《高等數(shù)學(xué)課件：2-1 導(dǎo)數(shù)概念》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)課件：2-1 導(dǎo)數(shù)概念（47頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.1 導(dǎo)數(shù)概念一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義,基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系一、引例一、引例000lim()()lim()lim.ttts ttssvttvtt 1.1.變速變速直線運(yùn)動(dòng)在直線運(yùn)動(dòng)在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度時(shí)刻的瞬時(shí)速度t 2.2.曲線曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線斜率處的切線斜率x11000000limtanlim tanlim(),()(l)lim()liimm.xxxxxxkkxf xxf xkxkxxy 3.3.非均勻非均勻細(xì)棒在點(diǎn)細(xì)棒在點(diǎn) 處的線密度處的線密度xoxlxxx

2、()mm x()m xxm.ml均勻時(shí)，各點(diǎn)的線密度均勻時(shí)，各點(diǎn)的線密度,()()xx xm xxm xmxx非均勻時(shí)，段的平均線密度非均勻時(shí)，段的平均線密度，00()()llimimxxxm xxm xxmx 非均勻時(shí)，點(diǎn)的線密度非均勻時(shí)，點(diǎn)的線密度.3 所求 個(gè)量的物理意義各不相同，但在數(shù)學(xué)上處理的方法所求 個(gè)量的物理意義各不相同，但在數(shù)學(xué)上處理的方法是一樣的，得到了相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：是一樣的，得到了相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：00()()limlim.xxf xxf xxyx 二、導(dǎo)數(shù)的定義,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxx

3、fy 記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)并稱這個(gè)極限為函并稱這個(gè)極限為函處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果得增量得增量取取相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量有定義有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)1.定義定義.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量

4、隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn) x.)(,)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在開區(qū)間在開區(qū)間就稱函數(shù)就稱函數(shù)處都可導(dǎo)處都可導(dǎo)內(nèi)的每點(diǎn)內(nèi)的每點(diǎn)在開區(qū)間在開區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxfy 2.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個(gè)確定的的一個(gè)確定的都對(duì)應(yīng)著都對(duì)應(yīng)著對(duì)于任一對(duì)于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意:.)()(.100 x

5、xxfxf 3.播放播放2.導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).4.2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且)(af 及及)(bf 都存在，就說(shuō)都存在，就說(shuō))(xf在閉區(qū)間在

6、閉區(qū)間 ba,上可導(dǎo)上可導(dǎo).,),(),()(000可導(dǎo)性可導(dǎo)性的的討論在點(diǎn)討論在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存在存在xf 則則)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x可可導(dǎo)導(dǎo)，,)(0存在存在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且5、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求

7、函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 1log (0,1),1ln.lnaxaaxxax 解：設(shè)解：設(shè) ，則，則lnyxln()lnln 1,xyxxxx 故故1000ln 1limlimlim ln 1xxxxxyxxyxxx 1101ln lim 1lne.xxxxxx 例例3.)1,0

8、(log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaxyahxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例4 4.0)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(xfy T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(

9、,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2,21(1方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點(diǎn)處的切線并寫出在該點(diǎn)處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1(xx2121 xx.4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy.044 yx即即

10、.01582 yx即即四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).證證,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例.,)()()(,)(.1000函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)的角點(diǎn)的角點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角點(diǎn)的角點(diǎn)為為處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在

11、在xfxx 注意注意:該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.31xyxy01)(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可導(dǎo)不可導(dǎo)有無(wú)窮導(dǎo)數(shù)有無(wú)窮導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)稱函數(shù)稱函數(shù)但但連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如,1)(3 xxf.1處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x.,)()(.30點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)則則指擺動(dòng)不定指擺動(dòng)不定不存在不存在在連續(xù)點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都在連續(xù)點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都函數(shù)函數(shù)xxf,0,00,1sin)(xxxxxf例如例如,.0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x011/1/xy.)()(,)(.4000不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)的尖點(diǎn)的尖點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)符

12、號(hào)相反符號(hào)相反的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)且在點(diǎn)且在點(diǎn)若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例例8 8.0,0,00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyx.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限增量比的極限;2.axf )(0 )

13、(0 xf;)(0axf 3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率切線的斜率;4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線

14、位置切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率

15、的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).