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1、1.1 矢 量 、 矩 陣 與 張 量 ii iaaaa eeeea 31332211 x3 x1 x2e3 e2e1 直 角 坐 標 系 的 基 矢 量 iia ea x3x1 x2a1a 2a3a 矢 量 的 分 量 Einstein求 和 約 定 iia ea 在 式 子 中 的 一 項 內(nèi) ， 若 出 現(xiàn) 了 重 復 腳 標 ， 則 表 示 該 項 關(guān) 于 這 一腳 標 對 1、 2、 3求 和 ， 而 勿 須 再 寫 出 求 和 記 號 啞 標 : 求 和 約 定 中 的 重 復 腳 標啞 標 可 以 用 其 它 的 字 母 代 替 ， 只 要 該 字 母 在 本 項 中沒 有 出

2、現(xiàn) 過 就 行 jjii aa eea kmmkjj cbacba 啞 標 在 同 一 項 中 只 能 重 復 一 次 iii cba iii i cba31 矢 量 的 代 數(shù) 運 算 (1) 加 法 iiiiiiiii cbaba eeeebac )(2) 數(shù) 乘 jjjj bb eeba )()( (3) 數(shù) 積 332211 bababababa iijjii )()( eeba )( )( ji jiji 01ee 332211 bababababa iijjii )()( eeba K ronecker記 號 ij )( )( ji jiij 01 cos baba 1332211

3、 0311332232112 iijiijjijijjii babababa )()()( eeeeba ijij aa jiij aa 自 由 指 標 : 不 重 復 的 腳 標 對 于 一 個 包 含 多 項 的 式 子 而 言 ， 每 項 的 自 由 指 標 應 該 相 同 對 于 方 程 而 言 ， 等 號 兩 端 的 自 由 指 標 應 該 相 同 ikikmim aaBbA ikjkmim aaBbA ikikmimi aaBxAx imimj axAx 若 方 程 包 含 了 一 個 自 由 指 標 ， 就 意 味 著 有 三 個 方 程 111 axAx mm 222 axAx

4、 mm 333 axAx mm imimi axAx (4) 矢 積 c b a 123312231213132321 321 321 321 eeeeee eeebac babababababa bbb aaa c的 模 就 是 a和 b所 張 成 的 平 行 四 邊 形 的 面 積 1. a、 b和 e的 腳 標 一 定 是 1、 2、 3的 一 個 排 列 ， 在 同 一 項 內(nèi) ， 不 會 重 復 出 現(xiàn) 1、 2、3中 的 任 何 一 個 數(shù) 。2. 當 a、 b和 e的 腳 標 是 123這 個 自 然 順 序 的 一 個 偶 排 列 （ 即 123， 231， 312）時 ， 該

5、 項 取 正 號 。3. 當 a、 b和 e的 腳 標 是 123這 個 自 然 順 序 的 一 個 奇 排 列 （ 即 132， 213， 321）時 ， 該 項 取 負 號 。 )(0 )123(1 )123(1 有 兩 個 值 相 等 時當 的 奇 排 列 時是當 的 偶 排 列 時是當 ijkijkijkijk置 換 符 號 kijjkiijk kjiikjjikijk 123是 偶 排 列 ；當 一 個 排 列 從 123開 始 交 換 相 鄰 兩 個 數(shù) 的 位 置 ，若 需 要 交 換 奇 數(shù) 次 則 該 排 列 是 奇 排 列 ， 交 換 偶數(shù) 次 則 是 偶 排 列 。方 法

6、 一 ：方 法 二 ：偶 排 列 與 奇 排 列 ： 死 記 硬 背偶 排 列 : 123， 231， 312奇 排 列 : 132， 213， 321方 法 三 ： 32 1偶 排 列 奇 排 列 kjiijkjjii baba eeebac )()( kijkji eee abba abba (5) 混 合 積 )( cbacba ， acb三 個 矢 量 的 混 合 積 如 果 a、 b、 c的 空 間 位 置 順 序 服從 右 手 螺 旋 法 則 ， 那 么 混 合 積 的 幾何 意 義 就 是 由 a、 b、 c所 張 成 的 平行 六 面 體 的 體 積 kjiijkkjijki

7、kjiiljkllkjjklii kkjjii cbacba cbacba cba )( ee eeecba ， bacacbcba ， bcaabccabcba ， 例 :導 出 Kronecker符 號 與 置 換 符 號 間 的 運 算 關(guān) 系 。1333231 232221 131211 kji kji kjiijk 333 222 111 rkrjri qkqjqi pkpjpiijkpqr 例 1.5 證 明 jminjnimmnkijk kkknkm jkjnjm ikinimmnkijk ikjnkminjmkkjkknimjkinkmikknjmjnimkkmnkijk ik

8、jnkminjmjkknimjkinkmikknjmjnim 33 jnmiinjmnjiminmjnijmjnim 33 3kk niikkn 小 結(jié) ： iia ea Einstein求 和 約 定 K ronecker記 號 )( )( ji jiij 01 )(0 )123(1 )123(1 有 兩 個 值 相 等 時當 的 奇 排 列 時是當 的 偶 排 列 時是當 ijkijkijk ijk置 換 符 號 自 由 標 ， 啞 標 1.2 場 論 概 要如 果 一 種 物 理 量 在 某 個 空 間 區(qū) 域 中 的 每 一 點 都有 確 定 的 值 ， 就 稱 這 個 空 間 區(qū) 域

9、 上 定 義 著 該 物理 量 的 場 。 數(shù) 量 場 : 溫 度 場 、 電 位 場 等矢 量 場 : 速 度 場 、 力 場 等 1. 梯 度 （ gradient）若 在 數(shù) 量 場 中 的 一 點 M處 存 在 著 矢 量 g， 其 方 向 為 M點 處 函 數(shù) 變化 率 最 大 的 方 向 ， 其 模 為 這 個 最 大 變 化 率 的 數(shù) 值 ， 則 稱 g為 這 個函 數(shù) 在 M點 處 的 梯 度 gradg gradg 稱 為 Hamilton算 符 1 2 31 2 3 iix x x x e e e e若 某 個 函 數(shù) 對 坐 標 xi取 偏 微 分 ， 則 簡 記 為

10、(.),i iieg ， 方 向 導 數(shù) 1 2 31 2 3cos cos cosi inn x x x n ， 2. 散 度 （ divergence） SvvvSnvS SS iiS dcoscoscosdd 332211 )( nv稱 為 矢 量 v在 S上 的 通 量 SvvvS SS dcoscoscosd 332211 )( nv )( 213132321 dddddd xxvxxvxxvS Gauss公 式 (奧 高 公 式 ， 或 奧 式 公 式 )：通 量 散 度 V d d VdivSnuS u 物 理 意 義 : 若 div u 0 則 表 示 在 該 點 處 有 “

11、源 ” 若 div u = 0 則 表 示 在 該 點 處 無 “ 源 ” 無 “ 匯 ” 其 大 小 表 示 “ 源 ” 和 “ 匯 ” 的 強 度 與 坐 標 系 無 關(guān) 332211div xuxuxuu ii ，uu n dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR )()()( RdzQdyPdx 3. 旋 度 （ rotation）Stokes公 式 ： 設 為 分 段 光 滑 的 空 間 有 向 閉 曲 線 ,是 以為 邊 界 的 分 片 光 滑 的 有 向 曲 面 , 的 正 向 與 法 線 符 合 右 手 規(guī) 則 ,函 數(shù) ),( zyxP , ),( zyxQ),( z

12、yxR 在 包 含 曲 面 在 內(nèi) 的 一 個 空 間 區(qū) 域 內(nèi)具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導 數(shù) , 則 有 公 式 的 nL S對 于 矢 量 場 u， 稱 為 沿 L的 環(huán) 量 。 若 L為 某 一 曲 面 S的 邊 界 ，曲 面 S的 法 線 單 位 矢 量 為 n， 而 且曲 線 L的 走 向 與 n滿 足 右 手 法 則 ，則 根 據(jù) Stokes公 式 ， 有 ：3 32 1 2 1 2 3 3 1 1 22 3 3 1 1 21 2 31 2 3S 1 2 3 = ( ) ( ) ( )e e eL Su t dLu uu u u udx dx dx dx dx dxx x

13、x x x xdSx x xu u u LL d tuL L d tu 物 理 意 義 ： 旋 度 是 用 來 描 述 一 個 旋 渦 源 (vortex source)的 旋 渦 流 強 度 的 ， 而 所 謂 的 旋 渦 源 (vortex source)就 是 一 個 能 在 其 周 圍 造 成 一 個 “ 環(huán) ” (即 ：環(huán) 量 u.tdL) 的 流 源 。 因 此 為 了 描 述 此 旋 渦 源的 強 度 ， 定 義 : 單 位 面 積 的 最 大 環(huán) 量 稱 作 旋 度 , 其 方 向 為 此 環(huán) 所 為 的 面 的 法 向 量 。1 2 31 2 31 2 3e e e u =

14、u = rot x x xu u u 令 ： 小 節(jié) ：梯 度 ：散 度 ：旋 度 ： grad u u div u u rot u u 1 2 31 2 3( , , )( , , )x x xu u u u 并 積數(shù) 積矢 積 矩 陣 ： 方 陣 ： 行 數(shù) 列 數(shù) ； 矩 陣 的 轉(zhuǎn) 置 ： 將 m n的 矩 陣 A的 行 列 互 換 ， 得 到n m的 新 矩 陣 ， 稱 作 A的 轉(zhuǎn) 置 ， 記 為 AT； 列 矩 陣 ： 只 有 一 列 的 矩 陣 ； 行 矩 陣 ： 列 矩 陣 的 轉(zhuǎn) 置 ； 1 11 12 12 21 22 21 2 nnn n n nna A A Aa A

15、A Aa A A A a A 對 稱 矩 陣 ： 對 于 方 陣 A， 有 A=AT； 反 對 稱 矩 陣 ： 若 AT = A； 對 角 陣 ： 方 陣 A的 主 對 角 線 上 有 非 零 元 素 ， 其 余 元 素 均 為 零 ，記 為 A=diag（ A11, A22, , Ann） ； 單 位 陣 ： 對 角 線 元 素 全 為 1的 對 角 陣 ， 記 為 I；矩 陣 的 加 法 分 解 ： 任 意 方 陣 A都 可 以 分 解 為 一 個 對 稱 矩 陣和 一 個 反 對 稱 矩 陣 的 和 。 T T1 1( ) ( )2 2 A A A A AT1( )2 D A A T1(

16、 )2 W A A令 ： 逆 矩 陣 ： 對 于 方 陣 A， 若 存 在 方 陣 B， 使 AB = BA = I， 則稱 B是 A的 逆 矩 陣 ， 記 為 B = A 1 逆 矩 陣 存 在 的 充 要 條 件 是 |A|0 克 萊 默 法 則 ： A-1=A*/|A|其 中 ： 伴 隨 矩 陣 , 余 子 式 ： 代 數(shù) 余 子 式 ： =(-1) i+j余 子 式* * * * * * * *11 12 121 22 21 2A nnn n nnA A AA A AA A A 11 12 1 121 22 2 21 21 2 j nj ni i ij inn n nj nnA A A

17、 AA A A AA A A AA A A A *ijA 關(guān) 于 轉(zhuǎn) 置 和 逆 的 計 算 規(guī) 則 :轉(zhuǎn) 置 :逆 : ( )A A T T ( )T T T A B A B( )T T TAB B A 1 11( ) A A 1 1 1( ) AB B A 正 交 矩 陣 ： 對 于 方 陣 A， 若 有 A 1 AT， 則 稱 A是 正 交 矩 陣 例 1.15 如 圖 1.12， 平 面 直 角 坐 標 系 繞 原 點 O旋 轉(zhuǎn) 一 角 度 形 成新 坐 標 系 ， 導 出 其 坐 標 變 換 矩 陣 M， 并 說 明 M是 正 交 矩 陣 。 2x 2x2e 1e 1x 1x圖 1.

18、12 平 面 直 角 坐 標 變 換 解 ： 由 圖 1.12易 得 ， 新 坐 標 系 的 單 位 矢 量 即 上 式 可 簡 記 為 和 易 于 證 明 ， M滿 足 條 件 ， 故 M是 正 交 矩陣 。 M還 可 表 示 為1 1 22 1 2cos sinsin cos e e ee e e 2121 cossin sincos eeee 2121 eeee M TM)()( 2121 eeee ) )M 2212 21112212 2111 cos(cos( cos(cos( eeee eeeeeeee eeee ， ， TMM 1 在 三 維 情 況 下 321321 eeeee

19、e M TM)()( 321321 eeeeee ) ) )M 332313 322212 312111332313 322212 312111 cos(cos(cos( cos(cos(cos( cos(cos(cos( eeeeee eeeeee eeeeeeeeeeee eeeeee eeeeee ， ， ，其 中可 以 證 明 ： TM M ITMM I 3x 2x 2x 1x1x3x若 反 過 來 考 慮 ， 坐 標 變 換 是 1 2 3 1 2 3( ) ( ) e e e e e e則 存 在 ： 1 1*2 23 3M e ee ee e cos( ) cos( ) cos(

20、 )cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3e e e e e e e e e e e e= e e e e e e = e e e e e ee e e e e e e e e e e e *M ， ， ， ， ， ， ，比 較 可 以 看 出 ， M*=MT而 推 導 可 以 得 到 ， M*=M-1 MT M-1坐 標 變 化 矩 陣 M是 正 交 矩 陣 同 理 ， 一 個 正 交 矩 陣 必 對 應 一 個

21、坐 標 變 換 。detM 1 0 （ a） 若 繞 過 原 點 的 某 軸 的 一 個 旋 轉(zhuǎn)detM 1 0 （ b） 若 (1)繞 過 原 點 的 某 軸 的 一 個 旋 轉(zhuǎn) ;(2)對 某 個 軸 的 反 射 ,右 手 系 的 原 坐標 系 改 換 為 左 手 系 ; 3x 2x 2x 1x1x3x 3x 2x2x 1x1x3x(a) 右 手 系 保 持 為 右 手 系 (b) 右 手 系 改 換 為 左 手 系 對 于 方 陣 A， 若 存 在 著 數(shù) 和 非 零 向 量 b， 使 矩 陣 的 特 征 值 bAb 成 立 ， 則 稱 是 方 陣 A的 特 征 值 ， 稱 b是 A的

22、特 征 向 量 。 求 解 方 法 ： bAb ( ) A I b 0det(A I) 0 特 征 方 程 ： 對 于 三 階 方 陣 A， 其 特 征 方 程 為 0det( 333231 232221 131211 AAA AAA AAAI)A 23322113 )( AAA 0 333231 232221 1312113331 13113332 23222221 1211 AAA AAA AAAAA AAAA AAAA AA 展 開 得 : 332211AI AAAAii 3331 13113332 23222221 1211AII AA AAAA AAAA AA AdetIIIA 0I

23、IIIII AA2A3 特 征 方 程 可 記 為 : 在 A的 特 征 值 求 得 后 ， 將 其 代 入 特 征 方 程 ， 即 得 ： 0bI)(A 000321333231 232221 131211 bbbAAA AAA AAA 特 征 向 量 b就 是 上 述 齊 次 方 程 的 非 零 解 。 當 A是 對 稱 矩 陣 時 ， 有 如 下 定 理 成 立 ： A的 特 征 值 均 為 實 數(shù) 。 對 應 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 相 互 正 交 。 若 是 特 征 方 程 的 m重 根 ， 則 相 應 的 齊 次 方 程 一 定 存 在 著m個 線 性 無 關(guān)

24、的 非 零 解 ， 并 可 由 此 而 導 出 m個 相 互 正 交 的 特 征 向 量 。 例 1.18 求 A的 特 征 值 和 特 征 方 向 。 0A 0 0a aa aa a )( 0a解 ： 特 征 方 程 為 : 02 2 )( aaaa aa aa 故 特 征 值 a2 1 a 32 將 特 征 值 依 次 代 入 線 性 齊 次 方 程 組 ， 對 應 于 的 方 程 為 000222 321bbbaaa aaa aaa a21 可 取 其 解 為 : T)(b )( 1111 對 應 于 ， 齊 次 方 程 組 為 a 32 000321bbbaaa aaa aaa 000

25、000 000 111 321bbb可 求 得 其 基 礎 解 系 為 T)(p )( 0112 T)(p )( 1013 b(2) = p(2)p(3)b(3) b(1)圖 1.15 特 征 向 量注 意 這 樣 得 到 的 特 征 方 向 ， 一 定 有 b(1)與 p(2)正 交 ， b(1)與 p(3)正 交 。 雖 然 p(2)與 p(3)不 一 定 正 交 ， 但 兩 者 構(gòu) 成 基礎 解 系 的 兩 個 基 ， 因 而 線 性 無 關(guān) 。 這 兩 個 向 量 的 線 性組 合 的 全 體 張 成 了 與 b(1)正 交 的 平 面 （ 如 圖 1.15） ，這 個 平 面 上 的

26、 任 意 不 重 合 的 兩 個 方 向 都 可 構(gòu) 成 對 應 于 2和 3的 主 方 向 。 如 果 要 取 三 個 兩 兩 正 交 的 方 向 ，那 么 ， 可 根 據(jù) b(1)和 p(2)的 方 向 將 p(3)正 交 化 。 Kronecker符 號正 交 化 ： T)(b )( 1111 T)(b )( 0112 T)(b )( 2113 T)(n )( 111311 T)(n )( 011212 T)(n )( 211613 單 位 化 ：對 于 正 交 且 單 位 化 了 的 特 征 向 量 ： ( ) ( ) 1 ( )n n 0 ( )i T j ij i ji j jij

27、jTij )()( nn jijjTi )()( Ann 對 于 k階 對 稱 方 陣 A )nnnA()nnn( )()()()()()( kkTk 212121 diag( (1) 1(2) (1) (2) (3) 2(3) 3nn A n n nn 對 于 三 階 方 陣 A 321 AMMT(1) (2) (3)n n n M 對 于 三 階 對 稱 矩 陣 A， 一 定 存 在 著 一 個 坐 標 變 換 ， 使 得 A在 變 換 后 的 坐 標 系 下 成 為 一 個 對 角 陣 ， 其 對 角 線 元 素 就 是 A的 特 征 值 ， 新 坐 標 系 的 坐 標 方 向 就 是

28、對 應 的 特 征 方 向 。 這 個 坐 標 變 換 矩 陣 的 列 向 量 就 是 特 征 向 量 。 在 A的 特 征 值 是 互 不 相 等 的 情 況 下 ， 三 個 特 征 方 向 是 完 全 確 定的 ， 并 兩 兩 正 交 。在 A的 特 征 值 有 一 個 二 重 根 的 情 況 下 ， 例 如 時 ，對 應 于 的 特 征 方 向 是 確 定 的 。 而 在 垂 直 于 平 面 內(nèi) 的 任意 方 向 都 是 對 應 于 或 的 特 征 方 向 。 當 然 能 夠 在 這 個 平 面 內(nèi)找 到 兩 個 方 向 和 ， 使 、 和 兩 兩 正 交 。當 且 僅 當 矩 陣 A具

29、 有 的 形 式 時 ， A的 特 征 值 只 有 一 個 ， 它 就是 三 重 根 。 在 這 種 情 況 下 ， 對 于 任 意 的 坐 標 變 換 矩 陣 M， 其 結(jié) 果 仍 然 具 有 的 形 式 。 因 此 可 以 說 ， 任 何 方 向 都 是 A的特 征 方 向 ， 當 然 也 存 在 著 三 個 兩 兩 正 交 的 特 征 方 向 。 132 1 )(n 1)(n 12 3 )(n 2)(n 3)(n 1)(n 2 )(n 3I IMMMIMMAM TTT I 正 定 矩 陣 ：若 對 于 任 意 的 非 零 向 量 b， 恒 有 bTAb0， 則 稱A為 正 定 矩 陣 。

30、 可 以 證 明 ， 對 稱 矩 陣 A為 正 定 矩陣 的 充 要 條 件 是 A的 所 有 特 征 值 均 為 正 數(shù) 。 jjii aa eea kmmkjj cbacba 一 種 常 用 的 計 算 技 巧 iii cba iii i cba31 Einstein求 和 約 定 ： 31 1 2 2 3 3 1 i i i iia a a a a a e e e e e在 式 子 中 的 一 項 內(nèi) ， 若 出 現(xiàn) 了 重 復 腳 標 ， 則 表 示 該 項 關(guān) 于 這 一腳 標 對 1、 2、 3求 和 ， 而 勿 須 再 寫 出 求 和 記 號 。 如 果 有 時 需 要 使 用

31、同 一 個 腳 標 但 不 表 示 求 和 ， 則 在 該 腳 標 下 加 一 橫線 ， 如 ， 就 只 表 示 a和 b的 第 m個 分 量 的 乘 積 。 mmba求 和 約 定 中 的 重 復 腳 標 稱 為 啞 標 。 由 于 啞 標 并 未 限 定 用 哪 些 字 母 ，因 此 ， 啞 標 可 以 用 其 它 的 字 母 代 替 ， 只 要 該 字 母 在 本 項 中 沒 有 出 現(xiàn)過 就 行 。 啞 標 在 同 一 項 中 只 能 重 復 一 次 11 1 1 12 1 2 13 1 3 21 2 1 22 2 2ij i jab ab ab ab a b a b 例 ： 23 2

32、 3 31 3 1 32 3 2 33 3 3a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3i iab a b a bab 不 重 復 的 腳 標 稱 為 自 由 指 標 。 第 一 ， 它 指 1， 2， 3中 是 i 的 那 一 個 。對 于 一 個 包 含 多 項 的 式 子 而 言 ， 每 項 的 自 由 指 標 應 該 相 同 。例 如 就 是 允 許 出 現(xiàn) 的 表 達 式 ， 而 就 是 不 正 確 的 表 達 式 。 ikikmim aaBbA ikjkmim aaBbA 第 二 ， 它 指 1， 2， 3中 的 每 一 個 。對 于 方 程 而 言 ， 等 號 兩 端

33、 的 自 由 指 標 應 該 相 同 ， 例 如 ， 就是 允 許 出 現(xiàn) 的 代 數(shù) 方 程 ， 而 就 是 不 正 確 的 。 ikikmimi aaBxAx imimj axAx 若 方 程 包 含 了 一 個 自 由 指 標 ， 那 么 這 個 方 程 就 表 示 了 三 個方 程 ， 而 不 必 在 方 程 后 再 加 注 i =1， 2， 3 的 字 樣 。 例 如 ， 就 表 示 了 如 下 的 三 個 方 程 ： imimi axAx 111 axAx mm 222 axAx mm 333 axAx mm 321 321 321 bbb aaa eeebac 123312231

34、213132321 eeeeee babababababa 第 一 ， a、 b和 e的 腳 標 一 定 是 1、 2、 3的 一 個 排 列 ， 也 就 是 說 ， 在同 一 項 內(nèi) ， 不 會 重 復 出 現(xiàn) 1、 2、 3中 的 任 何 一 個 數(shù) 。第 二 ， 當 a、 b和 e的 腳 標 是 123這 個 自 然 順 序 的 一 個 偶 排 列 （ 即 123，231， 312） 時 ， 該 項 取 正 號 。第 三 ， 當 a、 b和 e的 腳 標 是 123這 個 自 然 順 序 的 一 個 奇 排 列 （ 即 132，213， 321） 時 ， 該 項 取 負 號 。1 ( 1

35、23 )1 ( 123 ) 0 ( )ijk ijkijkijk 當 是 的 偶 排 列 時當 是 的 奇 排 列 時當 有 兩 個 值 相 等 時置 換 符 號 : 偶 排 列 與 奇 排 列 ： 123是 偶 排 列 ；當 一 個 排 列 從 123開 始 交 換 相 鄰 兩 個 數(shù) 的 位 置 ，若 需 要 交 換 奇 數(shù) 次 則 該 排 列 是 奇 排 列 ， 交 換 偶數(shù) 次 則 是 偶 排 列 。方 法 一 ：方 法 二 ： 1 32偶 排 列 奇 排 列 1 2 31 2 31 2 3 ijk i j ka a a abeb b b e e ea b or ij i j i i

36、j jab ab a b a b kijjkiijk kjiikjjikijk kijkji eee 作 業(yè) ：P46 1.4， 1.5， 1.10 1.3 張 量標 量 矢 量 張 量數(shù) 量 矢 量 “ 方 向 ”數(shù) 量 方 向 1.3.1 矢 量 的 坐 標 變 換 式平 移 旋 轉(zhuǎn) 反 射3x 3x 3x3x 3x 3x2x 2x 2x1x 1x 1x2x 2x 2x1x 1x 1x ) ) )M 332313 322212 312111332313 322212 312111 cos(cos(cos( cos(cos(cos( cos(cos(cos( eeeeee eeeeee ee

37、eeeeeeeeee eeeeee eeeeee ， ， ， 321321 eeeeee M TM)()( 321321 eeeeee b)(b)( 321321 eeeeeeb b)(bM)(b)( 321321321 eeeeeeeeeb TbMb T jjii bMb Mbb jiji bMb 梯 度 ： grad u u若 u是 標 量 ， 是 矢 量 ；若 u是 矢 量 ， 是 ？ ？ 。uu如 ： 2222112221 2 eev )()( xxxxx 111 2xxv 212 xxv 221 4xxv 2122 2xxxv 定 義 ： 基 矢 量 ei和 ej可 作 并 積 ，

38、而 形 成 二 階 單 位 并 矢 量 eiej 2221122212111 242 eeeeeeeev )( xxxxx 21212 2121 242 eeeev xxx xx)( 在 三 維 空 間 中 ， 二 階 單 位 并 矢 量 有 九 個 。 一 般 地 ， 九 個 二 階單 位 并 矢 量 的 線 性 組 合 A可 記 為 ： 11 12 13 11 2 3 21 22 23 231 32 33 31 2 3 1 2 3( ) ( )A( )ij i j TA A AA A A AA A A eA ee e e e eee e e e e e 321333231 232221 1

39、31211321 eeeeeeeeA AAA AAA AAAA jiij )( T)(A)( 321321 eeeeee TT )M(AM)( 321321 eeeeeeA MAMA T mnnjmiij AMMA TMAMA mnjnimij AMMA 如 果 一 個 量 A在 坐 標 系 和 中 具 有 不 變 的 形 式 ， 即 321 xxx321 xxx jiijjiij AA eeeeA 且 在 坐 標 變 換 （ 1.61） 中 滿 足 如 下 的 關(guān) 系 ： mnjnimij AMMA 則 稱 A為 二 階 張 量 。 11 2 3 231 0 00 1 00 0 1ij i

40、j eI ee e e e ee為 二 階 單 位 張 量 定 義 ： TMJMJ 例 1.24： 證 明 ， 在 材 料 力 學 中 定 義 的 平 面 圖 形 的 慣性 矩 和 慣 性 積 的 集 合 構(gòu) 成 二 維 情 況 下 的 張 量 分 量 xxy xyy II IIJ AA AA AyAxy AxyAx dd dd 22解 ： 可 以 看 出 ， 矩 陣 Ayxy xyx A d22 J yxx記 ： AA Td xxJMxx TTT Mxx xMx dd y y Ad xxAyxyxyxyxA ddddcosdsindsindcosddd )( 在 xy中 TTA TA TTA

41、 T AAA MJMMxxMMMxxxxJ ddd cossin sincosM 例 1.26 證 明 ： 是 二 階 張 量 。 v解 ： jiijjjii vvx eeeev ， )(mmii xMx mimi Mxx jnjn vMv ijnjmimii jnjmiinmn xvMMMxvMxxxvxv )( 矢 量 的 基 稱 為 一 階 單 位 并 矢 量ie兩 個 一 階 單 位 并 矢 量 作 并 積 的 結(jié) 果 稱 為 二 階 單 位 并 矢 量 i jeekji eee以 此 類 推 ， 稱 為 三 階 單 位 并 矢 量 三 階 張 量 為 ： 如 果 一 個 量 在 坐

42、標 系 和 中 具 有 不 變 的 形 式 ，即 321 xxx 321 xxx kjiijkkjiijk eeeeee 且 其 分 量 在 坐 標 變 換 （ 1.61） 中 滿 足 ijklknjmimnl MMM 則 稱 為 三 階 張 量 。 ijk i j k ee e 置 換 張 量 零 張 量 : 所 有 分 量 都 為 0的 張 量 零 階 張 量 ： 標 量 1.3.3 張 量 的 代 數(shù) 運 算 數(shù) 乘 ： jiijjiij AA eeeeA )()( jiijijjiijjiij BABA eeeeeeBA )( 加 法 ： 乘 法 ： i j ije e i j ijk

43、 ke e e i j i jee ee ijkkjikji eeeeeee )()( kijkjikji eeeeeee )()( nijmnmjinmji eeeeeeeeee )()()( mijkmkjikji eeeeeeee )()( jmkimjikjik eeeeeeee )()( nkijmknmjinmji eeeeeeeeeee )()()( lnmjilnmji eeeeeeeeee )( 兩 個 張 量 間 可 以 進 行 數(shù) 積 、 矢 積 、 并 積 的 運 算 ， 只 要 兩 者的 單 位 并 矢 量 之 間 允 許 進 行 這 樣 的 乘 法 即 可 。 運

44、算 時 兩 個 單 位并 矢 量 間 進 行 相 應 的 積 運 算 ， 而 分 量 間 則 對 應 地 進 行 簡 單 的 數(shù)量 乘 積 運 算 。 ijijijkkijkjikijkkjiij bAbAbAbA eeeeeeeebA )()()( 321333231 232221 131211321 bbbAAA AAA AAAeee jiijjkikijjikkijjiijkk bAbAbAAb eeeeeeeeAb )()()( 321333231 232221 131211321 eeeAAA AAA AAAbbb 321332313 322212 312111321 bbbAAA

45、AAA AAAeee)()( meeeea mkjiijk a jimijmjimkmijk aa eeee 點 積 ： nijnijnijmmnijnmmnjiij BABABA eeeeeeeeBA )()( 321333231 232221 131211333231 232221 131211321 eeeeee BBB BBB BBBAAA AAA AAA AAA kk 12AAA 冪 運 算 mijkmkijkkjiij bAbA eeeeebA )()( nkijmkmnijnmmnjiij BABA eeeeeeeBA )()(矢 積 ： jijiba eeab并 積 ： 并 矢

46、 張 量 ij i j m m ij m i j mA ee b e A b ee e Ab雙 重 點 積 ： jnimnjminmji )()(:)( eeeeeeee iknjmnkmjinmkji eeeeeeeeeee )()(:)( ijijjnimmnijnmmnjiij BABABA )(:)(: eeeeBA ijkijknmmnkjiijk AA eeeeeeA )(:)(: bBAaBbAa T)()(證 明 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k ij i j l l mn m nk ij k i j mn l l m

47、nij k ki j mn l lm nij i j mn m n ij i mn m j na A b Ba A B bAa B bAa B b AaB b a A b B e ee e e ee ee e e ee ee e e e ij mn i m jn ij mj i mA B ab A B ab ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (T T Tk k ij i j k ij k i jTij k ki j ij i j mn n mij i mn j n m ij i mn jn mij mj i m k ka A a AA a A a BA a

48、 B A a BA B a b A a A B b e ee B b e ee B be B b e e e be e e b e be e ) ( ) ij mj i k m k ij mj i k mk ij mj i mB abA B ab A B ab e e( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (T T Tk k ij i j k ij k i jTij k ki j ij i j n nij i n j n ij i n jnij j i k k ) ( ) ij j i k kij j i k k ij j i ij i j ij i jij i

49、 j ij i jij i j ij i jij j i ij j iij j i ij j i 對 稱 張 量 與 反 對 稱 張 量 張 量 的 加 法 分 解 張 量 的 對 稱 性 或 反 對 稱 性 是 不 會 隨 著 坐 標 系 的 變 換而 改 變 的 。 DA )( TAAD 21 )( TAA 21對 稱 張 量 D有 六 個 獨 立 的 分 量 反 對 稱 張 量 只 有 三 個 獨 立 的 分 量 11 12 1322 2333 對 稱D D DD DD 1213 2312 13230 0 0 反 對 稱 張 量 的 對 偶 矢 量 T)( 211332 :21 jkij

50、ki 21I kijkij : ( ) ( ):( ):( )( )( )( )ij i j kmn k m nij kmn jkp i p m n qr q rij kmn jkp qr i p m q n rij mq nr kmn jkp qr i p kmn ikp mn i pmnk ipk mn i pmi np mp ni mn i pmp ni mn i p mi np mee e e eee e e e eee e e e eeeeeee eeee I 2 n i ppi i p ip i pip i p eeee eeee 000 12 13 23 例 1.30 證 明 ，

51、 反 對 稱 張 量 與 任 意 矢 量 b的 數(shù) 積 等 于 其 對 偶 矢 量 與 b的 矢 積 。 bb beeb ijkijkijij bb 解 ：這 個 例 子 說 明 ， 反 對 稱 張 量 數(shù) 性 地 作 用 于 b，相 當 于 其 對 偶 矢 量 矢 性 地 作 用 于 b。 二 階 張 量 的 逆 對 于 二 階 張 量 A， 若 存 在 著 二 階 張 量 B， 使成 立 ， 則 稱 B是 A的 逆 ， 并 記 之 為IBA IAB 1 ABIAA 1 IAA 1ijmjim AA 1 ijmjim AA 1注 意 的 分 量 形 式 為1A 1mj m jA e e *1

52、 mjmj AA A 二 階 張 量 A的 全 體 分 量 的 行 列 式 記 為 detA。 二 階 張 量 A有 逆 的 充 要 條 件 是 0det A11 1 AA )( 111 ABBA )( 11 detdet )( AA 正 交 張 量 ： TMM 1 aaaMMaaMaM T)()( aaM 二 階 張 量 的 跡 AIA :tr iinmmnjiij AA eeeeA :tr 3tr iiI BABA trtrtr )( AA trtr )(tr( ) tr( ) tr( ) tr( )ij i j mn m nij jn i nij ji ji ijA ee B e eA

53、B eeA B B A A B B A 1.3.5 二 階 張 量 的 主 值 、 主 軸 和 不 變 量 主 值 在 坐 標 變 換 中 保 持 不 變 就 是 分 量 矩 陣 A的 特 征 值 ， 特 征 向 量 和 不 變 量TMAMA TIMMI MI)(AMMI)M(A)IA( detdetdetdetdet T0det I)(A 321A trI A 13322122A trtr21II )( AA 321A detIII A )()()( nnnM 321 ),(AMM 321diag T主 值 均 為 實 數(shù)對 應 于 不 同 主 值 的 主 方 向 相 互 正 交 。將 三

54、個 兩 兩 正 交 的 主 方 向 單 位 列 向 量 排 為 方陣 ， 構(gòu) 成 坐 標 變 換 矩 陣存 在 著 三 個 兩 兩 正 交 的 主 方 向 。 當 A是 對 稱 張 量 時 正 定 矩 陣 ：若 對 于 任 意 的 非 零 向 量 b， 恒 有 bTAb0， 則 稱 A為 正 定矩 陣 。 對 稱 矩 陣 A為 正 定 矩 陣 的 充 要 條 件 是 A的 所 有 特 征值 均 為 正 數(shù) 。正 定 張 量 ：若 對 于 任 意 的 非 零 矢 量 b， 恒 有 b .A.b0， 則 稱 A為 正 定張 量 。 對 稱 張 量 A為 正 定 張 量 的 充 要 條 件 是 A的

55、 所 有 特 征值 均 為 正 數(shù) 。 1.3.6 張 量 場 Hamilton算 符 ii ex ii ，)(HeH ii eHH ，)( 矢 量 算 符 當 并 性 地 作 用 于 n(n 0)階 張 量 場 H上 時 ， 構(gòu) 成 n+1階 張量 場 ii e, jiijijji aa eeeea ,),( 321333231 232221 131211321 eeeeee xaxaxa xaxaxa xaxaxa ijijiijj aa eeeea ,),( 1 1 11 2 32 2 21 2 33 3 31 2 3( ) 11 2 3 23T a a a ex x xa a ae e

56、 e ex x xa a a ex x x Ixx nmiimninmmni AA eeeeeeA ,),( inmimniinmmn AA eeeeeeA ,),( xxaxaaxa dddd )( H和 H 分 別 稱 為 張 量 場 H的 左 梯 度 和 右 梯 度 當 數(shù) 性 地 作 用 于 n(n 0)階 張 量 場 H上 時 ， 構(gòu) 成 n-1階 張量 場 aaeea )(,),( triiijijijji aaa niinnimimninmmni AAA eeeeeA ,),( 333322311323322221121331221111 eeeA xAxAxAxAxAxAxAx

57、AxA mimiminimniinmmn AAA eeeeeA ,),( 333323213123232221211313212111 eeeA xAxAxAxAxAxAxAxAxA .H和 H . 分 別 稱 為 張 量 場 H的 左 散 度 和 右 散 度 當 矢 性 地 作 用 于 n(n 0)階 張 量 場 H上 時 ， 構(gòu) 成 n階 張 量 場 kijkijijji aa eeea ,),( )(,),( aeeea kjikijiijj aa npimpimninmmni AA eeeeeA ,),( pmnipimniinmmn AA eeeeeA ,),( H和 H 分 別 稱

58、 為 張 量 場 H的 左 旋 度 和 右 旋 度 Gauss公 式 ： SV SV dd HnH SV SV dd nHH VS udVndSu SV SV dd ana VxaxaxaxaxaxaVa VjkV ijk dd 321122133113223 eeeei, SananananananSan SkjS ijk dd 312212311312332 eee SV SV dd nAA VxAxAxAxAxAxAxAxAxAV d333323213123232221211313212111 eee SnAnAnAnAnAnAnAnAnAS d333323213123232221211313212111 eee