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1、1,物理量 看成 和 的函數(shù),1. 物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo)的概念,物質(zhì)坐標(biāo)(Lagrange 坐標(biāo)): 標(biāo)記各個(gè)質(zhì)點(diǎn),一般選取各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的初始空間位置,拉格朗日方法:以質(zhì)點(diǎn)為研究對象,研究在給定質(zhì)點(diǎn)上的物理量隨時(shí)間的變化規(guī)律,以及物理量從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)到另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的變化規(guī)律.,第三章 連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)學(xué),3.1、物質(zhì)坐標(biāo)和空間坐標(biāo),(3-1),其位置的歷史為,2,空間坐標(biāo)(Euler坐標(biāo)):標(biāo)記各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻占據(jù)的空間位置,歐拉方法:研究在所給定的空間位置上各物理量隨時(shí)間的變化,以及這些物理量從一個(gè)空間位置轉(zhuǎn)移到另一個(gè)空間位置時(shí)的變化規(guī)律.,看成,和,的函數(shù).,(3-2),3,物質(zhì)坐標(biāo) 和空間坐標(biāo) 的

2、關(guān)系,對于一個(gè)質(zhì)點(diǎn),在空間坐標(biāo)中,在不同的時(shí)刻處于不同的空間位置,可以描述成:,或,加入質(zhì)點(diǎn)因素,則有,質(zhì)點(diǎn)不同,則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也不同.,(3-3),若 不變,則表示以 為標(biāo)記的質(zhì)點(diǎn)的軌跡; 不變,表示各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻所處的空間位置.,4,若(3-3)存在逆變式,應(yīng)滿足,每個(gè)時(shí)刻連續(xù)介質(zhì)所占據(jù)的空間位置上都有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)存在.質(zhì)點(diǎn)和空間位置一一對應(yīng).,則,5,空間導(dǎo)數(shù),物質(zhì)導(dǎo)數(shù),物理量:,空間導(dǎo)數(shù),,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度?,,(3-4),物質(zhì)導(dǎo)數(shù),,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度?,,,6,質(zhì)點(diǎn)位移:,取物質(zhì)坐標(biāo)為連續(xù)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)在初始時(shí)刻的空間位置,在 時(shí)刻連續(xù)介質(zhì)的位形:,質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻相對于初始時(shí)刻的位移:,速

3、度定義,加速度,2. 質(zhì)點(diǎn)位移,速度和隨體微商,7,一般物質(zhì)導(dǎo)數(shù)用 表示.,物質(zhì)導(dǎo)數(shù):即隨體導(dǎo)數(shù),給定質(zhì)點(diǎn)上函數(shù)對時(shí)間的變化率.,,則,質(zhì)點(diǎn)速度,,(3-5),(3-6),8,或?qū)懗?,物質(zhì)導(dǎo)數(shù)算子:,,運(yùn)用了物質(zhì)導(dǎo)數(shù)算子,為瞬時(shí)速度場.,1) 速度(Lagrange形式),2) 速度(Euler形式),(3-7),9,加速度(Lagrange形式):速度的物質(zhì)導(dǎo)數(shù),加速度(Euler形式),10,例1:,求速度場 和加速度場,已知位移場,(Lagrange),(Euler),解:,11,例2. 運(yùn)動(dòng)由下式給出,確定作為物質(zhì)形式和歐拉形式的速度分量.,解:(1) 位移場,其中:,作為物質(zhì)坐

4、標(biāo)函數(shù)的位移分量可表示為:,,12,可得速度場分量為:,從運(yùn)動(dòng)方程可解得: 則位移分量作為歐拉坐標(biāo)的形式為:,13,,聯(lián)立求解得:,14,,,,,,,,,,質(zhì)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌跡,3 跡線和流線,15,跡線:描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡. 質(zhì)點(diǎn)不同，運(yùn)動(dòng)軌跡不同,則跡線不同.,,,,一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)描述:,分量形式:,,消去時(shí)間,,跡線,質(zhì)點(diǎn)的軌跡,曲面,t為自變量.,16,歐拉描述的跡線:,軌跡與速度的聯(lián)系:,,,積分,,質(zhì)點(diǎn)軌跡.,(3-8),17,,,,,,,,,,,,,,,時(shí)刻流場中的一條流線,流線:,18,流線(固定時(shí)刻流場中的一條曲線):該曲線上的每一點(diǎn)的切線方向是處于該空間位置上的質(zhì)

5、點(diǎn)的速度的方向.,由,推出:,,,流線,曲面,(3-9),19,跡線與流線區(qū)別:,跡線 拉格朗日觀點(diǎn), 同一質(zhì)點(diǎn) 不同時(shí)刻 的軌跡,流線 歐拉觀點(diǎn) 不同質(zhì)點(diǎn) 同一時(shí)刻,,,,一般不定常流動(dòng)中,流線和跡線不重合.,,,,,,,,跡線,流線,20,(1) 現(xiàn)在考察 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的軌跡,速度場描述(歐拉空間),速度場描述(拉格朗日空間),位置矢量,速度場,,運(yùn)用,其他時(shí)刻,,21,(2)在 的流線,,,,,定常運(yùn)動(dòng),流線和跡線重合.,22,例: 已知速度場,求 時(shí)過 點(diǎn)的跡線和流線.,流線微分方程:,積分后得,代入已知條件得,流線方程為:,,跡線方程,跡線微分方程:,,,23,若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)

6、動(dòng)為定常運(yùn)動(dòng),,,流線方程,,跡線方程,,,定常運(yùn)動(dòng),則流線和跡線重合.,積分:,代入初條件:,24,3.2 變形張量,彎曲,扭轉(zhuǎn),幾種變形模式,,3.4.1 應(yīng)變張量概念的引入,25,線應(yīng)變,26,,,,,,,,,,剪應(yīng)變,,,,,,,,,,,,,,,,,,27,或,應(yīng)變: 小變形 有限變形(變形量較大的情況),材料力學(xué)中應(yīng)變度量:,28,,初始時(shí)刻:,終了時(shí)刻:,位移:,,,分量形式:,1 應(yīng)變張量,29,,,,,,,,變形后分別為,變形前圖形中兩點(diǎn),變形前兩點(diǎn)的距離,變形后兩點(diǎn)的距離,,,,(3-11),(3-12),30,變形前后兩點(diǎn)的距離,可知,從關(guān)系式,(3-13),(3-14),

7、31,定義應(yīng)變張量,長度平方之差寫為,張量,變換關(guān)系,(3-15),(3-16),32,格林 圣維南引入 格林應(yīng)變張量,式(15),(16)則可寫為:,柯西 （無限小應(yīng)變） 艾爾門西 和海麥爾 （有限應(yīng)變） 艾爾門西應(yīng)變張量,流體力學(xué)中 拉格朗日應(yīng)變張量,流體力學(xué)中 歐拉應(yīng)變張量,對稱張量,33,若,,,剛體運(yùn)動(dòng),2 應(yīng)變張量用位移描述,,,初始位置,變形后位置,,P(a1, a2, a3),,,,,P,,,,a1,a2,a3,34,應(yīng)變張量化為,于是有,或,35,例.考察單位尺寸的方板,其變形如圖示,試求應(yīng)變分量 .,,,1,1,,,,O,1,,解:方板的變形用方程來描述: 或,36,代入

8、變形方程即可得應(yīng)變分量為:,37,1) 取變形前為,,為第一坐標(biāo)軸上的線元,則,3 坐標(biāo)軸上線元的相對伸縮,,,,a1,a2,a3,,,,線元的相對伸縮為,代入,同理 可得:,描述了第一,第二,第三坐標(biāo)軸上線元的相對伸縮.,38,2)取變形后 為第一坐標(biāo)軸上線元,同理有:,記此線元的相對伸縮為,可得,有,代入,39,變形后兩線元變?yōu)?最后得,4 坐標(biāo)軸間角度的變化,1) 取變形前在第一第二坐標(biāo)軸上成直角的兩線元,長度分別為,夾角為,代入,,,,a1,a2,a3,,,,,,40,剪切角為,,而,因此有,41,2) 取變形后的第一,第二坐標(biāo)上各取線元,變形前兩線元分別是 ,,大小 ,,夾

9、角,代入,剪切角,從而有,,42,在小變形時(shí)，即位移梯度很小，即,,稱為小變形張量,,由,可得,3.3 小變形張量,1 位移梯度的假定和小變形張量,43,小變形張量的分量為,特點(diǎn): 二階對稱張量,有主應(yīng)變,應(yīng)變主方向.,44,例.再次考察單位尺寸的方板,向右的剪切是一個(gè)非常小的量,變形方程可寫為 或 應(yīng)變分量為: 上述情況下, 度量近似相等.,45,分別了描述了 軸方向上線元的相對收縮.,物理意義:,表示,間直角的剪切角.,46,,對于位移場,,,若記,,分量為:,旋轉(zhuǎn)矢量,2 小變形位移的分解,,47,即有,旋轉(zhuǎn)矢量與旋轉(zhuǎn)張量的關(guān)系,則,,48,平動(dòng),剛體轉(zhuǎn)動(dòng),變形引起的位移,

10、小變形位移的分解:,相容性條件 當(dāng)方程的個(gè)數(shù)比未知數(shù)多時(shí),方程組不 一定有解.如果有解,則應(yīng)該滿足一定的條件.,,,,方程若有解,則f和g必須滿足相容性條件,引入記號(hào),,49,說明: 6個(gè)應(yīng)變分量可以用來描述一點(diǎn)的變形,而一點(diǎn)處的位移又與變形有關(guān).真實(shí)的位移解必定是連續(xù)的單值函數(shù).由變形幾何方程表明,3個(gè)位移分量可以完全確定物體的變形,所以由3個(gè)位移分量導(dǎo)出的6個(gè)應(yīng)變分量不可能任意變化,他們應(yīng)滿足一定的關(guān)系,即變形協(xié)調(diào)條件.否則,對于任意給定的一組應(yīng)變分量,由幾何方程積分求得的位移函數(shù)不一定單值連續(xù).在這種情況下,所給定的應(yīng)變分量將使變形不協(xié)調(diào),變形后或著出現(xiàn)裂縫,或者重疊.與真實(shí)的變形不

11、符合.,50,求兩次偏微商:,偏微分可以交換順序,則有,相容性條件,六個(gè)獨(dú)立的方程:,51,上述六個(gè)方程又滿足三個(gè)恒等式:,若對平面運(yùn)動(dòng)情況:,則,六個(gè)相容性方程只剩下一個(gè),即,應(yīng)變分量不能任意給定,必須受到應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的限制.而限制應(yīng)變分量的6個(gè)協(xié)調(diào)方程也不是完全獨(dú)立.,,52,4. 有小變形張量求位移場,為固定點(diǎn),在其上位移,求場內(nèi)任一點(diǎn),處的位移.,53,以：,代入上式，得:,即：,其中,54,上式線積分與路徑無關(guān)，有：,,由 的表達(dá)式，有：,兩式相減：,,從而有：,55,此即 所應(yīng)滿足的相容性條件.,特別地如 是零張量（即沒有變形），則:,平移,,剛體運(yùn)動(dòng),,旋轉(zhuǎn),,,如果給

12、出了滿足相容性條件的小變形張量 后,即可確定位移場u .,56,均勻變形:變形體內(nèi)應(yīng)變張量處處相等,則位移分量是坐標(biāo)的線性函數(shù),即,均為常數(shù).,特點(diǎn): 1)平面上各點(diǎn)變形后仍在同一個(gè)平面上; 2)平行的平面在變形后仍為平行平面. 3)在任意給定的方向上,所有點(diǎn)的變形都相同,不同位置處,方向相同的幾何相似圖形在變形后仍然保持幾何相似. 4)一個(gè)圓球面在變形后為一個(gè)橢球面.,剛體運(yùn)動(dòng):應(yīng)變張量為零.,57,3.4 位形梯度張量及其極分解,1 位形梯度張量,給出t時(shí)刻連續(xù)介質(zhì)體的位形。,（t固定）,式中 稱為位形梯度。于是,由于 和 是矢量，故 是二階張量，稱為位形梯度張量.,因

13、位移,58,稱為右哥西格林變形張量,稱為左哥西格林變形張量,其中,,或,而,由 的定義，知 C為二階對稱張量。由于,,或,對于剛體運(yùn)動(dòng)，E=0，C=I,不論變形大小均成立!!,59,2 用 表征變形,任取 ， ， ， 為 的方向余弦。 變形后為 ，其長度為ds,故 方向上單位長度的伸縮為,同理， 方向上的相對伸縮為,60,記 和 間夾角為 ，變形后 和 間夾角為 ，則,即,代入得,以 除兩邊 得：,即：,,,,,61,,,,A,,,B,C,D,1,例: ABCD是單位方板,承受的均勻小應(yīng)變由下式

14、給出,62,把位形梯度張量F作極分解： F=RU（實(shí)際變形時(shí)detF0） R為正交張量，它代表剛體轉(zhuǎn)動(dòng)；U為正定對稱張量， 它代表純變形。F=RU可看成是先變形后轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。,3. 位移梯度張量的極分解,即 經(jīng)過變形得到 ，再經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，得到,極分解F=VR則可看成是先轉(zhuǎn)動(dòng)，后變形。兩種極分解中的純 變形張量U和V可不同，而轉(zhuǎn)動(dòng)部分則相同（都是同一個(gè)張量R）,63,4. 小變形時(shí)U，V，R的表達(dá)式,,,當(dāng) 時(shí)，,為小變形張量,略去二階小量后，有,由此可知，小變形時(shí)有,R=I+U=V=I+E,注意:小變形條件下才成立!!!,64,例:對以下位形求位形梯度,并說明變形特點(diǎn).,解:

15、,65,3.5 介質(zhì)中曲面的移動(dòng)和傳播,1. 曲面的移動(dòng)速度和傳播速度,設(shè)運(yùn)動(dòng)曲面的方程為,則,記dr為dx在曲面法線方向（即gradF的方向）上的投影，,則上式給出：,稱N為曲面F=0的移動(dòng)速度,66,v為介質(zhì)速度，n為曲面F=0的單位法向量， 為速度在曲,面法向的分量,,如果曲面F=0在空間中固定不動(dòng)，（即F中不含t），則N=0，,稱為曲面F=0的傳播速度。,,,從而,如果曲面F=0始終由同樣一些介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)組成（稱這樣的曲面為物 質(zhì)面），則隨體微商 和傳播速度都等于零，此曲面在介質(zhì)中 不傳播.,67,2. 可變區(qū)域上物理量隨時(shí)間的變化率,設(shè)V（t）是可隨時(shí)間變化的空間區(qū)域，其周界面為S

16、（t），,物理量A在區(qū)域V上的總量為,,下面求,,68,設(shè)V（t）周界面S（t）上面元dS的外單位法向量為n，在dS處的移動(dòng)速度為N，則t時(shí)間內(nèi)，在dS處發(fā)生的區(qū)域變化dV=dSNt,從而,,因此,特別地，如果V（t）為確定的連續(xù)介質(zhì)物體，此時(shí)周界面,S為物質(zhì)面，從而=0，,上式就變?yōu)椋?69,3.6速度分解定理,剛體速度分解定理:(可分解為平動(dòng)部分和轉(zhuǎn)動(dòng)部分),現(xiàn)在考慮非剛體的連續(xù)介質(zhì)體的速度分解,點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)速度寫成:,(3-46),70,(3.46)在P0點(diǎn)按Taylor級(jí)數(shù)展開(只取一階項(xiàng)):,直角坐標(biāo)系中的分量形式:,,速度梯度張量,,,分解,變形速度張量,旋轉(zhuǎn)張量,(3.46.3),71

17、,應(yīng)變率張量或變形速度張量, 對稱張量,旋度張量或旋轉(zhuǎn)張量,反對稱張量,72,(3.46.3)改寫為:,由于,旋度矢量和旋轉(zhuǎn)張量間的關(guān)系,速度分解,平動(dòng),旋轉(zhuǎn),變形,,,,,73,3.6 變形速度張量的物理解釋,,,,,,,,,,,物質(zhì)線元的隨體導(dǎo)數(shù)等于同一時(shí)刻兩個(gè)無限鄰近質(zhì)點(diǎn)的速度差.,對上式取隨體導(dǎo)數(shù):,74,,,,,,,,,取三個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的線元,(1),的物理意義,(3.63),(3.61),(3.62),左點(diǎn)乘,,點(diǎn)乘,,75,由此可推出:,同理,物理意義: 分別是沿 軸向線元,在單位時(shí)間內(nèi)的相對收縮.,,76,(2) 的物理意義,上式點(diǎn)乘 :,(3.63)點(diǎn)乘 :,,,,,,,77,變形初始時(shí)刻有:,同理可得出:,物理解釋: 為,軸,,軸,軸,,向線元之間剪切速度的一半.,,,78,練習(xí): 1.某流動(dòng)的速度場為,式中A,B為常數(shù),請確定該流動(dòng)的速度梯度 ,并計(jì)算在t=0在點(diǎn)(1,0,3)處的變形速度張量 和旋度張量 .,2.對以下速度場,求變形速度張量 ,旋轉(zhuǎn)張量 和流線的形狀,為常數(shù).,