè)固定的常數(shù)；中誤差則是隨著觀測次數(shù)的多少及讀取的觀測值大小中誤差則是隨著觀測次數(shù)的多少及讀取的觀測值大小而改變的隨機(jī)變量，當(dāng)觀測次數(shù)逐漸增大時(shí)，中誤差逐而改變的隨

5、機(jī)變量，當(dāng)觀測次數(shù)逐漸增大時(shí)，中誤差逐漸趨近于標(biāo)準(zhǔn)差。漸趨近于標(biāo)準(zhǔn)差。反映一組誤差反映一組誤差離散程度離散程度的指標(biāo)。的指標(biāo)。二、相對誤差二、相對誤差【例例】分別丈量了分別丈量了100m100m及及200m200m的兩段距離，觀測的兩段距離，觀測值的中誤差均為值的中誤差均為2cm2cm，試比較兩者的觀測成果質(zhì)，試比較兩者的觀測成果質(zhì)量。量。觀測值的觀測值的相對誤差相對誤差K K :中誤差的絕對值與觀測值中誤差的絕對值與觀測值之比之比，用分子為用分子為1 1表示。表示。三、容許誤差三、容許誤差1 1、極限誤差、極限誤差2 2、容許誤差、容許誤差本本 節(jié)節(jié) 小小 結(jié)結(jié)中誤差中誤差容許誤差容許誤差相

6、對誤差相對誤差衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)第三節(jié)第三節(jié) 誤差傳播定律誤差傳播定律一、誤差傳播定律一、誤差傳播定律1 1、定義：說明觀測值的中誤差與其函數(shù)的中誤、定義：說明觀測值的中誤差與其函數(shù)的中誤差之間關(guān)系的定律。差之間關(guān)系的定律。h=a-bmh=?3 3、總結(jié)求解步驟、總結(jié)求解步驟（2 2）求出真誤差關(guān)系式。求出真誤差關(guān)系式。（3 3）求出中誤差關(guān)系式求出中誤差關(guān)系式（1 1）列出獨(dú)立觀測量的函數(shù)式：列出獨(dú)立觀測量的函數(shù)式：對函數(shù)式進(jìn)行全微分，系數(shù)對函數(shù)式進(jìn)行全微分，系數(shù) 均為常數(shù)均為常數(shù)常用函數(shù)的中誤差公式常用函數(shù)的中誤差公式 倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù)和差函數(shù) 線性函數(shù)線性函數(shù)【例例5

7、-25-2】在比例尺為在比例尺為1 1：500500的地形圖上，量得兩的地形圖上，量得兩點(diǎn)的長度為點(diǎn)的長度為d d=23.4 mm=23.4 mm，其中誤差，其中誤差m md d=0.2 mm0.2 mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離D D 及其中誤差及其中誤差m mD D。解：函數(shù)關(guān)系式解：函數(shù)關(guān)系式:D D=MdMd兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為11.7 m11.7 m0.1 m0.1 m。二、誤差傳播定律的應(yīng)用二、誤差傳播定律的應(yīng)用【例例5-55-5】圖根水準(zhǔn)測量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的圖根水準(zhǔn)測量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為中誤差為m mi i=2 mm2 m

8、m，假定視距平均長度為，假定視距平均長度為50 m50 m，若以若以3 3倍中誤差為容許誤差，試求在測段長度為倍中誤差為容許誤差，試求在測段長度為L L kmkm的水準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測量往返測所得高差閉的水準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測量往返測所得高差閉合差的容許值。合差的容許值。解：解：用用DJ6DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測測4 4個(gè)測回取平均，可使得三角形閉合差個(gè)測回取平均，可使得三角形閉合差 m m1515 。例例5-6 5-6 要求三角形最大閉合差要求三角形最大閉合差m m1515，問用，問用DJ6DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測回？經(jīng)

9、緯儀觀測三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測回？=(=(1 1+2 2+3 3)-180)-180 解：由題意：解：由題意：2m=2m=1515,則則 m=m=7.57.5 每個(gè)角的測角中誤差：每個(gè)角的測角中誤差：由于由于DJ6DJ6一測回角度中誤差為：一測回角度中誤差為：由角度測量由角度測量n n測回測回取平均值的中誤差公式：取平均值的中誤差公式：本本 節(jié)節(jié) 小小 結(jié)結(jié)2 2、求出真誤差關(guān)系式。、求出真誤差關(guān)系式。3 3、求出中誤差關(guān)系式。、求出中誤差關(guān)系式。1 1、列出獨(dú)立觀測量的函數(shù)式：、列出獨(dú)立觀測量的函數(shù)式：對函數(shù)式進(jìn)行全微分，系數(shù)對函數(shù)式進(jìn)行全微分，系數(shù) 均為常數(shù)均為常數(shù)誤差傳播定律誤差傳播

10、定律一、等精度觀測值的最或然值一、等精度觀測值的最或然值設(shè)對某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測，觀測值分設(shè)對某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測，觀測值分別為別為L L1 1，L L 2 2，L Ln n，該量的真值設(shè)為，該量的真值設(shè)為X X，各觀測，各觀測值的真誤差為值的真誤差為1 1，2 2，n n。i i=L Li i-X X （i i=1=1，2 2，n n）第四節(jié)第四節(jié) 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差將各式取和再除以次數(shù)將各式取和再除以次數(shù)n n 當(dāng)當(dāng)觀測次數(shù)無限多時(shí)，觀測值的算術(shù)平均值就是該觀測次數(shù)無限多時(shí)，觀測值的算術(shù)平均值就是該 量的真值；量的真值；當(dāng)當(dāng)觀測次數(shù)有限時(shí)，觀測值的觀測次數(shù)

11、有限時(shí)，觀測值的算術(shù)平均算術(shù)平均 值最接近真值值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是。所以，算術(shù)平均值是最或是值。最或是值。二、評定精度二、評定精度1 1、觀測值的中誤差、觀測值的中誤差（適用于真值已知的情況）（適用于真值已知的情況）由真誤差計(jì)算由真誤差計(jì)算由改正數(shù)計(jì)算由改正數(shù)計(jì)算改正數(shù)的特性改正數(shù)的特性:改正數(shù)的定義改正數(shù)的定義:2 2、最或然值的中誤差、最或然值的中誤差一組等精度觀測值為一組等精度觀測值為L L1 1、L L2 2、L Ln n，其中誤差均相，其中誤差均相同，設(shè)為同，設(shè)為m m，最或然值，最或然值x x即為各觀測值的算術(shù)平均即為各觀測值的算術(shù)平均值。則有值。則有算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差M:M:本本 節(jié)節(jié) 小小 結(jié)結(jié)等精度直接觀測值的最或然值等精度直接觀測值的最或然值各觀測值的算術(shù)平均值。各觀測值的算術(shù)平均值。算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差M:M: