《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 高考八大高頻考點(diǎn)例析學(xué)案 北師大版選修1 -1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 高考八大高頻考點(diǎn)例析學(xué)案 北師大版選修1 -1（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 高考八大高頻考點(diǎn)例析學(xué)案 北師大版選修1 -1 命題及其關(guān)系 考查方式 　　以四種命題，邏輯聯(lián)結(jié)詞為主要內(nèi)容，考查四種命題之間的關(guān)系，及含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，主要以選擇題、填空題為主，屬容易題． 備考指要 1.要掌握互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的，對(duì)某些命題的判斷可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題． 2.命題p或q中，p，q有真則真；命題p且q中p，q有假則假. A．若q則p　　　　　　 B．若綈p則綈q C．若綈q則綈p D．若p則綈q [解析]　根據(jù)逆命題的概念可知，“若p則q”的逆命題為“若q則p”． [答案]　A 1．設(shè)集合A＝

2、{x|－2－a0}，p：1∈A，q：2∈A.若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則a的取值范圍是(　　) A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(0,1)∪[2，＋∞) C．(1,2] D．[1,2] 解析：若p為真，則－2－a<11. 若q為真，則－2－a<22. 依題意，得p假q真，或p真q假． 即或∴1

3、題； (4)“若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則a∈(－2,2)”的原命題、逆命題． 解：(1)逆命題：若x∈B，則x∈A∪B. 根據(jù)集合“并”的定義，逆命題為真． 逆否命題：若x?B，則x?A∪B. 逆否命題為假，如2?{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B. (2)逆命題：若一個(gè)數(shù)能被2整除，則它也能被6整除． 逆命題為假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除． (3)否命題：若x≤0或x≥5，則|x－2|≥3. 否命題為假．反例－＝x≤0，但|－－2|＝<3. 逆否命題：若|x－2|≥3，則x≤0或x≥5. 逆否命題為真，

4、因|x－2|≥3?x≥5或x≤－1?x≥5或x≤0. (4)原命題為假：因?yàn)?a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，當(dāng)a＝2時(shí)變?yōu)椋?<0，也滿(mǎn)足條件． 逆命題：若a∈(－2,2)，則不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立． 逆命題為真，因?yàn)楫?dāng)a∈(－2,2)時(shí)，Δ<0，且a－2<0. 充分條件與必要條件 考查方式 　　充分條件、必要條件可以與各章內(nèi)容相結(jié)合，是歷年高考考查的熱點(diǎn)之一，題型主要以選擇題，填空題為主． 備考指要 　　1.要分清條件和結(jié)論，以免混淆充分性與必要性． (1)若“p?q”，且“p?/q”，則p是q的“充分不必要條件”，同

5、時(shí)q是p的“必要不充分條件”； (2)若“p?q”，則p是q的“充要條件”，同時(shí)q是p的“充要條件”． 2.要注意轉(zhuǎn)換命題的判定，可以利用互為逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷. [例2]　(福建高考)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則“x＝2且y＝－1”是“點(diǎn)P在直線l：x＋y－1＝0上”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　若x＝2且y＝－1，則x＋y－1＝0；反之，若x＋y－1＝0，x，y有無(wú)數(shù)組解，如x＝3，y＝－2等，不一定有x＝2且y＝－1. [答案]　A 3．(安徽高考)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”

6、的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：命題p：(2x－1)x＝0，命題q：x＝0，則命題p：x＝0或x＝，故p是q的必要不充分條件． 答案：B 4．(天津高考)設(shè)a，b∈R，則“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：(a－b)·a2＜0，則必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b時(shí)，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要條件． 答案：A

7、全稱(chēng)量詞與存在量詞 考查方式 　　主要考查全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的真假判斷，以及含有一個(gè)量詞的命題的否定，題型主要是選擇題、填空題． 備考指要 1.全稱(chēng)命題的真假判定：要判定一個(gè)全稱(chēng)命題為真，必須對(duì)限定集合M中每一個(gè)x驗(yàn)證p(x)成立，一般用代數(shù)推理的方法加以證明．要判定一個(gè)全稱(chēng)命題為假，只需舉出一個(gè)反例即可． 2.特稱(chēng)命題的真假判定：要判定一個(gè)特稱(chēng)命題為真，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x，使p(x)成立即可．否則，這一特稱(chēng)命題為假． 3.全稱(chēng)命題的否定一定是特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題的否定一定是全稱(chēng)命題，首先改變量詞，把全稱(chēng)量詞改為存在量詞，把存在量詞改為全稱(chēng)量詞，然后再把判斷詞加以否

8、定． 4.注意命題的否定與否命題的區(qū)別. [例3]　(1)(四川高考改編)設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：若任意x∈A，則2x∈B，則(　　) A．綈p：存在x∈A，使得2x∈B B．綈p：存在x∈/ A，使得2x∈B C．綈p：存在x∈A，使得2x∈/ B D．綈p：任意x∈/ A，使得2x∈/ B (2)(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知命題p：任意x∈R，都有2x＜3x成立；命題q：存在x∈R，使x3＝1－x2成立，則下列命題中為真命題的是(　　) A．p且q B．綈p且q C．p且綈q D．綈p且綈q [解析]　(1)因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)

9、命題，所以命題p的否定為綈p：存在x∈A，使得2x∈/ B．故選C. (2)對(duì)于命題p，由于x＝－1時(shí)，2－1＝＞＝3－1，所以是假命題，故綈p是真命題；對(duì)于命題q，設(shè)f(x)＝x3＋x2－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)＝0在區(qū)間(0,1)上有解，即存在x∈R，x3＝1－x2，故命題q是真命題． 綜上，綈p且q是真命題，故選B. [答案]　(1)C　(2)B 5．(重慶高考)命題“對(duì)任意x∈R，都有x2≥0”的否定為(　　) A．存在x∈R，使得x2＜0 B．對(duì)任意x∈R，都有x2＜0 C．存在x∈R，使得x2≥0 D．不存在x∈R，使得x2＜0

10、 解析：由全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題知存在x∈R，使得x2＜0. 答案：A 6．命題“存在x∈R，x≤1或x2>4”的否定是________． 解析：已知命題是特稱(chēng)命題，其否定為全稱(chēng)命題，把存在量詞改成全稱(chēng)量詞，再否定結(jié)論． 答案：任意x∈R，x>1且x2≤4 圓錐曲線的定義及性質(zhì) 考查方式 　　主要考查橢圓、拋物線、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、待定系數(shù)法求圓錐曲線方程，圓錐曲線定義的應(yīng)用，尤其是離心率是高考熱點(diǎn)，選擇題、填空題、解答題都有可能出現(xiàn)． 備考指要 　　對(duì)于圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題，“回歸定義”是一種重要解題策略，應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的應(yīng)用.

11、 [例4]　(1)(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. (2)(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x [解析]　(1)在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因?yàn)椤螾F1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.所以e＝＝＝. (2)由雙曲線的離心率e＝＝可知，＝，而雙曲線－＝1(a＞0，b ＞0

12、)的漸近線方程為y＝±x，故所求漸近線方程為y＝±x. [答案]　(1)D　(2)C 7．(四川高考)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到直線x－y＝0的距離是(　　) A．2 B．2 C. D．1 解析：由拋物線方程知2p＝8?p＝4，故焦點(diǎn)F(2,0)，由點(diǎn)到直線的距離公式知，F(xiàn)到直線x－y＝0的距離d＝＝1. 答案：D 8．設(shè)圓錐曲線T的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.若曲線T上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線T的離心率等于(　　) A.或 B.或2 C.或2 D.或 解析：設(shè)圓錐曲線的離心率為e，因|PF1|∶|F1F2|∶|P

13、F2|＝4∶3∶2，則①若圓錐曲線為橢圓，由橢圓的定義，則有e＝＝＝；②若圓錐曲線為雙曲線，由雙曲線的定義，則有e＝＝＝；綜上所述，所求的離心率為或，故選A. 答案：A 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 考查方式 　　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的熱點(diǎn)，涉及求弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、取值范圍、最值、定點(diǎn)、定值等問(wèn)題，題型以解答題為主．這類(lèi)題目綜合性強(qiáng)，難度較大，注重與一元二次方程中根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性、不等式、平面向量等知識(shí)綜合． 備考指要 　　處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，常用聯(lián)立方程組消元法得到一元二次方程，要注意直線的斜率不存在的情形，分析解決這類(lèi)問(wèn)題，

14、往往利用數(shù)形結(jié)合的思想，以及“設(shè)而不求”的方法，由于運(yùn)算量較大，要注意運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性. [例5]　(天津高考)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若·＋·＝8，求k的值． [解]　設(shè)F(－c,0)，由＝，知a＝c.過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由

15、F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)， 由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x1＋x2＝－， x1x2＝. 因?yàn)锳(－，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋. 由已知得6＋＝8， 解得k＝±. 9．(陜西高考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍． (1)

16、求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率． 解：(1)如圖，設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意，d＝2|MN|.由此得|4－x|＝2，化簡(jiǎn)得＋＝1，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1. (2)法一：由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 將y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0， 其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－，　?、? x1x2＝. ② 又因A是PB的中點(diǎn)，故x2＝2x1,

17、 ③ 將③代入①，②得 x1＝－，x＝， 可得2＝，且k2＞， 解得k＝－或k＝，所以直線m的斜率為－或. 法二：如圖，由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2.y2)． ∵A是PB的中點(diǎn)， ∴x1＝，　　①　y1＝.?、? 又＋＝1, ③?。?，?、? 聯(lián)立①，②，③，④解得或 即點(diǎn) B的坐標(biāo)為(2,0)或(－2,0)，所以直線m的斜率為－或. 10．已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

18、拋物線上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值． 解：(1)直線AB的方程是y＝2，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝， 由拋物線定義得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x. (2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可簡(jiǎn)化為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，B(4,4)； 設(shè)＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)． 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0，或λ＝2. 11．已知橢圓的一

19、個(gè)頂點(diǎn)為A(0，－1)，焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線x－y＋2＝0的距離為3. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)橢圓與直線y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)M，N.當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求m的取值范圍． 解：(1)依題意可設(shè)橢圓方程為＋y2＝1， 則右焦點(diǎn)F(，0)， 由題設(shè)＝3， 解得a2＝3，故所求橢圓的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)， 由 得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＞0， 即m2＜3k2＋1.?、? ∴xP＝＝－. 從而yP＝kxP＋m＝， ∴kAP＝＝－， 又|AM|＝|AN|，

20、∴AP⊥MN. 則－＝－，即2m＝3k2＋1.?、? 把②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2， 由②得k2＝＞0， 解得m＞， 故所求m的取值范圍是. 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程 考查方式 　　導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題為主，有時(shí)在解答題的第(1)問(wèn)中出現(xiàn)，難度不大，主要考查求曲線的切線方程或求切線的傾斜角． 備考指要 　　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時(shí)，關(guān)鍵要搞清楚所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn)，注意區(qū)分“在某點(diǎn)處的切線方程”與“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”的區(qū)別. [例6]　(廣東高考)若曲線y＝ax2－ln x在點(diǎn)(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝_

21、_______. [解析]　令f(x)＝ax2－ln x，得f′(x)＝2ax－， ∴f′(1)＝2a－1＝0，得a＝. [答案]　 12．若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，則a＝(　　) A．－1或－　　　　　　　　 B．－1或 C．－或－ D．－或7 解析：令過(guò)(1,0)的直線與y＝x3切于點(diǎn)(x0，y0)， 切線斜率為k＝3x. 設(shè)切線方程為y＝3x(x－1)， ?x＝3x－3x?2x－3x＝0?x0＝0或x0＝. 故切線方程為y＝0或y＝(x－1)． ?ax2＋x－9＝0， ∵Δ＝0，∴a＝－. ?ax2＋x－9＝(

22、x－1)， ∵Δ＝0，∴a＝－1. 答案：A 13．曲線f(x)＝(x＞0)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_(kāi)_______． 解析：∵f(x)＝＝＋，f′(x)＝－－，當(dāng)x＝1時(shí)，f′(x)＝－3，故曲線f(x)＝(x＞0)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0. 答案：3x＋y－5＝0 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值 考查方式 　　此類(lèi)題目?？汲Ｐ拢话阋越獯痤}形式出現(xiàn)，與函數(shù)的性質(zhì)考查相結(jié)合，并含有參變量，屬中、高檔題目，極值問(wèn)題的考查是一個(gè)熱點(diǎn)，一般需要分類(lèi)討論． 備考指要 　　1.熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟，同時(shí)要

23、先求函數(shù)的定義域，求得的單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接． 2.熟練掌握求函數(shù)極值的步驟L和方法. [例7]　(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值． [解]　(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.從而a＝4，b＝4. (2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x， f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2). 令f′(x

24、)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2. 從而當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)x∈(－2，－ln 2)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上是增加的，在(－2，－ln 2)上是減少的． 當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)． 14．如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，給出下列判斷： ①函數(shù)y＝f(x)在內(nèi)增加； ②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)減少； ③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)增加； ④當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極小值； ⑤則x＝－時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有

25、極大值． 則上述判斷中正確的是________． 解析：當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，－2)上為減少的，同理f(x)在(2,4)上為減少的，f(x)在(－2,2)上為增加的，在(4，＋∞)上是增加的，所以可排除①②，選擇③.而x＝－的左、右兩側(cè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是正數(shù)，故函數(shù)在x＝－的左、右兩側(cè)均為增加的，所以x＝－不是函數(shù)的極值點(diǎn)，排除⑤，④中x＝2為極大值點(diǎn)． 答案：③ 15．已知函數(shù)f(x)＝x－1－ln x (1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值； (3)對(duì)任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2

26、恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍． 解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－，f′(2)＝，f(2)＝1－ln 2， ∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－(1－ln 2)＝(x－2)， 即x－2y－2ln 2＝0. (2)令f′(x)＝0，得x＝1，列表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  0  ∴函數(shù)y＝f(x)的極小值為f(1)＝0. (3)依題意對(duì)任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立等價(jià)于x－1－ln x≥bx－2在(0，＋∞)上恒成立， 可得b≤1＋－在(0，＋∞)上

27、恒成立， 令g(x)＝1＋－， g′(x)＝， 令g′(x)＝0，得x＝e2列表： x (0，e2) e2 (e2，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x)  1－  ∴函數(shù)y＝g(x)的最小值為g(e2)＝1－， 根據(jù)題意，b≤1－. 故實(shí)數(shù)b的取值范圍為. 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 考查方式 　　以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查導(dǎo)數(shù)在生活中的優(yōu)化問(wèn)題，是近年高考的熱點(diǎn)，難度中檔，題型以選擇題、解答題為主． 備考指要 　　這類(lèi)問(wèn)題的處理方法關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，然后用導(dǎo)數(shù)解決，主要有利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高以及幾何圖形的面積、體積的最值等問(wèn)

28、題． 由f′(x)＝0得到一個(gè)解，若此解在定義域內(nèi)，則這個(gè)解一般就是所求的最大(小)值點(diǎn). [例8]　(重慶高考)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)． (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大． [解]　(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh元，底面的總成本

29、為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元， 又根據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)， 從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 因?yàn)閞＞0，又由h＞0，可得r＜5，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)． (2)因?yàn)閂(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)． 當(dāng)r∈(0,5)時(shí)，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上是增加的；當(dāng)r∈(5,5)時(shí)，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上是減少的． 由此

30、可知，V(r)在r＝5處取最大值，此時(shí)h＝8，即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大． 16．(江蘇高考)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)． (1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，那么x應(yīng)取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值． 解：設(shè)包裝盒

31、的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)．由已知得 a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20. 當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′＜0. 所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值． 此時(shí)＝.即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為. 17．某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件

32、過(guò)程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝(x∈N＋)． (1)將該廠的日盈利額T(元)表示為日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)； (2)為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？ 解：(1)由題意可知次品率p＝日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量， 每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1－p)． 因?yàn)榇纹仿蕄＝， 當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有x·件次品， 有x件正品． 所以T＝200x－100x· ＝25·(x∈N＋)． (2)T′＝－25·， 由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)． 當(dāng)00； 當(dāng)x>16時(shí)，T′<0； 所以當(dāng)x＝16時(shí)，T最大． 即該廠的日產(chǎn)量定為16件，

33、能獲得最大盈利. 模塊綜合檢測(cè) (時(shí)間：90分鐘，滿(mǎn)分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．“M＞N”是“l(fā)og2M＞log2N”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：由log2M＞log2N，可得M＞N＞0；2＞－1，－1的對(duì)數(shù)沒(méi)有意義，則log2M＞log2N不成立． 答案：B 2．若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s，則s是p的(　　) A．逆否命題　　　　　　　　 B．逆命題 C．否命題 D．原命題 解

34、析：設(shè)p為“若A，則B”，則r為“若非A，則非B”，s為“若非B，則非A”，即s為p的逆否命題． 答案：A 3．與直線4x－y＋5＝0平行的拋物線y＝2x2的切線方程是(　　) A．4x－y＋1＝0　　　　　　　　 B．4x－y－1＝0 C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0 解析：由k＝y(tǒng)′＝4x＝4，得x＝1，則切點(diǎn)為(1,2)，所以切線方程為y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. 答案：C 4．已知雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率為，則該雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1

35、解析：由拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為(4,0)，可得c＝4.由雙曲線離心率為，可得a＝3，則b＝，即雙曲線方程為－＝1. 答案：B 5．下列命題的否定為假命題的是(　　) A．對(duì)任意x∈R，都有－x2＋x－1＜0成立 B．對(duì)任意x∈R，都有|x| ＞x成立 C．對(duì)任意x，y∈Z，都有2x－5y≠12成立 D．存在x∈R，使sin 2x＋sin x＋1＝0成立 解析：對(duì)于A選項(xiàng)命題的否定為“存在x∈R，使－x2＋x－1≥0成立”，顯然，這是一個(gè)假命題． 答案：A 6．過(guò)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)F作直線，交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)，若y1＋y2＝6，則|P1

36、P2|的值為(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線為y＝－1，因?yàn)镻1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|的值為y1＋y2＋2＝8. 答案：C 7．對(duì)任意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是(　　) A．0≤a≤21 B．a(chǎn)＝0或a＝7 C．a(chǎn)<0或a>21 D．a(chǎn)＝0或a＝21 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，當(dāng)Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21時(shí)

37、，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn)． 答案：A 8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|有(　　) A．最大值16 B．最小值16 C．最大值4 D．最小值4 解析：由橢圓的定義知a＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×4＝8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤2＝2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝4時(shí)等號(hào)成立，所以|PF1|·|PF2|有最大值16. 答案：A 9.已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖像如右圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖像中，y＝f(x)的圖像大致是(　　) 解析：x

38、>0時(shí)，f′(x)在(0,1)上有f′(x)<0， 在(1，＋∞)上有f′(x)>0； 且x＝1處f(x)取極小值． x<0時(shí)，f′(x)在(－1,0)上有f′(x)<0， 在(－∞，－1)上有f′(x)>0且x＝－1處f(x)取極大值， 即函數(shù)f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上減少，選項(xiàng)C符合題意． 答案：C 10．設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為(　　) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：a>0時(shí)，F(xiàn)，

39、直線l方程為y＝2， 令x＝0得y＝－. ∴S△OAF＝··|－|＝4.解得a＝8. 同理a<0時(shí)，得a＝－8. ∴拋物線方程為y2＝±8x. 答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確的答案填在題中的橫線上) 11．已知命題p：對(duì)任意x∈[0,1]，都有a≥ex 成立，命題q：存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，若命題“p且q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因?yàn)閷?duì)任意x∈[0,1]，都有a≥ex成立，所以a≥e.由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0成立，可得判別式Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命題“p且q”是真命題，所以p

40、、q同為真，所以e≤a≤4. 答案：[e,4] 12．函數(shù)f(x)＝x3－15x2－33x＋6的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_______． 解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)， 當(dāng)x<－1或x>11時(shí)，f′(x)>0，f(x)增加； 當(dāng)－1

41、則切線方程為y－e＝2(x－e)， 即2x－y－e＝0. 答案：2x－y－e＝0 14．已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2＝4x的焦點(diǎn)F重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P，|PF|＝.則橢圓C1的方程為_(kāi)_______． 解析：拋物線C2的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，依據(jù)拋物線的定義，由|PF|＝，得1＋x0＝，解得x0＝.因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線C2上，且在第一象限，所以y0＝.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C1：＋＝1上，所以＋＝1.又c＝1，所以a2＝b2＋1，聯(lián)立解得a2＝4，b2＝3.所以橢圓C1的方

42、程為＋＝1. 答案：＋＝1 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿(mǎn)分12分)已知命題p：函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋5在區(qū)間(－2,1)上不單調(diào)，若命題p的否定是一個(gè)真命題，求a的取值范圍． 解：考慮命題p為真命題時(shí)a的取值范圍，因?yàn)閒′(x)＝3x2＋a，令f′(x)＝0，得到x2＝－， 當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,1)上是增加的，不合題意 ； 當(dāng)a＜0時(shí)，由x2＝－，得到x＝± ，要使函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋5在區(qū)間(－2,1)上不單調(diào)，則 ＜1或－ ＞－2，即a＞－12，綜上可知－12＜

43、a＜0， 故命題p的否定是一個(gè)真命題時(shí)，a的取值范圍是a≤－12或a≥0. 16．(本小題滿(mǎn)分12分)橢圓和雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，它們有相同的焦點(diǎn)(－5,0)，(5,0)，且它們的離心率都可以使方程2x2＋4(2e－1)x＋4e2－1＝0有相等的實(shí)根，求橢圓和雙曲線的方程． 解：由題意得Δ＝16(2e－1)2－4×2×(4e2－1)＝0， 即4e2－8e＋3＝0，解得e＝或e＝. 當(dāng)e＝時(shí)，曲線為橢圓，c＝5，e＝＝， 則a＝2c＝10，b2＝a2－c2＝100－25＝75， 所以橢圓的方程為＋＝1. 當(dāng)e＝時(shí)，曲線為雙曲線，c＝5，e＝＝， 則a＝c＝，b2＝

44、c2－a2＝25－＝， 所以雙曲線的方程為－＝1. 17．(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2aln x. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f′(x)的最小值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值． 解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝2x＋ ≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)f′(x)的最小值為4. (2)f′(x)＝2x＋＝2(x＋)． ①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)＞0，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，這時(shí)函數(shù)無(wú)極值； ②當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)＝.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下： x

45、(0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞)．且當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值f()＝－a＋2aln . 18．(本小題滿(mǎn)分14分)已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且·＝0，⊙O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y＝kx＋m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)當(dāng)·＝，求k的值． 解：(1)依題意，可知PF1⊥F1F2，∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1， ∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)直線l：y＝kx＋m與⊙O：x2＋y2＝1相切， 則＝1，即m2＝k2＋1. 由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， ∵直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∴Δ>0?k2>0?k≠0，x1＋x2＝－， x1x2＝， ∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝， ·＝x1x2＋y1y2＝＝，∴k＝±1.