《《導(dǎo)數(shù)概念》教學(xué)設(shè)計(jì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《導(dǎo)數(shù)概念》教學(xué)設(shè)計(jì)（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一、引例 二、導(dǎo)數(shù)的定義 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 2.1 導(dǎo)數(shù)概念一、引例設(shè)動(dòng)點(diǎn)于時(shí)刻在直線上所處的位置為s，于是s=f(t)，稱(chēng)此函數(shù)為位置函數(shù)位置函數(shù)。該如何定義動(dòng)點(diǎn)在某一時(shí)刻的某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度呢? 1.直線運(yùn)動(dòng)的速度 求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0 y0)處的切線的斜率 在曲線上另取一點(diǎn)N(x0+x y0+y) 作割線MN 設(shè)其傾角為j 觀察切線的形成 2.切線問(wèn)題 當(dāng)x0時(shí) 動(dòng)點(diǎn)N將沿曲線趨向于定點(diǎn)M 從而割線MN也將隨之變動(dòng)而趨向于切線MT 此時(shí)割線MN的斜率趨向于切線MT的斜率 xyxx=00limtanlimtanjxxfxxfx+=)()(

2、lim000 xxfxxfxyxfxx+=)()(limlim)(00000 二、導(dǎo)數(shù)的定義存在 則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo) 并稱(chēng)此極限值為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 記為f (x0) 即xxfxxfxyxfxx+=)()(limlim)(00000 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn) x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 如果極限v導(dǎo)數(shù)的定義1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù) 如果上述極限不存在 則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)的其它符號(hào)導(dǎo)數(shù)的其它定義式hxfhxfxfh)()(lim)(0000+= 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx= 0|xxy= 0 xxdxdy=或0 )(xxdxxdf

3、= 導(dǎo)數(shù)的定義式:xxfxxfxyxfxx+=)()(limlim)(00000 例1 求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù) 解 hxfhxfxfh)()(lim)(0000+=00)()(lim0 xxxfxfxx= xxxfxffxx+=+=22002)2(lim) 2()2(lim) 2(4)4(lim0=+=xx4) 2(lim22lim2) 2()(lim) 2(22222=+=xxxxfxffxxx或xxxfxffxx+=+=22002)2(lim) 2()2(lim) 2(4) 2(lim22lim2) 2()(lim) 2(22222=+=xxxxfxffxxx4) 2(lim22

4、lim2) 2()(lim) 2(22222=+=xxxxfxffxxxxxfxxfxyxfxx+=)()(limlim)(00000 導(dǎo)數(shù)的定義式:hxfhxfxfh)()(lim)(0000+=00)()(lim0 xxxfxfxx= xxfxxfxyxfxx+=)()(limlim)(00000 導(dǎo)數(shù)的定義式:導(dǎo)函數(shù)的定義 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)x都對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)值則這一對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定的函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù) 簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù) 記作y)(xf dxdy 或dxxdf)( 提問(wèn): 導(dǎo)函數(shù)的定義式如何寫(xiě)? f (x0)與f (x)是什么關(guān)系?hxhxhxfhxfxfhh11li

5、m)()(lim)(00+=+= 例2 求函數(shù)f(x)=C 的導(dǎo)數(shù)(C為常數(shù)) 解 即 (C)=0 解 f (x)hxfhxfh)()(lim0+=0lim0=hCChhxfhxfh)()(lim0+=0lim0=hCCh 2.求導(dǎo)數(shù)舉例 解 例 2 求xxf1)(=的導(dǎo)數(shù) 例3 2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh=+=+=2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh=+=+=2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh=+=+= hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(00+=+=解 hxhxhxfhxfxfhh+=+=00lim)()(li

6、m)( 解 例 3 求xxf=)(的導(dǎo)數(shù) 例4 hxhxhxfhxfxfhh+=+=00lim)()(lim)( xxhxxhxhhhh211lim)(lim00=+=+=xxhxxhxhhhh211lim)(lim00=+=+=xxhxxhxhhhh211lim)(lim00=+=+= 2.求導(dǎo)數(shù)舉例 (C)=0 21)1(xx=(C)=0 21)1(xx= xx21)(=21)1(xx= xx21)(= 1)(=xx (C)=0 21)1(xx=(C)=0 21)1(xx= xx21)(=21)1(xx= xx21)(= 1)(=xxxx21)(= 1)(=xx 2.求導(dǎo)數(shù)舉例 解 f (

7、a)axafxfax=)()(limaxaxnnax=lim 例5 求函數(shù)f(x)=x n (n為正整數(shù))在x=a處的導(dǎo)數(shù) 更一般地 有 (x )=x1(其中為常數(shù)) 把以上結(jié)果中的a換成x得f (x)=nxn1 即(xn)=nxn1 解 =nan1axafxfax=)()(limaxaxnnax=lim (xn1+axn2+ +an1)ax=lim (C)=0 21)1(xx=(C)=0 21)1(xx= xx21)(=21)1(xx= xx21)(= 1)(=xxxx21)(= 1)(=xx 2.求導(dǎo)數(shù)舉例 例6 求函數(shù)f(x)=sin x的導(dǎo)數(shù) 解 解 f (x)hxfhxfh)()(l

8、im0+=hxhxhsin)sin(lim0+=2sin)2cos(21lim0hhxhh+=xhhhxhcos22sin)2cos(lim0=+=hxfhxfh)()(lim0+=hxhxhsin)sin(lim0+= xhhhxhcos22sin)2cos(lim0=+= (sin x)=cos x 同理可得(cos x)=sin x (C)=0 21)1(xx=(C)=0 21)1(xx= xx21)(=21)1(xx= xx21)(= 1)(=xxxx21)(= 1)(=xx 2.求導(dǎo)數(shù)舉例 例7 求函數(shù)f(x)=ax(a0 a 1)的導(dǎo)數(shù) 解 解 f (x)hxfhxfh)()(li

9、m0+=haaxhxh=+0limhxfhxfh)()(lim0+=haaxhxh=+0lim haahhx1lim0=tah=1令)1 (loglim0ttaatx+haahhx1lim0=tah=1令)1 (loglim0ttaatx+haahhx1lim0=tah=1令)1 (loglim0ttaatx+ aaeaxaxlnlog1= (sin x)=cos x (cos x)=sin x (C)=0 21)1(xx=(C)=0 21)1(xx= xx21)(=21)1(xx= xx21)(= 1)(=xxxx21)(= 1)(=xx (ax)=axln a 特別地有(ex )=ex 2

10、.求導(dǎo)數(shù)舉例 例8 求對(duì)數(shù)函數(shù)y=log ax的導(dǎo)數(shù) 解 解hxhxxfaahlog)(loglim)(0+=)1 (log1lim0 xhhah+=hxhxxfaahlog)(loglim)(0+=)1 (log1lim0 xhhah+= hxahxhx)1 (loglim10+=axexaln1log1=hxahxhx)1 (loglim10+=axexaln1log1= (sin x)=cos x (cos x)=sin x (C)=0 21)1(xx=(C)=0 21)1(xx= xx21)(=21)1(xx= xx21)(= 1)(=xxxx21)(= 1)(=xx (ax)=axl

11、n a axxaln1)(log= xx1)(ln=2.求導(dǎo)數(shù)舉例 以上得到的是部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 axxaln1)(log= xx1)(ln= 特別地有特別地有(ex )=ex 3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo)是指函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo) 函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上可導(dǎo)是指函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo) 且在a點(diǎn)有右導(dǎo)數(shù)、在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性 f(x)在0 x處的左導(dǎo)數(shù) f(x)在0 x處的右導(dǎo)數(shù)處的左導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00+= 處的右導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00+=+ Axf=)(0A

12、xfxf=+)()(00 例9 求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系A(chǔ)xf=)(0Axfxf=+)()(00 f(x)在0 x處的左導(dǎo)數(shù) f(x)在0 x處的右導(dǎo)數(shù)處的左導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00+= 處的右導(dǎo)數(shù)hxfhxfxfh)()(lim)(00+=+ 1|lim)0()0(lim)0(00=+=+hhhfhffhh 因?yàn)閒 (0) f +(0) 解 1|lim)0()0(lim)0(00=+=hhhfhffhh 解 所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)1|lim) 0()0(lim) 0(00=+=hhhfhffhh 1|lim)0()0(

13、lim)0(00=+=+hhhfhffhh 3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 導(dǎo)數(shù) f (x0)在幾何上表示曲線 y=f(x) 在點(diǎn) M(x0 f(x0)處的切線的斜率 即f (x0)=tan 其中是切線的傾角 )()(1000 xxxfyy= 切線方程為 yy0=f (x0)(xx0) 法線方程為解 21xy= 解 所求法線方程為 并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程 例10 例 8 求等邊雙曲線xy1=在點(diǎn))2 ,21(處的切線的斜率 所求切線及法線的斜率分別為 4)1(2121=xxk 所求切線方程為 )21(42=xy 即4x+y4=0 )21(412=xy 即2x8y+15=0 4)1(

14、2121=xxk 41112=kk 例 9 求曲線xxy=的通過(guò)點(diǎn)(0 4)的切線方程 例11 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0 解 0212302323)()(0 xxxxfxx=于是所求切線的方程可設(shè)為 )(230000 xxxxxy= 已知點(diǎn)(0 4)在切線上 所以 )0(2340000 xxxx= 解之得x0=4) 4(42344=xy 即 3xy4=0 于是所求切線的方程為則切線的斜率為 0212302323)()(0 xxxxfxx=0212302323)()(0 xxxxfxx= ) 4(42344=xy 即 3xy4=0 四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系v結(jié)論 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處

15、可導(dǎo) 則它在點(diǎn)x0處連續(xù) 這是因?yàn)閼?yīng)注意的問(wèn)題: 這個(gè)結(jié)論的逆命題不成立 即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù) 但在點(diǎn)x0處不一定可導(dǎo) 00)(limlimlimlim00000=xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000=xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000=xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000=xfxxyxxyyxxxx 連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)例 7 函數(shù)3)(xxf=在區(qū)間(, +)內(nèi)連續(xù) 但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo) 例12 hfhfh) 0()0(lim0+=hhh0lim30hfhfh) 0()0(lim0+=hhh0lim30hfhfh)0()0(lim0+=hhh0lim30 例13 函數(shù)y=|x|在區(qū)間( +)內(nèi)連續(xù) 但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo) 這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=0處導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大