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1、正交試驗設(shè)計 在試驗研究中，對于單因素或兩因素試驗，因 其因素少 ，試驗的設(shè)計 、實施與分析都比較簡單 。但在實際工作中 ，常常需要同時考察 3個或3個以 上的試驗因素 ，若進(jìn)行全面試驗 ，則試驗的規(guī)模將 很大 ，往往因試驗條件的限制而難于實施 。正 交 設(shè)計就是安排多因素試驗 、尋求最優(yōu)水平組合 的一 種高效率試驗設(shè)計方法。 1 正交試驗設(shè)計的意義 正交試驗屬于試驗設(shè)計方法的一種。簡單 地講，試驗設(shè)計是研究如何科學(xué)安排試驗，以 較少的人力物力消耗而取得較多較全面的信息 。 試驗安排得好，事半功倍；反之則事倍功半 ，甚至達(dá)不到預(yù)期目的。因此，如何進(jìn)行試驗 設(shè)計是一個至關(guān)重要的問題。 正交試驗設(shè)

2、計是試驗優(yōu)化的常用技術(shù) 。所謂試驗優(yōu)化，是指在最優(yōu)化思想的指 導(dǎo)下，進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計的一種優(yōu)化方法。它 從不同的優(yōu)良性出發(fā)，合理設(shè)計試驗方案 ，有效控制試驗干擾，科學(xué)處理試驗數(shù)據(jù) ，全面進(jìn)行優(yōu)化分析，直接實現(xiàn)優(yōu)化目標(biāo) ，已成為現(xiàn)代優(yōu)化技術(shù)的一個重要方面。 正交設(shè)計的基本特點是：用部分試驗來代 替全面試驗，通過對部分試驗結(jié)果的分析，了 解全面試驗的情況。 .試驗為什么要設(shè)計 全面試驗包含的水平組合數(shù)較多，工作量 大 ，由于受試驗場地、試驗材料、經(jīng)費等限制 而難于實施 。例如，有6個因素： 每因素取 5 個水平，全面試驗就需要56=15625個組合。 若試驗的主要目的是 尋 求 最 優(yōu)水平組合 ，則

3、可利用正交 設(shè)計來安排試驗。 . 正交拉丁方 在試驗安排中 ，每個因素在研究的范圍內(nèi) 選幾個水平，就好比在選優(yōu)區(qū)內(nèi)打上網(wǎng)格 ，如 果網(wǎng)上的每個點都做試驗，就是全面試驗。3個 因素的選優(yōu)區(qū)可以用一個立方體表示(圖11-2)， 3個因素各取 3個水平，把立方體劃分成27個格 點，反映在 圖11上就是立方體內(nèi)的27個“.”。 若27個網(wǎng)格點都試驗，就是全面試驗，其試驗 方案如表11所示。 3 因 素 3 水 平 的 全 面試驗水平組合數(shù)為 33=27，4 因素3水平的全面試驗水平組合數(shù)為 34=81 ，5因素3水平的全面試驗水平組合數(shù)為 35=243，這在試驗中是不可能做到的。 正交設(shè)計就是從選優(yōu)區(qū)

4、全面試驗點（ 水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗 點（水平組合）來進(jìn)行試驗。圖11-A中標(biāo) 有試驗號的九個“()”，就是利用正交表 L9(34)從27個試驗點中挑選出來的9個試驗 點。即： 關(guān)于正交的直觀印象 數(shù)據(jù)點分布是均勻的 每一個面都有3個點 每一條線都有1個點 1.3 正交試驗設(shè)計 正交試驗設(shè)計也稱正交設(shè)計(orthogonal design)，是用來科學(xué)地設(shè)計多因素試驗的一種 方法。它利用一套規(guī)格化的正交表(orthogonal table)安排試驗，得到的試驗結(jié)果再用數(shù)理統(tǒng)計 方法進(jìn)行處理，使之得出科學(xué)結(jié)論。正交表是試 驗設(shè)計的基本工具，它是根據(jù)均衡分布的思想， 運用組合數(shù)學(xué)理論

5、構(gòu)造的一種數(shù)學(xué)表格，均衡分 布性是正交表的核心。 19世紀(jì)20年代，英國統(tǒng)計學(xué)家R. A. Fisher首先后馬鈴薯肥料試驗當(dāng)中，運用 排列均衡的拉丁方，解決了試驗時的不均 勻試驗條件，獲得成功，并創(chuàng)立了“試驗 設(shè)計”這一新興學(xué)科。“均衡分布”思想 在20世紀(jì)50年代應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域， 60年 代應(yīng)用于農(nóng)業(yè)領(lǐng)域，使正交試驗在科研生 產(chǎn)實際中得到推廣。 2、正交表 . 正交表 正交拉丁方的自然推廣 由于正交設(shè)計安排試驗和分析試驗結(jié)果都要 用 正交 表，因此，我們先對正交表作一介紹。 安排的4因素3水平的試驗，編上試驗號，列成另外一 種形式，見正交表L9(34)（表11-6） ?？梢杂纱说玫较盗?正

6、交表(orthogonal table)。 常用的正交表已由數(shù)學(xué)工作者制定出來，供進(jìn)行 正交設(shè)計時選用。2水平正交表除L8(27)外，還有L4(23) 、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)等 （詳見附表17及有關(guān)參考書）。 表11-6是一張正交表，記號為L9(34)，其中 “L”代表正交表；L右下角的數(shù)字“9”表示有9行 ，用這張正交表安排試驗包含3個處理(水平組 合) ；括號內(nèi)的底數(shù)“3” 表示因素的水平數(shù)，括 號內(nèi)3的指數(shù)“4”表示有4列 ，也指安排的因素 數(shù)，用這張正交表最多可以安排4個3水平因素 。 2.2 2.2 正交表的表示符號正交表的表示符號 正交表

7、記號所表示的含義歸納如下：正交表記號所表示的含義歸納如下： L Ln n ( (t t q q ） 式中：式中：L L為正交表符號，是為正交表符號，是LatinLatin的第一個字母；的第一個字母；n n為為 試驗次數(shù)，即正交表行數(shù)；試驗次數(shù)，即正交表行數(shù)；t t為因素的水平數(shù)，即為因素的水平數(shù)，即1 1 列中出現(xiàn)不同數(shù)字的個數(shù)列中出現(xiàn)不同數(shù)字的個數(shù); ;q q為最多能安排的因素數(shù)為最多能安排的因素數(shù) ，即正交表的列數(shù)。，即正交表的列數(shù)。 正交表表示方法 L9（34） 正交表列數(shù) 一列中出現(xiàn)的數(shù)字個數(shù) 正交表行數(shù) 正交表的代號 正交表中1列可以安排1個因素，因此它可安排的 因素數(shù)可以小于或等于

8、q，但不能大于q。 括號內(nèi)的tq表示q個因素、每個因素t個水平全面 試驗的水平組合數(shù)（即處理數(shù)）。因為安排因素個數(shù) 不能大于q，所以n /tq為最小部分實施。 顯然，L4(23)是最簡單的正交表，有4列3行用它 最多能安排3個2水平因素的試驗。部分試驗為4次，全 面試驗為8次，最小部分實施為1/2，即用它安排試驗 可比全面試驗少做1/2。所以，當(dāng)試驗因素數(shù)q及每個 因素的水平數(shù)t增加時n /tq則下降，節(jié)省試驗次數(shù)的效 果更明顯。 一般非等水平正交表表示為Ln (t1q1 X t2 q2） （q1不等于q2）Ln (tlq1 X t2q2 X t3q3）（q1q2q ），它們各代表一個具體的數(shù)

9、字表格。又稱 混合型正交表。 當(dāng)用非等水平正交表示為Ln (t1q1 X t2 q2 )安 排試驗時。則因素數(shù)應(yīng)不大于q1 +q2 ,且t1水平 的因素數(shù)不大于q1 ，t2水平的因素數(shù)不大于q2 ，最小部分實施為n/(t1q1+t2 q2）。 2.3 常用正交表的分類及特點 1、標(biāo)準(zhǔn)表（相同水平正交表） 2水平:L4(23）,L8 (27）,L16 (215）， 3水平:L9 (34），L27（313），L81(340）， 4水平：L16 (45）,L64 (4 21）,L256 (485）， 5水平：L25（56）,L125(5 31）,L625 (5156）， 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字相同的正

10、交表稱為相同水平 正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大數(shù)字 為2，稱為兩水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最 大數(shù)字為3，稱為3水平正交表。凡是標(biāo)準(zhǔn)表，水平數(shù) 都相等。且水平數(shù)只能取素數(shù)或素數(shù)冪。因此有7水平 ，9水平的標(biāo)準(zhǔn)表，沒有6水平，8水平的標(biāo)準(zhǔn)表。 2.3 常用正交表的分類及特點 2、非標(biāo)準(zhǔn)表（混合水平正交表） 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交 表稱為混合水平正交表。如L8(424)表中有一 列最大數(shù)字為4，有4列最大數(shù)字為2。也就是 說該表可以安排一個4水平因素和4個2水平因 素。再如L16(4423)，L16(4212)等都混合水平

11、 正交表。 2.4正交表的基本性質(zhì) 任何一張正交表都有如下三個特性： （）正交性 1、任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等 例如L8(27)中不同數(shù)字只有1和2，它們 各出現(xiàn)4次；L9(34)中不同數(shù)字有1、2和3， 它們各出現(xiàn)3次 。 2、任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出 現(xiàn)的次數(shù)相等 例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出現(xiàn)兩 次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出現(xiàn)1次。即每個因素的一個 水平與另一因素的各個水平互碰次

12、數(shù)相等，表明任意 兩列各個數(shù)字之間的搭配是均勻的。 由正交表的正交性可以看出： 正交表各列的地位是平等的，表中各列之間 可以互相置換，稱為列間置換； 正交表各行之間也可相互置換，稱行間置換 ； 正交表中同一列的水平數(shù)字也可以相互置換 ，稱水平置換。 上述3種置換即正交表的3種初等置換。經(jīng) 過初等置換所能得到的一切正交表，稱為原正 交表的同構(gòu)表或等價表，顯然，實際應(yīng)用時， 可以根據(jù)不同需要進(jìn)行變換。 (2)代表性。代表性的含義之一，在于正交 表的正交性中： 任一列的各水平都出現(xiàn)，使得部分試驗 中包含所有因素的所有水平。 任意2列間的所有組合全部出現(xiàn)，使任意 兩因素間都是全面試驗。因此，在部分試驗

13、 中，所有因素的所有水平信息及兩兩因素間 的所有組合信息都無一遺漏。這樣，雖然安 排的是部分試驗，卻能夠了解全面試驗的情 況，從這個意義上講可以代表全面試驗。 因為正交性，使部分試驗點必然均衡 地分布后全面試驗的試驗點中。所謂均衡 分散，是指用正交表挑選出來的各因素水 平組合在全部水平組合中的分布是均勻的 。 由 圖11-2可以看出，在立方體中 ，任 一平面內(nèi)都包含 3 個“()”， 任一直線上 都包含1個“()” ，因此 ，這些點代表性 強(qiáng) ，能夠較好地反映全面試驗的情況。 （3 3）綜合可比性。）綜合可比性。反映在正交性當(dāng)中：反映在正交性當(dāng)中： 任一列各水平出現(xiàn)的次數(shù)都相等。任一列各水平出

14、現(xiàn)的次數(shù)都相等。 任任2 2列間所有可能的組合出現(xiàn)的次數(shù)都相等列間所有可能的組合出現(xiàn)的次數(shù)都相等 。因此使任一因素各水平的。因此使任一因素各水平的試驗條件相同。這就試驗條件相同。這就 保證了在每列因素各個水平的效果中，最大限度保證了在每列因素各個水平的效果中，最大限度 地排除其他因素的干擾，突出本列因素的作用，地排除其他因素的干擾，突出本列因素的作用， 從而可以綜合比較該因素不同水平對試驗指標(biāo)的從而可以綜合比較該因素不同水平對試驗指標(biāo)的 影響。這種性質(zhì)稱為綜合可比性或整齊可比性。影響。這種性質(zhì)稱為綜合可比性或整齊可比性。 如在如在AA、BB、C C 3 3個因素中，個因素中，AA因素的因素的3

15、 3個水平個水平 A1A1、A2A2、A3 A3 條件下各有條件下各有 B B 、C C 的的 3 3 個不同個不同 水平，即：水平，即： 在這9個水平組合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3個水平，雖然搭配方式不同， 但B、C皆處于同等地位，當(dāng)比較A因素不同水 平時，B因素不同水平的效應(yīng)相互抵消，C因素 不同水平的效應(yīng)也相互抵消。所以A因素3個水 平間具有可比性。同樣，B、C因素3個水平間 亦具有可比性。 根據(jù)以上兩個特性，我們用正交表安排的 試驗，具有均衡分散和整齊可比的特點。 正交 表的3個基本性質(zhì)中，正交性即均衡性是核心， 是基礎(chǔ)，代表性和綜合可比性是正交性的必然 結(jié)果，從而使正交

16、表得以具體應(yīng)用。 正交表集其3個性質(zhì)于一體，成為正交試驗 設(shè)計的有效工具，用它來安排試驗，也必然具 有“均衡分散，整齊可比”的特性，代表性強(qiáng) ，效率也高。因而，實際應(yīng)用越來越廣。 交互作用的處理。在試驗設(shè)計中，交互 作一律當(dāng)做因素看待，這是處理交互作用 的一條總原則。 3 正交試驗設(shè)計的基本步驟 正交試驗設(shè)計（簡稱正交設(shè)計）的基本程 序是設(shè)計試驗方案和處理試驗結(jié)果兩大部分 。主要步驟可歸納如下： 第一步，明確試驗?zāi)康?，確定考核指標(biāo)。 第二步，挑因素，選水平。 第三步，選擇合適的正交表。 第四步，進(jìn)行表頭設(shè)計。 第五步，確定試驗方案。 第六步，試驗結(jié)果分析。 3.1明確試驗?zāi)康模_定考核指標(biāo) 試

17、驗?zāi)康?，就是通過正交試驗要想解決什 么問題。 考核指標(biāo)，就是用來衡量或考核試驗效果 的質(zhì)量指標(biāo)。試驗指標(biāo)一經(jīng)確定，就應(yīng)當(dāng)把 衡量和評定指標(biāo)的原則、標(biāo)準(zhǔn)，測定試驗指 標(biāo)的方法及所用的儀器等確定下來。這本身 就是一項細(xì)致而復(fù)雜的研究工作。 3.2 挑因素，選水平 影響指標(biāo)者稱為因素。因素在試驗中變化 的各種狀態(tài)，稱為水平。因素的變化引起指標(biāo) 的變化，正交試驗法適用于試驗中能人為加以 控制和調(diào)節(jié)的因素可控因素。選好的因素、 水平通?？闪谐梢蛩厮奖怼?3.3 選擇合適的正交表 總原則：能容納所有考察因素，又使試驗號最小 。 一般有這樣幾條規(guī)則： (1)先看水平數(shù)。根據(jù)水平數(shù)選用相應(yīng)的水平的正 交表。

18、 (2)其次看試驗要求。如只考察主效應(yīng)，則可選擇 較小的表，只要所有因素均能順序上列即可。如 果還需考察交互效應(yīng)，那么就要選用較大的表， 而且各因素的排列不能任意上列，要按照各種能 考察交互作用的表頭設(shè)計來安排因素。 3.3 選擇合適的正交表 (3)再看允許做試驗的正交表的次數(shù)和有無重點因素 要考察。如果只允許做9次試驗，而考察因素只有3- 4個，則用3水平的L9 (34）表來安排試驗。若有重 點因素要詳細(xì)考察則可選用水平數(shù)不等的正交表如 L8(4X24）等，將重點因素多取幾個水平加以詳細(xì)考 察。 要求精度高，可選較大的n值的L表。 切不可遺漏重要因素，所以可傾向于多考察些因 素。 可以先用水

19、平數(shù)少的正交表作試驗，找出重要因 素后，對少數(shù)重要因素再作有交互作用的細(xì)致考察 。 3.4 進(jìn)行表頭設(shè)計 所謂表頭設(shè)計，就是將試驗因素安排到 所選正交表的各列中去的過程。 (1)只考察主效應(yīng)，不考察交互效應(yīng)，正交 表中每一列的位置是一樣的，可以任意變換 。因此，不考察交互效應(yīng)的表頭設(shè)計非常簡 單，將所有因素任意上列即可。 (2)考察交互作用的表頭設(shè)計，各因素及各 交互作用不能任意安排，必須嚴(yán)格按交互作 用列表進(jìn)行配列。這是有交互作用正交設(shè)計 的重要特點，也是試驗方案設(shè)計的關(guān)鍵一步 。 3.4 進(jìn)行表頭設(shè)計 避免混雜，是表頭設(shè)計的一個重要原則，也是 表頭設(shè)計選優(yōu)的一個重要條件。所謂混雜，是指在

20、正交表的同一列中，安排了2個或2個以上的因素 或交互作用。這樣，就無法確定同一列中的這些不 同因素或交互作用對試驗指標(biāo)的作用效果。為避免 混雜，使表頭設(shè)計合理、更優(yōu)，那些主要因素，重 點考察的因素，涉及交互作用較多的因素，就應(yīng)該 優(yōu)先安排；而另一些次要因素，涉及交互作用較少 的因素和不涉及交互作用的因素，可放在后面安排 。表11-10是L8(4X24)的表頭設(shè)計。 3.5 排出試驗方案 【例1】 鴨肉保鮮天然復(fù)合劑的篩選。雖然有機(jī)酸 和鹽處理對鴨肉保鮮有明顯效果，但是大部分有機(jī)酸 和鹽屬于合成的化學(xué)藥劑，在衛(wèi)生安全上得不到保證 ，并且不符合消費者純天然，無污染的要求，試驗以 茶多酚作為天然復(fù)合

21、保鮮劑的主要成分，分別添加不 同的增效劑、被膜劑和不同的浸泡時間，進(jìn)行了4因素 和4水平的正交試驗，試安排一個正交試驗方案。 正交設(shè)計一般有以下幾個步驟： （1）明確目的，確定指標(biāo)：本例是一個食品加工工藝 的研究試驗，目的是通過試驗，尋求一個最佳的鴨肉 天然復(fù)合保鮮劑。 （2）挑因素、選水平 影響試驗結(jié)果的因素很多，我們不可 能把所有影響因素通過一次試驗都予以研究 ，只能根據(jù)以往的經(jīng)驗，挑選和確定若干對 試驗指標(biāo)影響最大、有較大經(jīng)濟(jì)意義而又了 解不夠清楚的因素來研究。同時還應(yīng)根據(jù)實 際經(jīng)驗和專業(yè)知識，定出各因素適宜的水平 ，列出因素水平表。【例1】的因素水平表 如表11-11所示，選定了4個因

22、素，每個因素 4個水平的正交試驗。 (3) 選用合適的正交表 確定了因素及其水平后，根據(jù)因素、水平及需要 考察的交互作用的多少來選擇合適的正交表。選用正 交表的原則是：既要能安排下試驗的全部因素，又要 使部分水平組合數(shù)（處理數(shù)）盡可能地少。一般情況 下，試驗因素的水平數(shù)應(yīng)恰好等于正交表記號中括號 內(nèi)的底數(shù)；因素的個數(shù)（包括交互作用）應(yīng)不大于正 交表記號中括號內(nèi)的指數(shù)；各因素及交互作用的自由 度之和要小于所選正交表的總自由度，以便估計試驗 誤差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所選正 交表總自由度，則可采用有重復(fù)正交試驗來估計試驗 誤差。本例選L16（45）最合適，有1空列，可以作為 試驗誤差

23、以衡量試驗的可靠性。 (4) (4) 表頭設(shè)計表頭設(shè)計 所謂表頭設(shè)計，就是把挑選出的因素和所謂表頭設(shè)計，就是把挑選出的因素和 要考察的交互作用分別排入正交表的表頭適要考察的交互作用分別排入正交表的表頭適 當(dāng)?shù)牧猩稀．?dāng)?shù)牧猩稀?在不考察交互作用時，各因素可隨機(jī)安在不考察交互作用時，各因素可隨機(jī)安 排在各列上；若考察交互作用，就應(yīng)按該正排在各列上；若考察交互作用，就應(yīng)按該正 交表的交互作用列表安排交表的交互作用列表安排 各各 因因 素與交互作素與交互作 用。用。 此例不考察交互作用，可將此例不考察交互作用，可將 ( (A)A)、 ( (B)B)和和 ( (C)C)依次安排在依次安排在L L16 1

24、6(4 (4 5 5 ) )的第的第1 1、2 2、 3 3列上，第列上，第 4 4 列列 為空列，見表為空列，見表11-1211-12。 (5) 排出試驗方案 把正交表中安排各因素的每個列(不包含 欲考察的交互作用列)中的每個數(shù)字依次換成該 因素的實際水平，就得到一個正交試驗方案。 表11-12就是例11-2 的正交試驗方案。 從而得出試驗的16個處理，即：123 3，241 2 ，343 4，421 1，131 4，213 1，311 3，433 2，114 2，232 3，334 1，412 4，142 1，224 4，322 2，444 3。 【例2】要生產(chǎn)某種食品添加劑，根據(jù)試驗發(fā)現(xiàn)

25、影響添 加劑收率的因素有4個，每個因素設(shè)置2種水平（表11- 13）。 本例有4個因素，如果安排后L8 (27）表中，從表11-8 L8(27)表頭設(shè)計可以查出,4個因素應(yīng)安排在1,2,4,7列為 好，這樣考察4個因素各自的效應(yīng)都不會與交互作用混 雜。另外根據(jù)專業(yè)知識可知，D因素與A，B，C3因素 之間沒有或者少有交互作用。故將D因素安排后第七 列，則3，5，6列就僅為AXB，AXC和BXC單獨的交 互作用。 本例有4個因素，如果安排后L8 (27）表中，從表 11-8 L8(27)表頭設(shè)計可以查出,4個因素應(yīng)安排在 1,2,4,7列為好，這樣考察4個因素各自的效應(yīng)都不會 與交互作用混雜。另外

26、根據(jù)專業(yè)知識可知，D因素 與A，B，C3因素之間沒有或者少有交互作用。故 將D因素安排后第七列，則3，5，6列就僅為AXB ，AXC和BXC單獨的交互作用。 4正交試驗的結(jié)果分析 4.1直觀分析法（極差分析法） 凡采用正交表設(shè)計的試驗，都可用正交 表分析試驗的結(jié)果，正交試驗的結(jié)果分析， 有直觀分析和方差分析2種方法，現(xiàn)分別予 以介紹。 4.1.1不考慮交互作用的分析法 現(xiàn)對【例1】進(jìn)行分析，該試驗的結(jié)果見表 11-14。 分析方法：首先從16個處理中直觀地找出最優(yōu)處理組合 為9號處理，即A1B1C4D2，指標(biāo)為38.79；其次為13號處理 A1B4C2D1，指標(biāo)為38.02，但是究竟哪一個是最

27、好的指標(biāo)呢 ？現(xiàn)后通過直觀分析進(jìn)行驗證： 4、正交試驗結(jié)果的結(jié)果分析 若各號試驗處理都只有一個觀測值，則稱 之為單獨觀測值正交試驗；若各號試驗處理都 有兩個或兩個以上觀測值，則稱之為有重復(fù)觀 測值正交試驗。 下面分別介紹單獨觀測值和有重復(fù)觀測正 交試驗結(jié)果的方差分析。 4.1.2 考察交互作用的試驗結(jié)果分析 考察交互作用的試驗結(jié)果的分析方法與前面并無本質(zhì)不同，只是 ：應(yīng)把每個互作當(dāng)成一個因素看待進(jìn)行分析；應(yīng)根據(jù)互作的效應(yīng) ，選擇出最優(yōu)試驗組合。見表11-15。 4.2.1 無重復(fù)試驗的方差分析 這種分析方法要求用正交表設(shè)計試驗時， 必須留有不排入因素或互作的空例，以作為誤 差的估計值。 【例3

28、】某食品廠或產(chǎn)口香糖，檢驗口香糖的 質(zhì)量好壞需要分析：拉伸率（越大越好）； 變形（越小越好）；耐彎曲次數(shù)（越多越 好）這3種指標(biāo)，要求對3種指標(biāo)都取得較好水 平，現(xiàn)要進(jìn)行口香糖配方的試驗分析，因素水 平表見表11-17，結(jié)果分析見表11-18。 資料整理：本試驗3個指標(biāo)同等重要，我們只以拉 伸率1項為例作方差分析，其余2項及綜合考察留 給大家作練習(xí)之用。 表11-18中一共有A，B，C，D4項因素，每一因 素為4水平，每一水平的重復(fù)次數(shù)為4次，總次數(shù) 為16次(n)。 自由度與平方和分解： 該次試驗的16個觀測值總變異由A因素、B因 素、C因素、D因素及誤差變異五部分組成，因而 進(jìn)行方差分析時

29、平方和與自由度的劃分式為： SST = SSA+SSB+SSC + SSD +SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfD + dfe 表11-18中，Ki為各因素同一水平試驗指標(biāo)（拉伸 率%）之和。 如 A因素第1水平 K1=y1+y2+y3 +y4 =545+490+515+505=2055 A因素第2水平 K2=y5+y6 + y7 +y8 =492+485+499+480=1956 ， A因素第3水平 K3=y9+y10+y11+y12 =566+539+511+515=2131 ， A因素第4水平 K4=y13+y14+y15+y16 =535+488+495+47

30、5=1993 B B因素第因素第1 1水平水平 K K1 1= =y y1 1 +y+y 5 5 +y+y9 9 +y +y13 13 =545+492+566+535=2138 =545+492+566+535=2138 ， B B因素第因素第3 3水平水平 K K3 3= =y y3 3 +y+y 7 7 +y+y11 11 +y +y15 15 =515+499+511+495=2020 =515+499+511+495=2020 同理可求得同理可求得C C因素和因素和D D因素各水平試驗指標(biāo)之因素各水平試驗指標(biāo)之 和。和。 為各因素同一水平試驗指標(biāo)的平均數(shù)。 如A因素第1水平 =205

31、5/4=513.75， A因素第2水平 =1956/4=489.0， A因素第3水平 =2131/4=532.75， A因素第4水平 =1993/4=489.25， 同理可求得B、C因素各水平試驗指標(biāo)的平均數(shù) 。 1 1、計算各項平方和與自由度計算各項平方和與自由度 矯正數(shù)矯正數(shù) C = TC = T 2 2 /n /n = 8135= 8135 2 2 /15 = 4136139.063/15 = 4136139.063 總平方和總平方和 SSSST T = = y y 2 2 -C-C =545=545 2 2 +490+490 2 2 + +475+4752 2 - - 4136139.

32、063 4136139.063 =10167.9375 =10167.9375 AA因素平方和因素平方和 SSSSAA= /a-C /a-C =(2055=(2055 2 2 +1956+1956 2 2 +2131+2131 2 2 +1993+1993 2 2 )/4 )/4 4136139.0634136139.063=4403.6875 =4403.6875 BB因素平方和因素平方和 SSSSBB = = /b-C/b-C =(2138=(2138 2 2 +2002+2002 2 2 +2020+2020 2 2 +1975+1975 2 2 )/4)/4 -4136139.063-

33、4136139.063 =3897.1875=3897.1875 C因素平方和 SSC=T2C/c-C =(20162+19922+20212 +20782)/4 4136139.063 =1062.1875 D因素平方和 SSD=T2D/d-C =(20472+20162+20212 +20512)/4 4136139.063 =237.6875 誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC-SSD =10167.9375-4403.6875- 3879.1875 1062.1875-237.6875 =585.1875 總自由度總自由度 dfdf T T = =n-1n-1=16-1

34、=15=16-1=15 A A因素自由度因素自由度 dfdf A A = =k k a a -1-1=4-1=3=4-1=3 B B因素自由度因素自由度 dfdf B B = =k kb b -1-1=4-1=3=4-1=3 C C因素自由度因素自由度 dfdf C C = =k k c c -1-1=4-1=3=4-1=3 D D因素自由度因素自由度 dfdf d d = =k kd d -1-1=4-1=3=4-1=3 誤差自由度誤差自由度 dfdf e e = = dfdf T T -df-df A A -df-df B B -df-df C C - -dfdf d d = 15-3-3

35、-3 -3= 3 = 15-3-3-3 -3= 3 2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗 F 檢驗結(jié)果表明，四個因素對拉伸率的影 響都不顯著。究其原因可能是本例試驗誤差大 且誤差自由度小(僅為3)，使檢驗的靈敏度低， 從而掩蓋了考察因素的顯著性。由于各因素對 增重影響都不顯著，不必再進(jìn)行各因素水平間 的多重比較。此時，可直觀地從表11-18中選擇 平均數(shù)大的水平A3、B1、C3、 D4組合成最優(yōu)水 平組合A3B1C3 D4 。 上述無重復(fù)正交試驗結(jié)果的方差分析，其 誤差是由“空列”來估計的。然而“空列”并不空 ，實際上是被未考察的交互作用所占據(jù)。這種 誤差既包含試驗誤差，也包含交互作用，稱為 模型誤

36、差。若交互作用不存在，用模型誤差估 計試驗誤差是可行的；若因素間存在交互作用 ，則模型誤差會夸大試驗誤差，有可能掩蓋考 察因素的顯著性。這時，試驗誤差應(yīng)通過重復(fù) 試驗值來估計。所以，進(jìn)行正交試驗最好能有 二次以上的重復(fù)。正交試驗的重復(fù)，可采用完 全隨機(jī)或隨機(jī)單位組設(shè)計。 多重比較。從本試驗的方差分析，相對來 說A因素和B因素為重要因素，C因素和D因 素為次要因素。對A，B兩因素進(jìn)行多重比較 表11-20至表11-22，用LSR法。 當(dāng)當(dāng)dfdf e e =3=3時時，多重比較的結(jié)果以A3和B1為最好，另 外A3和B1也可考慮，作為分析其他指標(biāo)后綜合平衡選 擇之用。從拉伸率這一指標(biāo)來講，最優(yōu)組合

37、為：A：膠 基添加量21；B：葡萄糖漿添加量17；C，D因素 不論。 4.2.2 有重復(fù)觀測值正交試驗結(jié)果的方差分析 有重復(fù)試驗的方差分析與無重復(fù)試驗的方差分 析，除誤差平方和、自由度的計算有所不同外， 其余各項計算基本相同。 【例4】有一水稻3因素試驗，A因素為品種(4水平）； B因素為栽插密度(2水平);C因素為施肥量(2水平)；選用 L8 (4 X24)，其表頭設(shè)計和產(chǎn)量結(jié)果（小區(qū)面積30 m2） 。見表11-23。 用n表示試驗(處理)號數(shù)，r表示試驗處 理的重復(fù)數(shù)。a、b、c、ka、kb、kc的意義同上。 對于有重復(fù)、且重復(fù)采用隨機(jī)單位組設(shè)計 的正交試驗，總變異可以劃分為處理間、單位

38、 組間和誤差變異三部分，而處理間變異可進(jìn)一 步劃分為A因素、B因素、C因素與模型誤差變 異四部分。此時，平方和與自由度劃分式為： SST=SSt+SSr+SSe2 dfT = dft + dfr + dfe2 而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft = dfA + dfB + dfC + dfe1 于是 SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2 dfT = dfA + dfB + dfC + dfr + dfe1 + dfe2 式中：SSr為單位組間平方和；SSe1為模型 誤差平方和；SSe2為試驗誤差平方和；SSt為處 理間平方和；dfr、dfe1、dfe2

39、、dft為相應(yīng)自由度 。 注意，對于重復(fù)采用完全隨機(jī)設(shè)計的正交 試驗，在平方和與自由度劃分式中無SSr、dfr 項。 1、計算各項平方和與自由度 矯正數(shù) C =T2/ r n = 4962/38 =10250.67 總平方和總平方和 SSSS T T = = x x 2 2 -C-C =17=17 2 2 +16+16 2 2 + +26+262 2 - 10250.67 - 10250.67 =451.33 =451.33 單位組間平方和單位組間平方和 SSSS r r = = T T 2 2 r r /n-C /n-C =(169=(169 2 2 +165+1652 2 +162 +16

40、2 2 2 )/8 - 10250.67 )/8 - 10250.67 =3.08 =3.08 處理間平方和 SSt = T2t / r - C = (522+592+822)/3 - 10250.67 = 406.67 A因素平方和 SSA = T2A / ar - C = (1112+1382+932 +1542)/23 -10250.67 = 371.0 B B因素平方和因素平方和 SSSSB B = = T T 2 2 B B / / br br - C - C =(245=(245 2 2 +251+251 2 2 )/4)/4 3 -3 -10250.67 10250.67 =1.

41、50 =1.50 C C因素平方和因素平方和 SSSSC C = = T T 2 2 C C / / cr cr - C - C = (234 = (234 2 2 +262+262 2 2 )/4)/4 3 -3 -10250.67 10250.67 = 32.66 = 32.66 模型誤差平方和模型誤差平方和 SSSSe1 e1 = = SSSS t t SS SSA A SS SSB B - SS - SS C C =406.67-371.00-0 32.67 =406.67-371.00-0 32.67 =3.00 =3.00 試驗誤差平方和試驗誤差平方和 SSSSe2 e2 = =S

42、S SST T SSSS r r - - SSSS t t =451.33-3.08 405.16 =451.33-3.08 405.16 =41.58 =41.58 總自由度 dfT=rn-1=38-1=23 單位組自由度 dfr=r-1=3-1=2 處理自由度 dft=n-1=8-1=7 A因素自由度 dfA=ka-1=4-1=3 B因素自由度 dfB=kb-1=2-1=1 C因素自由度 dfC=kc-1=2-1=1 模型誤差自由度模型誤差自由度 dfdfe1 e1= = dfdf t t -df-df A A -df-df B B -df-df C C = 7-3-1-1= 2 = 7-

43、3-1-1= 2 試驗誤差自由度試驗誤差自由度 dfdfe2 e2= =df df T T -df-df t t - - dfdf r r =23-7-2 = =23-7-2 = 1414 2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗 首先檢驗MSe1與MSe2差異的顯著性，若經(jīng)F檢驗 不顯著，則可將其平方和與自由度分別合并，計算出 合并的誤差均方，進(jìn)行F檢驗與多重比較，以提高分析 的精度；若F檢驗顯著，說明存在交互作用，二者不能 合并，此時只能以MSe2進(jìn)行F檢驗與多重比較。本例 MSe1/ MSe21，MSe1與MSe2差異不顯著，故將誤差平 方和與自由度分別合并計算出合并的誤差均方MSe， 即 MSe

44、 = ( SSe1+ SSe2)/(dfe1+ dfe2) = (3.00+41.58)/(2+14) = 2.78625 并用合并的誤差均方MSe進(jìn)行F檢驗與多重比較。 F檢驗結(jié)果表明，A、C因素對水稻產(chǎn)量有 顯著影響，B因素作用不顯著。 4、 A因素各水平平均數(shù)的多重比較 表11-25 A因素各水平平均數(shù)多重比較表 (SSR法) 單位：% 在實際研究中，有時試驗因素之間存在交互作 用。對于既考察因素主效應(yīng)又考察因素間交互 作用的正交設(shè)計，除表頭設(shè)計和結(jié)果分析與前 面介紹略有不同外，其它基本相同。 【例5】 某一種抗菌素的發(fā)酵培養(yǎng)基由A、B、 C 3種成分組成，各有兩個水平，除考察A、B 、

45、C三個因素的主效因外，還考察A與B、B與C 的交互作用。試安排一個正交試驗方案并進(jìn)行 結(jié)果分析。 (一) 選用正交表，作表頭設(shè)計 由于本試驗 有3個兩水平的因素和兩個交互作用需要考察， 各項自由度之和為：3(2-1)+2(2-1)(2-1)=5 ，因此可選用L8(27)來安排試驗方案。 正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基 本列就是各因素所占的列，交互列則為兩因素 交互作用所占的列?？衫肔8(27)二列間交互作 用列表(見表12-30)來安排各因素和交互作用。 如果將如果將A A因素放在第因素放在第1 1列列 ，B B 因素因素 放在第放在第 2 2列，查表列，查表 可知，第可知，第

46、1 1列與第列與第2 2列的交互作用列是第列的交互作用列是第3 3列列 ，于是將，于是將 A A與與 B B 的交互作用的交互作用 A A B B放在第放在第3 3列。這樣第列。這樣第3 3列不能再安排其列不能再安排其 它因素它因素 ，以免出現(xiàn)，以免出現(xiàn)“ “混雜混雜” ”。然后將。然后將C C放在第放在第4 4列，列， 查表查表 可可 知，知，B B C C應(yīng)放在第應(yīng)放在第6 6列，余下列為空列列，余下列為空列 ，如此可得表頭設(shè)，如此可得表頭設(shè) 計，見表計，見表12-3112-31。 (二) 列出試驗方案 根據(jù)表頭設(shè)計，將A、B、C各列對應(yīng)的數(shù) 字“1”、“2”換成各因素的具體水平，得出試驗

47、 方案列于表12-32。 (三) 結(jié)果分析 按表12-33所列的試驗方案 進(jìn)行試驗，其結(jié)果見表12-34。 表中Ti、 計算方法同前。此例為單獨觀測 值正交試驗，總變異劃分為A因素、B因素、C 因素、AB、BC、與誤差變異5部分，平方和 與自由度劃分式為： SST=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSBC+SSe dfT = dfA + dfB + dfC +dfAB + dfBC + dfe 1 1、計算各項平方和與自由度計算各項平方和與自由度 矯正數(shù)矯正數(shù) C=TC=T 2 2 /n/n=665=665 2 2 /8=55278.1250/8=55278.1250 總平方和總平方和 SS

48、SS T T = = x x 2 2 -C-C =55=55 2 2 +38+38 2 2 + +61+612 2 -55278.1250 -55278.1250 =6742.8750=6742.8750 A A因素平方和因素平方和 SSSS A A = = T T 2 2 A A /a-C/a-C=(279=(279 2 2 +386+386 2 2 )/4)/4 -55278.1250=1431.1250 -55278.1250=1431.1250 B因素平方和 SSB=T2B/b-C =(3392+3262)/4-55278.1250 =21.1250 C因素平方和 SSC=T2C/c-

49、C =(3532+3122)/4-55278.1250 =210.1250 AB平方和 SSAB=T2AB/4-C =(2332+4322)/4 -55278.1250 =4950.1250 BC平方和 SSBC =T2BC /4 - C = (3272+3382)/4 - 55278.1250 = 15.1250 誤差平方和 SSe = SST-SSA-SSB-SSAB-SSBC = 6742.8750-1431.1250-21.1250 -210.1250-4950.1250-15.1250 =115.2500 總自由度總自由度 dfdf T T =n-=n-1=8-1=71=8-1=7

50、各因素自由度各因素自由度 dfdf A A = =dfdf B B = =dfdf C C =2-1=1=2-1=1 交互作用自由度交互作用自由度 dfdfA A B B= =dfdfB B C C =(2-1) =(2-1) (2-1)=1(2-1)=1 誤差自由度誤差自由度 dfdf e e = =dfdf T T -df-df A A -df-df C C -df-dfA A B B - -dfdfB B C C =7-1-1-1-1-1 =7-1-1-1-1-1 =2 =2 * *試驗結(jié)果以對照為試驗結(jié)果以對照為100100計。計。 2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗 F檢驗結(jié)果表明：A因

51、素和交互作用AB顯 著，B、C因素及BC交互作用不顯著。因交互 作用AB顯著，應(yīng)對A與B的水平組合進(jìn)行多重 比較，以選出A與B的最優(yōu)水平組合。 3、A與B各水平組合的多重比較 先計算出A與B各水平組合的平均數(shù)： A1B1水平組合的平均數(shù)=(55+38)/2=46.50 A1B2水平組合的平均數(shù)=(97+89)/2=93.00 A2B1水平組合的平均數(shù)=(122+124)/2=123.00 A2B2水平組合的平均數(shù)=(79+61)/2=70.00 列出A、B因素各水平組合平均數(shù)多重比較 表，見表12-35。 因為因為 由由dfdf e e =2=2與與k k=2, 3, 4, =2, 3, 4, 查臨界查臨界q q值，并計算值，并計算 出出LSRLSR值，見表值，見表12-3612-36。 多重比較結(jié)果表明，A2B1顯著優(yōu)于A2B2， A1B1；A1B2顯著優(yōu)于A1B1，其余差異不顯著。 最優(yōu)水平組合為A2B1。 從以上分析可知，A因素取A2，B因素取B1 ，若C因素取C1，則本次試驗結(jié)果的最優(yōu)水平 組合為A2B1C1。