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1、機器人技術基礎,,第三章 操作臂運動學 課程的基本要求: 熟練掌握機器人運動學正解的D-H矩陣方法，掌握運動學反解的基本原理。理解機器人運動的二個描述空間。 背景知識 機器人運動學 機器人逆運動學 關節(jié)空間與操作空間,3.1 連桿參數(shù)和連桿坐標系 Denavit - Hartenberg Parameters,第三章 操作臂運動學,連桿的描述,n自由度機械臂--n個單自由度關節(jié)與n-1個零長度連桿組成的模型。 只考慮具有單自由度關節(jié)的操作器。 連桿編號由固定基座開始： 固定基座連桿0 第一個運動體連桿1 ,通常為了能在三維空間定位末端執(zhí)行器，最少要求有6個關節(jié)。,連桿坐標系 關節(jié) 1 是垂

2、直于肩, 關節(jié) 2 經(jīng)過肩水平線, 關節(jié) 3 是在肘部。關節(jié) 4, 5 & 6 是在手腕上，初始位置關節(jié)4 和關節(jié)6 共同沿著前臂,關節(jié)5 垂直于關節(jié)4 和關節(jié)6。,連桿坐標系,Specification of Base & Final link frames,Base frame,is fixed at the base.,Final frame,is fixed at the gripper.,首、末連桿,參數(shù)/變量: , a , d, ,基本思想：每個關節(jié)分配一個坐標系。用D-H參數(shù)，描述框i相對于前一個框i-1的位姿需要4個參數(shù),D-H參數(shù),Z(i - 1),X(i -1),Y(i

3、-1),( i - 1),a(i - 1 ),Z i,Y i,X i,a i,d i, i,,1） ai-1 定義: ai-1 兩個關節(jié)軸線公垂線的長度. 關節(jié)軸是圍繞它發(fā)生旋轉的有向空間直線，在圖中是 Zi-1和 Zi 軸。,Zi - 1,Xi -1,Yi -1, i - 1,ai - 1,Z i,Y i,X i,a i,d i, i,可視化方法：想象一個圓柱面圍繞軸Z(i-1) 擴展 當圓柱面剛剛觸及軸 i 時，圓柱的半徑等于a(i-1)。 圖示方法： 若已經(jīng)定義了坐標系, 公垂線通常是X(i-1) 軸.因此 a(i-1) 恰是沿著X(i-1)從框i-1 到框i 的位移 如果連桿是移動關節(jié)

4、, 那么 a(i-1) 是變量，而不是參數(shù),連桿參數(shù)a(i-1) 的識別方法：,,2) (i-1) 定義: 使關節(jié)軸平行時，繞公垂線旋轉的角度. 按右手規(guī)則確定正向旋轉。 繞X(i-1) 軸旋轉使 Z(i-1) 指向Zi 軸的方向,3) di 定義: 為了使公垂線a(i-1)和公垂線ai與Zi的交點對起，沿Zi 軸所需的位移。 即，沿Zi 對準X(i-1) 和 Xi 軸.,,4) i 為了對準X(i-1) 軸和Xi 軸，繞Zi 軸所需轉動的角度,,,連桿的描述參數(shù),為了運動學建模的目的，一個連桿由兩個數(shù)字來確定，這兩個數(shù)字規(guī)定了空間這兩個軸線的相對位置。 連桿長度 連桿扭轉角(twist),,

5、,,n,連桿連接參數(shù)的描述,中間連桿 兩條連桿之間的偏置 兩條連桿之間的關節(jié)角,,,,,對于運動鏈兩端，按習慣約定,首、末連桿,d1和d6以及1和6的確定方法如下。 若關節(jié)1是轉動關節(jié)，則1是可變的，稱為關節(jié)變量，規(guī)定1 0為連桿1的零位。習慣約定d10,若關節(jié)1是移動關節(jié)，則d1是可變的，稱為關節(jié)變量，規(guī)定d1=0為連桿1的零位。習慣約定10。 上面的約定對于關節(jié)6同樣適用。,連桿參數(shù)和關節(jié)變量,每個連桿由四個參數(shù) 來描述， 描述連桿i-1本身的特征， 描述連桿i-1與連桿i之間的聯(lián)系。對于旋轉關節(jié)i僅 是關節(jié)變量，其他三個參數(shù)固定不變；對于移動關節(jié)i，僅 是關節(jié)變量，其他三個參數(shù)

6、因定不變。這種描述機構運動的方法首先是Denavit和Hartenberg提出來的，稱為D-H方法。,,一個6關節(jié)的機器人，用18個參數(shù)可以完全表示它的運動學中固定部分，而用6個關節(jié)變量描述運動學變動部分。,,關節(jié)變量,,連桿i-1幾何特征,連桿參數(shù)和關節(jié)變量,i-1從zi-1到zi沿xi-1旋轉的角度 ai-1 從zi-1到zi沿xi-1測量的距離 di從xi-1到xi沿zi測量的距離 i從xi-1到xi沿zi旋轉的角度,3.1連桿變換和運動學方程,連桿變換,連桿變換可以看成是坐標系i經(jīng)以下四個子變換得到的：,,,,用4個參數(shù)對準兩個關節(jié)的軸線,因為這些子變換都是相對于動坐標系描述的，按照“

7、從左向右”的原則得到,連桿變換矩陣,（The Denavit-Hartenberg Matrix）,連桿變換矩陣,,D-H參數(shù)矩陣,與齊次變換矩陣一樣， D-H參數(shù)矩陣是從一個坐標系到下一個坐標系的變換。用一系列D-H參數(shù)矩陣相乘，最終的結果是從某個坐標系到初始坐標系的變換。,連桿變換依賴于四個參數(shù)，其中只有一個是變化的。以下用qi表示第i個關節(jié)變量,手臂變換運動學方程,手臂變換矩陣,Denavit-Hartenberg Link Parameter Table,表的用途: 1) 描述機器人的變量和參數(shù) 2) 通過變量的數(shù)值描述機器人的狀態(tài),i-1從zi-1到zi沿xi-1旋轉的角度ai-1從

8、zi-1到zi沿xi-1測量的距離 di從xi-1到xi沿zi測量的距離 i從xi-1到xi沿zi旋轉的角度,This is a translation by a0 followed by a rotation around the Z1 axis,This is a translation by a1 and then d2 followed by a rotation around the X1 and Z2 axis,,例,(P. 51, 第3.1題),y3,x3,The Situation: You have a robotic arm that starts out aligned

9、with the xo-axis. You tell the first link to move by 1 and the second link to move by 2. The Quest: What is the position of the end of the robotic arm?,1,2,兩關節(jié)機器人,,,,,,,,,,,X2,X3,Y2,Y3,,,,,,1,2,3,1,2,3,Example Problem: You are have a three link arm that starts out aligned in the x-axis. Each link ha

10、s lengths l1, l2, l3, respectively. You tell the first one to move by 1 , and so on as the diagram suggests. Find the Homogeneous matrix to get the position of the yellow dot in the X0Y0 frame.,,,,,X1,Y1,,,X0,Y0,The position of the yellow dot relative to the X3Y3 frame is (l1, 0). Multiplying H by t

11、hat position vector will give you the coordinates of the yellow point relative the the X0Y0 frame.,,,,,,,,,,,X2,X3,Y2,Y3,,,,,,1,2,3,1,2,3,,,,,X1,Y1,,,X0,Y0,H = Rz(1 ) * Tx1(l1) * Rz(2 ) * Tx2(l2) * Rz(3 ),i.e. Rotating by 1 will put you in the X1Y1 frame. Translate in the along the X1 axis by l1.

12、Rotating by 2 will put you in the X2Y2 frame. and so on until you are in the X3Y3 frame.,,Slight variation on the last solution: Make the yellow dot the origin of a new coordinate X4Y4 frame,,,,,,,,,,,X2,X3,Y2,Y3,,,,,,1,2,3,1,2,3,,,,,X1,Y1,,,X0,Y0,,X4,Y4,H = Rz(1 ) * Tx1(l1) * Rz(2 ) * Tx2(l2) *

13、Rz(3 ) * Tx3(l3) This takes you from the X0Y0 frame to the X4Y4 frame. The position of the yellow dot relative to the X4Y4 frame is (0,0).,We are interested in two kinematics topics Forward Kinematics (angles to position) What you are given: The length of each link The angle of each joint What you

14、can find: The position of any point (i.e. its (x, y, z) coordinates) Inverse Kinematics (position to angles) What you are given:The length of each link The position of some point on the robot What you can find:The angles of each joint needed to obtain that position,,3.4 PUMA560機器人運動學,PUMA560機器人關節(jié)空間

15、運動,PUMA560連桿坐標系,,則工具相對于工作站的位姿為,I n v e r s e K i n e m a t i c s From Position to Angles,A Simple Example,, 1,,,,X,Y,,,,,,S,Revolute and Prismatic Joints Combined,,(x , y),Finding 1:,More Specifically:,arctan2() specifies that its in the first quadrant,Finding S:,,,,,,,, 2,,,, 1,(x , y),,,,,,,l2,l1,

16、Inverse Kinematics of a Two Link Manipulator,Given:l1, l2 , x , y Find: 1, 2 Redundancy: A unique solution to this problem does not exist. Notice, that using the “givens” two solutions are possible. Sometimes no solution is possible.,,(x , y),,,,l2,l1,,,The Geometric Solution,,,,,,,,,,,,,l1,l2,,,,

17、 2, 1,,,,(x , y),Using the Law of Cosines:,Using the Law of Cosines:,Redundant since 2 could be in the first or fourth quadrant.,Redundancy caused since 2 has two possible values,,,,,The Algebraic Solution,,,,,,,,,,,,,l1,l2,,,, 2, 1,,,,,(x , y),Only Unknown,,,記：,有,We know what 2 is from the previous

18、 slide. We need to solve for 1 . Now we have two equations and two unknowns (sin 1 and cos 1 ),Substituting for c1 and simplifying many times,Notice this is the law of cosines and can be replaced by x2+ y2,,,,,,例如， PUMA 560存在8種運動反解,3.6 腕部三軸相交時的封閉解,對于6個自由度的機器人而言運動學反解非常復雜，一般沒有封閉解。 6個自由度的機器人具有封閉反解的兩個充分

19、條件(Pieper準則) (1)三個相鄰關節(jié)軸交于一點；(PUMA、Stanford),或 (2)三個相鄰關節(jié)軸相互平行；(ASEA，MINIMOVER) 對于如PUMA560機器人，滿足條件(1) ，運動學方程可分解為： (1)腕部位置的反解 (2)手腕方位的反解,,3.7運動學反解的有關問題,運動學方程的一般形式： n6, 6個未知數(shù)，12個方程，其中6個為獨立方程，存在以下問題： 解是否存在？ 是否唯一？ 是否可以寫成封閉解形式？ 如何求解？,一、解的存在性和工作空間,理論上，可達工作空間為一個圓環(huán)，其內外半徑分別為l1l2和l1l2；靈活工作空間：若l1l2 ，原點；若l1l2 ，空集

20、。 實際上，還需要考慮關節(jié)角的限制，以及結構參數(shù)等。,例如，平面2R機械手,工作空間(Workspace)：不同關節(jié)轉角所達到的末端執(zhí)行器的所有形位的集合。是反解存在的區(qū)域（操作空間中）。 靈活(工作)空間(Dextrous Workspace)：機器人手爪能以任意方位到達的目標集合。 可達(工作)空間(Reachable Workspace)：機器人手爪至少能以一個方位到達的目標集合。,,,,工作空間,討論,（1）關節(jié)角取值范圍對工作空間的影響； （2）操作臂的自由度對工作空間的影響； （3）末端執(zhí)行器或工具坐標系對工作空間的影響；,反解的唯一性和最優(yōu)解,機器人操作臂運動學反解的數(shù)目決定于關

21、節(jié)數(shù)目、連桿參數(shù)和關節(jié)變量的活動范圍。一般而言，非零連桿參數(shù)愈多，運動學反解的數(shù)目愈多，例如PUMA 560。 最優(yōu)解：如何從多重解中選擇一個最優(yōu)解？最優(yōu)準則？尋求方法？在避免碰撞的前提下，通常按“最短行程”準則。使每個關節(jié)的移動量為最小。對于典型工業(yè)機器人應遵循“多移動小關節(jié)、少移動大關節(jié)”的原則。,,例如， PUMA 560存在8種運動反解,三、求解方法,幾何解 解析解(analytical solution, closure solution) 封閉解法計算速度快，效率高 數(shù)值求解(numerical solution ) 在多重解情況下，難以算出所有的解,關節(jié)空間 n個自由度的操作臂的

22、末端位姿由n個關節(jié)變量所決定，這n個關節(jié)變量統(tǒng)稱為n維關節(jié)矢量，記為q，所有的關節(jié)矢量q構成的空間稱為關節(jié)空間。 操作空間：末端抓手的位置和方位在直角坐標空間中的描述；,3.8 關節(jié)空間和操作空間,關節(jié)空間和操作空間,操作空間 末端手爪的位姿x是在直角坐標空間中描述的，即用操作空間來表示。其中位置用直角坐標表示，而方位用齊次坐標或者歐拉角、RPY角方法表示。運動學方程 可以看成是由關節(jié)空間向操作空間的映射；而運動學反解是由其映象求其關節(jié)空間中的原象。,關節(jié)空間,操作空間,,,運動學正解,運動學反解,二種描述空間,單個地看，不同的關節(jié)非常簡單。 它們的運動容易理解和可視化。在左邊

23、的例子中，一個棱柱關節(jié)和旋轉關節(jié)用來移動簡單的機械手末端操縱裝置。 在同一時刻，只有一個關節(jié)運動，以便你能容易地看見是由用棱柱型關節(jié) (黃色元件沿著紅色元件的線性運動) 和旋轉關節(jié) (紅色元件相對基座回轉運動)提供的獨立的運動。 當它們共同地工作的時候 , 這二個簡單的關節(jié)能產(chǎn)生更復雜的運動, 如例子所示在操作空間的運動。,關節(jié)空間運動,操作空間運動,作業(yè)：3.9,,各驅動器的位置統(tǒng)稱為驅動矢量S 驅動空間：驅動矢量S所構成的空間,,,,,,,,x0,z0,z1,x1,,,,,,z2,x2,,,y2,y0,y1,,z3,,,x3,,z4,x4,z5,,x5,z6,,,,,,,x6,,作業(yè) 3.9,