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1、1.函數對稱性與周期性 知識歸納: .函數自身的對稱性結論 結論1.函數y = f (x)的圖像關于點 A (a⑼對稱的充要條件是f (x) + f (2a-x) = 2b 證明：(必耍性)設點 P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，???點 P( x ,y)關于點A (a ,b)的對稱 點 P (2a —x, 2b —y)也在 y = f (x)圖像上，，2b-y = f (2a —x) 即 y + f (2a — x)=2b 故 f (x) + f (2a — x) = 2b,必要性得證。 (充分性)設點 P(x0,y0^y = f (x)圖像上任一點，則 yo =

2、f (xo) f (x) + f (2a-x) =2b.-.f (xo) + f (2a—xo) =2b,即 2b-yo = f (2a-xo)。 故點p (2a-xo, 2b—yo)也在y = f (x)圖像上，而點P與點P關于點A (a⑼對稱，充分性得 征。 推論：函數y = f (x)的圖像關于原點 O對稱的充要條件是 f (x) + f (― x) = o a b 結論2.若函數y = f (x)滿足f (a +x) = f (b—x)那么函數本身的圖像關于直線x =2 對稱，反 之亦然。 證明：已知對于任意的 xo, yo都有f(a+ xo) =f(b — xo)= yo

3、 ‘" 令 a+ xo = x , b- xo = x '" 則A ( x , yo), B ( x , yo)是函數y=f(x)上的點 a b 顯然，兩點是關于 x= 2 對稱的。 a b 反之，若已知函數關于直線x = -2一對稱， 在函數y = f (x)上任取一點P ( x0,yo)那么P (x0,yo) a b 關于x =2對稱點P (a+ b— xo,yo)也在函數上 故 f( x0)=f(a+ b - x0)f(a+( x°-a))=f(b-( xo -a)) 所以有f (a +x) = f (b- x)成立。 推論1 ：函數y = f (x)的圖像關

4、于直線 x = a對稱的充要條件是 f (a +x) = f (a — x)即f (x) = f （2a － x） 推論2:函數y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (— x) 結論3.①若函數y = f (x)圖像同時關于點 A (a ?和點B (b ?成中心又■稱(aw?,則y = f (x)是 周期函數，且 2| a － b| 是其一個周期。 ②若函數y = f (x)圖像同時關于直線x = a和直線x = b成軸對稱 (aw?,則y = f (x) 是周期函數，且 2| a － b| 是其一個周期。 ③若函數y = f (x)圖像既關于點 A

5、(a ,c)成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱(a^D , 則丫 = f (x)是周期函數，且4| a —b|是其一個周期。 ①②的證明留給讀者，以下給出③的證明： ,「函數y = f (x)圖像既關于點 A (a ,c)成中心對稱， f (x) + f (2a — x) =2c,用 2b—x代 x得： f (2b - x) + f [2a — (2b — x) ] =2c(?*?) ?? 又「函數y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱， f (2b-x) = f (x)代入(*)得： f (x) = 2c—f [2(a — b) + x] (?**?),用 2 (a—b

6、) — x 代 x 得 f [2 (a - b)+ x] = 2c- f [4(a - b) + x]代入(** )得： f (x) = f [4(a - b) + *],故丫 = f (x)是周期函數，且 4| a —b|是其一個周期。 二． 不同函數的對稱性結論 結論4.函數y = ￡僅)與丫 = 2b—f (2a —x)的圖像關于點 A (a ,b)成中心對稱。 結論5.①函數y = f (x)與y = f (2a —x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。 ②函數y = f (x>W a-x = f (a—y)的圖像關于直線 x +y = a成軸對稱。 ③函數y = f (

7、x>W x- a = f (y + a)的圖像關于直線 x—y = a成軸對稱。 定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理 5中的③ 設點P(xo ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則 y0 = f (x0)o記點P( x ,y)關于直線x- y = a的 軸對稱點為P(x1，yi),貝U xi = a +yo ,yi =xo — a , xo = a + yi, yo= xi — a 代入yo= f (xo) 之中得xi — a = f (a + yi)點P (xi, yi)在函數x— a = f (y + a)的圖像上。 同理可證：函數x- a = f (y + a)的

8、圖像上任一點關于直線x- y = a的軸對稱點也在函數y = f (x) 的圖圖上。故定理 5 中的③成立。 推論：函數y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線 x = y成軸對稱。 三．三角函數圖圖的對稱性 函數 對稱中心坐標 對稱軸方程 y = sin x （k 兀，0 ） x = k兀+兀/ y = cos x （k % + 40） x = k 兀 y = tan x （k 立/,0 ） 無 注：上表中kC Z 舉例 例1 :定義在R上的非常數函數滿足：f(10+x)為偶函數，且f(5 —x) = f (5+x)，則f (x)一定

9、是() (A)是偶函數，也是周期函數(B)是偶函數，但不是周期函數 (C)是奇函數，也是周期函數(D)是奇函數，但不是周期函數 解：??? f(10+x)為偶函數，，f (10+x) = f (10—x). ，f(x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ,因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數，. x =0 即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。 故選(A) 例2:設定義域為R的函數y = f(x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x — 1)和g-1(x — 2)函數的圖像 關于直線y = x對稱，若g(5) = 1999,那么f(4)=()。

10、 (A)1999;(B) 2000;(C) 2001;(D) 2002。 B： y = f(x —1)和丫 = g-1(x —2)函數的圖像關于直線 y = x對稱， y = g-1(x- 2)反函數是 y = f(x—1),而 y = g-1(x —2)的反函數是:y = 2 + g(x),，f(x —1) = 2 + g(x), ??.有 f(5—1) = 2 + g(5)=2001 故 f(4) = 2001，應選(C) 例3.設f(x)是定義在 R上的偶函數，且f(1+x)= f(1 —x)，當一1WxW時，f(x)= —1x,則f(8.6) 2 解：f(x)是定義在R上的

11、偶函數，x = 0是丫 = f(x)對稱軸； 又,「f(1+x)= f(1 -x) x = 1也是y = f (x)對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數, ? . f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3 例4.函數y = sin (2x + 5—)的圖像的一條對稱軸的方程是() 2 (A) x = - -(B) x = - 4 (C) x = —(D) x =— 解：函數y = sin (2x + 5—)的圖像的所有對稱軸的方程是2x + 5— = k + — 222 ''' x = ——，顯然取k =

12、1時的對稱軸方程是 x =—— 故選(A) 22 例5 .求證:若f x x R為奇函數，則方程 f x =0若有根一定為奇數個。 證:Q f x為奇函數f 0- f 0 = f 0 2 f 0 =0即x=0是方程f x =0的根 若Xi是f x =0的根，即f Xi =0由奇數定義得fXif Xi =0 x1也是方程的根即方程的根除X =0外成對出現。方程根為奇數個。 練習： 1 .設f(x)是定義在 R上的奇函數，且f(x+2)= — f(x)，當0WxW時，f (x) = x,則f (7.5 )=() (A) 0.5(B) —0.5(C) 1.5(D) —1.5 B：

13、 y = f(x)是定義在R上的奇函數，，點(0, 0)是其對稱中心； 又???f(x+2 )= -f (x) = f (-x),即 f(1+ x) = f (1-x), 直線 x = 1是 y = f (x)對稱軸，故 y = f (x)是周期為2的周期函數。 f (7.5 ) = f (8—0.5 ) = f ( — 0.5 ) = -f (0.5 ) = — 0.5 故選(B) 2 .知函數y=f(x)對一切實數x滿足f(2-x)=f(4+x),且方程f(x)=0有5個實根，則這5個實 根之和為(C ) A、5 B、10C、15D、18 3 . f(x)是周期為2的奇函數，當

14、0 x 1時，f (x) lgx.a f(6),b f昌,c f5則 (A) a b c (B) b a c(C) c b a (D) cab 解：已知f(x)是周期為2的奇函數，當0 x 1時，f (x) lgx. …64431151 僅 af (7)f ( 7)f(-) , b f (-)f ( -) f(-) , cf (-)f(-) <0 , 55522222 ? . c a b,選 D. 4 .定義在R上的函數f x是奇函數又是以2為周期的周期函數，則f 1 f 4 f 7等于 (B ) A.-1B.0C.1D.4 E- ………1, 5 .用min{a,b}表布

15、a, b兩數中的取小值。右函數 f(x)=min{|x|,|x+t|} 的圖像關于直線 x= 一對 2 稱，則t的值為() A. -2B. 2 C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】由下圖可以看tti全使“外:血口｛曰|大”|｝的圖象關于直攏》=一:而稱，則 t-i*, 【用題意圖】本題通過新定義號載學生的創(chuàng)新施力，考察的教的圖索，漕尊考生效形結合的 能力.屬中檔題./ 6.定義在R上的函數f(x)滿足f(x)= 則f (2010)的值為 (B A.-1 B. 0 C.1 解析由已知得f( 1) log22 10g2 (1 x),x 0 f (x

16、1) f (x 2),x 0 ) D. 2 1, f (0) 0,f(1) f(0) f( 1) 1 f(2) f (1) f(0) 1, f (3) f (2) f (1) 1 ( 1) 0, f(4) f (3) f(2) 0 ( 1) 1, f(5) f(4) f (3) 1, f (6) f(5) f (4) 0, 所以函數f(x)的值以6為周期重復性出現.，所以f (2010) = f (6) =0,故選C. 7..定義在R上的以3為周期的偶函數，且 的個數的最小值是 ( ) f (2) 0,則方程f(x)=0在區(qū)間(0, 6)內解 D

17、. 2 f 1 f 4 0 A. 5B. 4C. 3 解析：由f(x)的周期性知，f (2) f 5 f 1 即至少有根1, 2, 4, 5。故選擇Bo y—對稱。 8 .設函數y=f(x)的定義域為 R,且滿足f(x+1)=f(1-x),則y=f(x+1)的圖象關于 y=f(x)圖象關于 —x=1_對稱。 9 .設y=f(x)的定義域為R,且對任意xC R,有f(1-2x)=f(2x),貝U y=f(2x)圖象關于 —對稱，y=f(x)關于 對稱。 10 .設函數y=f(x)的定義域為R,則下列命題中，①若 y=f(x)是偶函數，則y=f(x+2)圖象關 于y軸對稱；②若y=

18、f(x+2)是偶函數，則y=f(x)圖象關于直線x=2對稱；③若f(x-2)=f(2-x), 則函數y=f(x)圖象關于直線x=2對稱；④y=f(x-2)與y=f(2-x)圖象關于直線 x=2對稱，其中 正確命題序號為②④。 11 .設f(x)是定義在R上的奇函數，且y f x的圖象關于直線x -對稱，則f (1)+ f (2)+ f (3)+ 2 f (4)+ f (5)=. 【考點分析】本題考查函數的周期性 解析：f 0 f 0得f 00,假設f n 0 1 因為點(n , 0)和點(n 1,0)關于x —對稱，所以f n 1 f n f n 0 2 因此，對一切正整數 n

19、都有：f n 0 從而：f1 f2 f3 f 4 f 5 0。本題答案填寫：0 1 12 .函數f x對于任意實數x滿足條件f x 2,若f 15,則 f x f f 5。 【考點分析】本題考查函數的周期性與求函數值，中檔題。 .一，11 解析：由 f x 2得 f x 4——1— f(x),所以 f(5)f(1)5,則 f xf x 2 f( 5) f( 1) 1 f( 1 2) 般都比較靈 【窺管之見】函數的周期性在高考考查中除了在三角函數中較為直接考查外, 活。本題應直觀理解 f x 2 只要加2,則變倒數，加兩次則回原位 ”則一通盡通 f x

20、也。 13 .設函數f x的定義域為R,若f x 1與f x 1都是關于x的奇函數，則函數 y f x在區(qū)間0,100上至少有 個零點. 答案：f(2k-1)=0, kC Z.又可作一個函數 f x滿足問題中的條件，且 f x的 一個零點恰為x 2k 1, kCZ.所以至少有50個零點. f1(x)=f(x), fk 1(x) f (fk(x)) ,k=1,2, ?則 f 2010(x) = 1 x 14 .設 f(x)=,又記 1 x 解：f1 x 據此，f4n 1 x 故選B. 15.已知偶函數 f2 1 f1 1 f1 y=f(x)定義域為R, L

21、 f3 x 3 /4 x x 1 f2 x 1 1 f3 x , 1 f3 1 x 1 一，f4n 3 x ——，f4nx x，因 2010 為 4n+2 型, x x 1 且恒滿足f(x+2)=f(2-x),若方程 f(x)=0在［0,4］上只有三 個實根，且一個根是 4,求方程在區(qū)間(-8,10］中的根. 方程的根為 -6,-4,-2,0,2,4,6,8,10 共 9 個根． 16 ．設函數 f (x) 在 ( ) 上滿足 f(2 x) f(2 x) ， f(7 x) f (7 x) ，且在閉區(qū)間[ 0， 7］上，只有 f(1) f (3) 0 ． (I

22、)試判斷函數y f(x)的奇偶性； (n )試求方程f (x) =0在閉區(qū)間［-2005 【 考點分析 】本題考查函數的奇偶性與周期性 解析：由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數 y 2005］上的根的個數，并證明你的結論． f (x) 的對稱軸為 x 2和 x 7 , 從而知函數 y f(2 由 f(7 f (x) 又 f(3) x) x) f(x f (0) f (x) 不是奇函數 , f(2 x) f(x) f(7 x) f(x) 10) ,從而知函數 y f(4 f(14 x) f(4 x) f (14 x) x

23、) f(2 (II)由 f(7 f (x) (II) 又 f(3) x) x) f(x 0,而f (7) f (2 x) f (7 x) 10) 0 ,故函數 f(x) f(x) f (x) 的周期為 T 10 y f(x)是非奇非偶函數； f (4 x) f (14 x) f(4 x) f(14 x) f (0) 0, f (11) f (13) 故f(x)在［0,10］和［-10,0］上均有有兩個解 f ( 7) f ( , 從而可知函數 9) y 0 f (x) 在 [0,2005] 上有 402 個解 ,在 ［-2005.0］上有40

24、0個解所以函數y f (x)在［-2005,2005］上有802個解. 17. f x定義域為R,對于任意 x 都有 f 1 x f4 x f 4 x 問 f x 是否是周期函數？如是則周期是多少？ 解：如圖可知 M (1, 0), N (4, 0)是對稱中心，設 x0為f x的任意一點，它的關于 M的對稱點是x1則：1 x0 x1 1, 設*2與x1關于N點對稱則4 x1 = x2 -4, x2 x0 6 f x0 f x1 f x1 f x2 f x2 f x0 即對于任意 x R 都有 f 6 x f x f x 是周期函數，周期為 6. 結論：若函數 f x (x R) 的圖象為對稱中心在X 軸上的中心對稱圖形，則 f x 為周期函 數，周期為兩對稱中心距離的 2 倍。