《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 大專題綜合測5 解析幾何（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 大專題綜合測5 解析幾何（含解析）（38頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 大專題綜合測5 解析幾何（含解析） 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(xx·鄭州市質(zhì)檢)“a＝1”是“直線ax＋y＋1＝0與直線(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　) A．充要條件　　　 　　　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　B [解析]　兩直線垂直的充要條件為a(a＋2)－3＝0，解得a＝－3或a＝1，故選B． 2．(文)已知圓O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，則過點(diǎn)M(3,0)的最短弦所在的直線方程是

2、(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0 [答案]　A [解析]　圓O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7， 圓心O(4,1)，設(shè)過點(diǎn)M(3,0)的最短弦所在的直線為l，∵kOM＝1，∴kl＝－1， ∴l(xiāng)的方程為：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0. (理)已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)F(0,1)并且與直線y＝－1相切，若直線3x－4y＋20＝0與圓C有公共點(diǎn)，則圓C的面積(　　) A．有最大值為π B．有最小值為π C．有最大值為4π D．有最小值為4π [答案]　D [解析]　如圖所示，

3、由圓C經(jīng)過點(diǎn)F(0,1)，并且與直線y＝－1相切，可得點(diǎn)C的軌跡為拋物線x2＝4y，顯然以拋物線x2＝4y上任一點(diǎn)為圓心可作出任意大的圓與直線3x－4y＋20＝0相交，且此圓可無限大，即圓C的面積不存在最大值，設(shè)圓C與3x－4y＋20＝0相切于點(diǎn)A，其圓心為(x0，y0)，則由AC＝PC可得d＝＝y(tǒng)0＋1(點(diǎn)C在直線3x－4y＋20＝0的右方)，即＝x＋1，解得x0＝－2或x0＝(舍去)，當(dāng)x0＝－2時(shí)，圓心C坐標(biāo)為(－2,1)，此時(shí)圓C的半徑為2，即可得圓C的面積的最小值為4π，故應(yīng)選D． 3．(文)(xx·江西上饒三模)已知點(diǎn)M(－6,5)在雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)上，雙曲線C

4、的焦距為12，則它的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x [答案]　A [解析]　由條件知∴ ∴漸近線方程為y＝±x. (理)(xx·新課標(biāo)Ⅱ理，11)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°， 則E的離心率為(　　) A. B．2 C. D． [答案]　D [解析]　考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)． 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，如圖所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝a，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2

5、a，a)，代入雙曲線方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝，故選D． 4．拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若P(1,1)為線段AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為(　　) A．y＝2x2 B．y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x [答案]　B [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程為y2＝2px，則，兩式相減可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x，故應(yīng)選B． 5．(文)(xx·新課標(biāo)Ⅰ文，5)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y

6、2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝(　　) A．3　　　　 B．6 C．9　　　　 D．12 [答案]　B [解析]　拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)．因?yàn)镋的右焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)重合，所以橢圓中c＝2，離心率e＝＝，所以a＝4， 所以b2＝a2－c2＝16－4，則橢圓方程為＋＝1，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x＝－2，當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝±3，則|AB|＝2×3＝6.故本題正確答案為B． (理)過原點(diǎn)O作直線l交橢圓＋＝1(a>b>0)于點(diǎn)A、B，橢圓的右焦點(diǎn)為F2，離心率為e.若以AB為直徑的圓過點(diǎn)F2，且sin∠ABF2＝e，則e＝(　　) A.

7、B． C. D． [答案]　B [解析]　記橢圓的左焦點(diǎn)為F1，依題意得|AB|＝2c，四邊形AF1BF2為矩形，sin∠ABF2＝＝＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|2＝(2a－|AF2|)2＝(2a－2ce)2，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，(2a－2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e＝，選B． 6．半徑不等的兩定圓O1、O2沒有公共點(diǎn)，且圓心不重合，動(dòng)圓O與定圓O1和定圓O2都內(nèi)切，則圓心O的軌跡是(　　) A．雙曲線的一支 B．橢圓 C．雙曲線的一支或橢圓 D．雙曲線或橢圓 [答案]　C [解析]　設(shè)⊙O1、⊙O2、⊙O的半徑分別為r1、r2

8、、R，且r1>r2>0，當(dāng)⊙O1與⊙O2外離時(shí)，由條件知⊙O1與⊙O2都內(nèi)切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－r2,0r2，∴r1－r2>|O1O2|，∴點(diǎn)O的軌跡為以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓，故選C. 7．(文)已知方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)

9、 A．(，2)　　　　　　 　 B．(1，＋∞) C．(1,2) D．(，1) [答案]　C [解析]　由題意可得，2k－1>2－k>0， 即解得1b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為4，

10、則C的方程為(　　) A.＋＝1 B．＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 [答案]　A [解析]　根據(jù)條件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b2＝2，橢圓的方程為＋＝1. 9．(文)已知P點(diǎn)是x2＋y2＝a2＋b2與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是C的左、右焦點(diǎn)，且滿足|PF1|＝3|PF2|，則雙曲線的離心率e為(　　) A．2 B． C. D． [答案]　C [解析]　設(shè)|PF2|＝x，則|PF1|＝3x， ∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10x2＝4c2， ∴c＝x， 由雙曲線的定義知，2a＝|PF1|－|PF

11、2|＝2x， ∴a＝x，∴e＝＝，故選C. (理)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A在雙曲線上，且AF2⊥x軸，若＝，則雙曲線的離心率等于(　　) A．2　　　　 B．3　　　　 C.　　　　 D． [答案]　A [解析]　設(shè)|AF2|＝3x，則|AF1|＝5x， ∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x， 由雙曲線的定義知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x， ∴a＝x，∴e＝＝2. 10．(文)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，直線l與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C，若＝，·＝3

12、6，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．y2＝2x [答案]　D [解析]　∵F(，0)，設(shè)A(x0，y0)，y0>0，則C(－，y0)，B(p－x0，－y0)，由條件知p－x0＝－，∴x0＝， ∴y＝2p·＝3p2，∴y0＝p，∴B(－，－p)，A(，p)，C(－，p)，∴·＝(2p,2p)·(0,2p)＝12p2＝36，∴p＝， ∴拋物線方程為y2＝2x. (理)過雙曲線M：x2－＝1的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線l，若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B、C，且＝2，則雙曲線M的離心率是(　　) A. B． C. D． [答案

13、]　C [解析]　由條件知A(－1,0)，∴l(xiāng)：y＝2(x＋1)，雙曲線漸近線方程為y＝±bx，∵＝2，∴B在A，C之間，∴由得B(－，)， 由得C(，)， 再由＝2得b＝4，∴e＝. 11．若拋物線y2＝2px上恒有關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱的兩點(diǎn)A、B，則p的取值范圍是(　　) A．(－，0) B．(0，) C．(0，) D．(－∞，0)∪(，＋∞) [答案]　C [解析]　設(shè)直線AB：y＝x＋b，代入y2＝2px中消去x得，y2－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2＝2p，x1＋x2＝y(tǒng)1＋y2－2b＝2p－2b，由條件知線段AB的中點(diǎn)(，)， 即(p－b，p)在直線x＋y

14、－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p2－8pb＝4p2－8p(2p－1)＝－12p2＋8p>0，∴0b>0)的兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若|PF2|＝|F1F2|，且2|PF1|＝3|QF1|，則橢圓的離心率為(　　) A. B． C. D． [答案]　A [解析]　由已知得|PF2|＝|F1F2|＝2c， ∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c， |QF1|＝|PF1|＝(a－c)，|QF2|＝2a－|QF1|＝2a－(2a－2c)＝a＋c |PQ|＝(a－c) 在△PF1F2和△PF

15、2Q中，由余弦定理得： cos∠F2PQ＝ ＝ 即 ＝ 整理得5c2－8ac＋3a2＝0，即5e2－8e＋3＝0， ∴e＝或e＝1(舍)． 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上) 13．(文)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)與拋物線y2＝8x有公共焦點(diǎn)，且雙曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最短距離為1，則該雙曲線的離心率為________． [答案]　2 [解析]　∵拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，∴雙曲線－＝1(a>0，b>0)中c＝2， 又a＝1，∴e＝＝2. (理)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂

16、足恰好落在曲線＋＝1上，則雙曲線的離心率為________． [答案]　 [解析]　不妨設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(c,0)，(c>0)，一條漸近線方程為y＝x，由得垂足的坐標(biāo)為(，)，把此點(diǎn)坐標(biāo)代入方程＋＝1，得＋＝1，化簡，并由c2＝a2＋b2得a＝b，∴e＝＝. 14．(文)設(shè)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)P(1,4)的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，則||＋||＝________. [答案]　10 [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知x1＋x2＝2，且x＝4y1，x＝4y2，兩式相減整理得，＝＝，所以直線AB的方程為x－2y＋7＝0，將

17、x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由拋物線定義得||＋||＝y(tǒng)1＋y2＋2＝10. (理)橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2c，若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． [答案]?。? [解析]　本題考查了橢圓離心率的求解． 如圖，由題意易知F1M⊥F2M且|MF1|＝c，|MF2|＝c，∴2a＝(＋1)c，∴＝＝－1. 15．(xx·濰坊市模擬)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O、F的圓與拋物線C的

18、準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線方程為________． [答案]　y2＝16x [解析]　由圓的面積為36π，得圓的半徑r＝6，圓心到準(zhǔn)線的距離為＋＝6，得p＝8，所以拋物線方程為y2＝16x. 16．(文)(xx·蘭州市診斷)橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓C的離心率等于，且它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2＝8y的焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． [答案]　＋＝1 [解析]　由題設(shè)知拋物線的焦點(diǎn)為(0,2)，所以橢圓中b＝2.因?yàn)閑＝＝，所以a＝2c，又因?yàn)閍2－b2＝c2，聯(lián)立解得c＝2，a＝4，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (理)(xx·安徽理，1

19、4)若F1、F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0

20、y，m，n是過點(diǎn)A(a，－1)且傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，其中m與E有唯一公共點(diǎn)B，n與E相交于不同的兩點(diǎn)C，D． (1)求m的斜率k的取值范圍； (2)當(dāng)n過E的焦點(diǎn)時(shí)，求B到n的距離． [解析]　(1)m：y＋1＝k(x－a)，n：y＋1＝－k(x－a)，分別代入x2＝4y，得 x2－4kx＋4ka＋4＝0?、?， x2＋4kx－4ka＋4＝0?、冢? 由Δ1＝0得k2－ka－1＝0， 由Δ2＞0得k2＋ka－1＞0， 故有2k2－2＞0，得k2＞1，即k＜－1或k＞1. (2)E的焦點(diǎn)F(0,1)，kAF＝＝－k，所以ak＝2. ∴k2＝ka＋1＝3，B(2k，k2)， 所

21、以B到n的距離d＝＝＝4. 18．(本題滿分12分)(xx·石家莊市一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且與直線x＝－1相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)已知點(diǎn)A(5,0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積的最大值，及此時(shí)直線l的方程． [解析]　(1)由題意可知圓心到點(diǎn)(1,0)的距離等于到直線x＝－1的距離， 由拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程：y2＝4x. (2)解法一 ：由題意，可設(shè)l的方程為y＝x－m，其中0＜m＜5 由方程組，消去y，得x2－(2m＋4)x＋m

22、2＝0　?、? 當(dāng)0＜m＜5時(shí)，方程①的判別式Δ＝(2m＋4)2－4m2＝16(1＋m)＞0成立． 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)則x1＋x2＝4＋2m，x1·x2＝m2， ∴|MN|＝|x1－x2|＝ 4 又因?yàn)辄c(diǎn)A到直線l的距離為d＝ ∴S△AMN＝2(5－m)＝2. 令f(m)＝m3－9m2＋15m＋25，(0

23、由題意，可設(shè)l與x軸相交于B(m,0), l的方程為x ＝ y ＋m，其中0＜m＜5 由方程組，消去x，得y2－4y－4m＝0　?、? ∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N， ∴方程①的判別式Δ＝(－4)2＋16m＝16(1＋m)＞0必成立， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)則y1＋y2＝4，y1·y2＝－4m. ∴S△＝(5－m) |y1－y2| ＝(5－m) ＝2(5－m)＝2. 令f(m)＝m3－9m2＋15m＋25，(0

24、單調(diào)遞減． 當(dāng)m＝1時(shí)， f(m)有最大值32， 故當(dāng)直線l的方程為y＝x－1時(shí)，△AMN的最大面積為8. 19．(本題滿分12分)(文)設(shè)點(diǎn)P是曲線C：x2＝2py(p>0)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)(0,1)的距離和它到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為. (1)求曲線C的方程； (2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過P作斜率為k(k≠0)的直線交C于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q且與PQ垂直的直線與C交于另一點(diǎn)N，問是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線MN與曲線C相切？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由． [解析]　(1)依題意知1＋＝，解得p＝. 所以曲線C的方程為x2＝y(tǒng). (2)由題意直線PQ的方程為

25、：y＝k(x－1)＋1，則點(diǎn)M(1－，0)． 聯(lián)立方程組，消去y得x2－kx＋k－1＝0，得Q(k－1，(k－1)2)． 所以得直線QN的方程為y－(k－1)2＝－(x－k＋1)．代入曲線方程y＝x2中，得x2＋x－1＋－(1－k)2＝0. 解得N(1－－k，(1－k－)2)． 所以直線MN的斜率kMN＝ ＝－. 過點(diǎn)N的切線的斜率k′＝2(1－k－)． 由題意有－＝2(1－k－)． 解得k＝. 故存在實(shí)數(shù)k＝使命題成立． (理)(xx·鄭州市質(zhì)檢)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，B為短軸端點(diǎn)，且S△BF1F2＝4，離心率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)

26、求橢圓C的方程； (2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恰有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，且滿足|＋|＝|－|？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由． [解析]　(1)因?yàn)闄E圓C：＋＝1(a>0，b>0)，由題意得S△BF1F2＝×2c×b＝4，e＝＝，a2＝b2＋c2，所以解得所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓x2＋y2＝r2，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M，N，因?yàn)閨＋|＝|－|，所以有·＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為y＝kx＋m，由方程組 得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋

27、2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， 則Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0， 即8k2－m2＋4>0， x1,2＝ ∴x1＋x2＝－，x1x2＝； y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝， 要使·＝0，需x1x2＋y1y2＝0，即＋＝0，所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝≥0， 又8k2－m2＋4>0，所以， 所以m2≥，即m≥或m≤－，因?yàn)橹本€y＝kx＋m為圓的一條切線， 所以圓的半徑為r＝，r2＝＝＝，r＝，所求的圓為x2＋y2＝， 此時(shí)圓的切線y＝kx＋m都滿足m≥或

28、m≤－， 而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為x＝±與橢圓＋＝1的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足·＝0，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2＋y2＝滿足條件． 20．(本題滿分12分)(xx·北京文，20)已知橢圓C：x2＋3y2＝3.過點(diǎn)D(1,0)且不過點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線AE與直線x＝3交于點(diǎn)M. (1)求橢圓C的離心率； (2)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率； (3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由． [分析]　本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的斜率、兩直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，先將

29、橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到a，b，c的值，再利用e＝計(jì)算離心率；第二問，由直線AB的特殊位置，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)和直線AE的方程，由直線AE與x＝3相交于M點(diǎn)，得到M點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)B、點(diǎn)M的坐標(biāo)，求直線BM的斜率；第三問，分直線AB的斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，第一種情況，直接分析即可得出結(jié)論，第二種情況，先設(shè)出直線AB和直線AE的方程，將橢圓方程與直線AB的方程聯(lián)立，消參，得到x1＋x2和x1x2，代入到kBM＝1中，只需計(jì)算出等于0即可證明kBM＝kDE，即兩直線平行． [解析]　(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. 所以a＝，b＝1，c＝. 所以橢圓C的離心率e＝＝. (2)

30、因?yàn)锳B過點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸，所以可設(shè)A(1，y1)，B(1，－y1)． 直線AE的方程為y－1＝(1－y1)(x－2)． 令x＝3，得M(3,2－y1)． 所以直線BM的斜率kBM＝＝1. (3)直線BM與直線DE平行．證明如下： 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由(2)可知kBM＝1. 又因?yàn)橹本€DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE. 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝k(x－1)(k≠1)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則直線AE的方程為y－1＝(x－2)． 令x＝3，得點(diǎn)M(3，)． 由 得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0. 所

31、以x1＋x2＝，x1x2＝. 直線BM的斜率kBM＝. 因?yàn)閗BM－1＝ ＝ ＝＝0， 所以kBM＝1＝kDE. 所以BM∥DE. 綜上可知，直線BM與直線DE平行． 21．(本題滿分12分)(文)(xx·南昌市一模)已知圓E：x2＋2＝經(jīng)過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，且F1，E，A三點(diǎn)共線，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且＝λ(λ≠0)． (1)求橢圓C的方程； (2)當(dāng)三角形AMN的面積取到最大值時(shí)，求直線l的方程． [解析]　(1)如圖，圓E經(jīng)過橢圓C的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2， ∵F1，E，A三點(diǎn)共

32、線， ∴F1A為圓E的直徑，∴AF2⊥F1F2，∴F2(c,0)在圓上， ∴c2＋2＝， ∵c>0，∴c＝， |AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，∴|AF2|＝1,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3＋1＝4，∴a＝2， ∵a2＝b2＋c2，解得b＝， ∴橢圓C的方程＋＝1. (2)點(diǎn)A的坐標(biāo)(，1)，∵＝λ(λ≠0)， 所以直線l的斜率為，故設(shè)直線l的方程為y＝x＋m 由消去y得，x2＋mx＋m2－2＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2) ∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，Δ＝2m2－4m2＋8>0， ∴－2

33、－x1|＝＝， 點(diǎn)A到直線l的距離d＝， S△AMN＝|MN|· d＝×|m| ＝≤×＝， 當(dāng)且僅當(dāng)4－m2＝m2，即m＝±時(shí)，S△AMN取到最大值，直線l的方程為y＝x±. (理)(xx·上海八校調(diào)研)已知點(diǎn)F1、F2為雙曲線C：x2－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，且∠MF1F2＝30°.圓O的方程是x2＋y2＝b2. (1)求雙曲線C的方程； (2)過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1、P2，求·的值； (3)過圓O上任意一點(diǎn)Q(x0，y0)作圓O的切線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M，

34、求證：||＝2||. [解析]　(1)設(shè)F2、M的坐標(biāo)分別為(，0)，(，y0)， 因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線C上，所以1＋b2－＝1， 即y0＝±b2，所以|MF2|＝b2， 在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2， 所以|MF1|＝2b2， 由雙曲線的定義可知|MF1|－|MF2|＝b2＝2， 故雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)由條件可知兩條漸近線方程為l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0. 設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)，兩漸近線的夾角為θ， y＝x的傾斜角為α，則 cosθ＝cos(π－2α)＝＝＝. 點(diǎn)P到兩條漸近線的距離分別為 |PP1|＝

35、，|PP2|＝， 因?yàn)镻(x0，y0)在雙曲線C：x2－＝1上，所以2x－y＝2， 所以·＝·cos(π－θ) ＝·(－)＝－. (3)證明：由題意，要證||＝2||，即證OA⊥OB． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，切線l的方程為x0x＋y0y＝2. ①當(dāng)y0≠0時(shí)，切線l的方程代入雙曲線C的方程中， 化簡得(2y－x)x2＋4x0x－(2y＋4)＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 又y1y2＝·＝[4－x0(x1＋x2)＋xx1x2] ＝， 所以·＝x1x2＋y1y2＝－＋ ＝＝0； ②當(dāng)y0＝0時(shí)，易知上述結(jié)論也成立， 即·＝x1x2＋y1y2＝

36、0. 綜上所述，OA⊥OB，所以||＝2||. 22．(本題滿分12分)(文)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，且與拋物線y2＝4x有共同的一個(gè)焦點(diǎn)，橢圓C的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AP、BP與直線y＝3分別交于G、H兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)求線段GH的長度的最小值； (3)在線段GH的長度取得最小值時(shí)，橢圓C上是否存在一點(diǎn)T，使得△TPA的面積為1，若存在求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，說明理由． [解析]　(1)由已知得，拋物線的焦點(diǎn)為(，0)，則 c＝，又b＝1，由a2－b2＝c2，可得a2＝4. 故橢圓C的方程為

37、＋y2＝1. (2)直線AP的斜率k顯然存在，且k>0，故可設(shè)直線AP的方程為y＝k(x＋2)，從而G(－2,3)． 由得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0. 設(shè)P(x1，y1)，則(－2)x1＝， 所以x1＝，從而y1＝.即P(，)， 又B(2,0)，則直線PB的斜率為－. 由得 所以H(－12k＋2,3)． 故|GH|＝|－2＋12k－2|＝|＋12k－4|. 又k>0，＋12k≥2＝12. 當(dāng)且僅當(dāng)＝12k，即k＝時(shí)等號成立． 所以當(dāng)k＝時(shí)，線段GH的長度取最小值8. (3)由(2)可知，當(dāng)GH的長度取最小值時(shí)，k＝. 則直線AP的方程為x－2y＋

38、2＝0，此時(shí)P(0,1)，|AP|＝. 若橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TPA的面積等于1，則點(diǎn)T到直線AP的距離等于， 所以T在平行于AP且與AP距離等于的直線l上． 設(shè)直線l：y＝x＋t. 則由得x2＋2tx＋2t2－2＝0. Δ＝4t2－8(t2－1)≥0.即t2≤2. 由平行線間的距離公式，得＝， 解得t＝0或t＝2(舍去)． 可求得T(，)或T(－，－)． (理)設(shè)橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，如圖．若拋物線C2：y＝x2－1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F1、F2點(diǎn)． (1)求橢圓C1的方程；

39、 (2)設(shè)M(0，－)，N為拋物線C2上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值． [解析]　(1)由題意可知B(0，－1)，則A(0，－2)，故b＝2. 令y＝0得x2－1＝0即x＝±1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，故c＝1. 所以a2＝b2＋c2＝5， 于是橢圓C1的方程為：＋＝1. (2)設(shè)N(t，t2－1)，由于y′＝2x知直線PQ的方程為： y－(t2－1)＝2t(x－t)． 即y＝2tx－t2－1. 代入橢圓方程整理得：4(1＋5t2)x2－20t(t2＋1)x＋5(t2＋1)2－20＝0， Δ＝400t2(t2＋

40、1)2－80(1＋5t2)[(t2＋1)2－4] ＝80(－t4＋18t2＋3)， x1＋x2＝，x1x2＝， 故|PQ|＝|x1－x2| ＝· ＝. 設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，則 d＝＝. 所以，△MPQ的面積S＝|PQ|·d ＝ · ＝＝ ≤＝. 當(dāng)t＝±3時(shí)取到“＝”，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)Δ>0，滿足題意． 綜上可知，△MPQ的面積的最大值為. [方法點(diǎn)撥]　1.涉及直線與二次曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一般方法是設(shè)出直線的方程與曲線方程聯(lián)立，用根與系數(shù)的關(guān)系“整體代入設(shè)而不求”和用判別式處理，中點(diǎn)弦問題還可用點(diǎn)差法解決． 2．涉及圓錐曲線的焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形問題，常結(jié)合定義

41、，正余弦定理等知識解決． 3．涉及垂直問題可結(jié)合向量的數(shù)量積解決． 反饋練習(xí) 一、選擇題 1．(文)“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1”的(　　) A．充分而不必要條件　 　B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [答案]　C [解析]　若a＝2，則直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1”的充要條件，故應(yīng)選C. (理)若直線2tx＋3y＋2＝0與直線x＋6ty－2＝0平行，則實(shí)數(shù)t等于(　　) A.或－　　　　　　B． C．－ D． [答案]　B [解析]　

42、由條件知，＝≠，∴t＝. 2．(文)若直線l1：x－ay＋1＝0與直線l2：(a＋4)x＋(2a－1)y－5＝0互相垂直(a<0)，則直線l1的傾斜角為(　　) A．45° B．135° C．60° D．30°或135° [答案]　B [解析]　∵l1⊥l2，∴1×(a＋4)－a(2a－1)＝0， ∴a＝－1或2，∵a<0，∴a＝1， ∴l(xiāng)1的方程為x＋y＋1＝0， ∴l(xiāng)1的傾斜角為135°. (理)若曲線y＝2x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則切線l的方程為(　　) A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0 C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0 [

43、答案]　D [解析]　y′＝4x，直線x＋4y－8＝0的斜率k＝－，令4x＝4得x＝1， ∴切點(diǎn)(1,2)，∴切線l：y－2＝4(x－1)， 即4x－y－2＝0，故選D． 3．(xx·東北三省四市第二次聯(lián)考)已知直線y＝2(x－1)與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(－1，m)，若·＝0，則m＝(　　) A. B． C. D．0 [答案]　B [解析]　求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程求解．聯(lián)立直線y＝2(x－1)和拋物線C：y2＝4x，解得A(2,2)，B(，－)，所以·＝(3,2－m)·(，－－m)＝＋(2－m)(－－m)＝0，化簡得m2－m＋＝0，

44、∴m＝，故選B． [點(diǎn)評]　當(dāng)A、B坐標(biāo)互換時(shí)，求得m的另一個(gè)值，但結(jié)合選項(xiàng)知只能選B． 4．(xx·廣東理，7)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點(diǎn)為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 [答案]　C [解析]　本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題． 因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為F2(5,0)且離心率為e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為－＝1，故選C. 5．(文)(xx·天津理，5)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一

45、個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 [答案]　A [解析]　由于一個(gè)焦點(diǎn)在直線y＝2x＋10上，則一個(gè)焦點(diǎn)為(－5,0)，又由漸近線平行于直線y＝2x＋10.則＝2，結(jié)合a2＋b2＝c2，c＝5得， ∴a2＝5，b2＝20，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，選A. (理)(xx·江西文，9)過雙曲線C：－＝1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A、O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 [答案]　A [解析]　如圖設(shè)雙曲

46、線的右焦點(diǎn)F，右頂點(diǎn)B，設(shè)漸近線OA方程為y＝x， 由題意知，以F為圓心，4為半徑的圓過點(diǎn)O，A， ∴|FA|＝|FO|＝r＝4. ∵AB⊥x軸，A為AB與漸近線y＝x的交點(diǎn)， ∴可求得A點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，b)． ∴在Rt△ABO中，|OA|＝＝＝c＝|OF|＝4， ∴△OAF為等邊三角形且邊長為4，B為OF的中點(diǎn)，從而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2， ∴雙曲線的方程為－＝1，故選A. 6．(文)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p＝(　　)

47、A．1 B． C．2 D．3 [答案]　C [解析]　∵e＝＝2，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴＝，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，不妨設(shè)A(－，)，B(－，－)，則AB＝p，又三角形的高為，則S△AOB＝××p＝，∴p2＝4，又p>0，∴p＝2. (理)已知點(diǎn)F1、F2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若的最小值為9a，則雙曲線的離心率為(　　) A．2　　　　 B．5 C．3　　　　 D．2或5 [答案]　B [解析]　由雙曲線定義得|PF2|＝2a＋|PF1|， ∴＝＝|PF1|＋＋4a，其中|PF1|≥c－a.當(dāng)c－a≤2

48、a時(shí)，y＝x＋在[c－a，＋∞)上為減函數(shù)，沒有最小值，故c－a>2a，即c>3a?e>3，y＝x＋在[c－a，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)min＝f(c－a)＝c－a＋＋4a＝9a，化簡得10a2－7ac＋c2＝0，兩邊同除以a2可得e2－7e＋10＝0，解得e＝5或e＝2(舍去)． 7．(xx·邯鄲市二模)已知點(diǎn)P為橢圓＋＝1上一點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)I為△PF1F2的內(nèi)心，若△PIF1和△PIF2的面積和為1，則△IF1F2的面積為(　　) A. B． C．1 D．2 [答案]　B [解析]　由橢圓方程知，a＝2，c＝1，設(shè)內(nèi)心到三邊距離為d，則由橢圓定義及

49、條件知，S△PIF1＋S△PIF2＝|PF1|·d＋|PF2|·d＝(|PF1|＋|PF2|)·d＝2d＝1，∴d＝，∴S△IF1F2＝|F1F2|·d＝cd＝. 8．拋物線y＝x2(－2≤x≤2)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個(gè)正方體，使正方體的一個(gè)面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊，則此正方體的棱長是(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 [答案]　B [解析]　當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4， 設(shè)正方體的棱長為a，由題意知(a,4－a)在拋物線y＝x2上，∴4－a＝a2，∴a＝2. 9．(文)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

50、OF為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于O，A兩點(diǎn)，若△AOF的面積為b2，則雙曲線的離心率等于(　　) A. B． C. D． [答案]　D [解析]　∵A在以O(shè)F為直徑的圓上，∴AO⊥AF， ∴AF：y＝－(x－c)與y＝x聯(lián)立解得x＝，y＝，∵△AOF的面積為b2， ∴·c·＝b2，∴e＝. (理)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作實(shí)軸的垂線，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長度恰等于焦距，則雙曲線的離心率為(　　) A. B． C. D． [答案]　A [解析]　依題意得＝2c，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，(e－)2＝，又e>1，因此e－

51、＝，e＝，故選A. 10．(xx·洛陽市期末)若直線l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，則a2＋b2－2a－2b＋3的最小值為(　　) A. B． C．2 D． [答案]　B [解析]　由題意知直線經(jīng)過圓心(－2，－1)，∴2a＋b－1＝0，∴(a－1)2＋(b－1)2的最小值為(1,1)到直線2a＋b－1＝0的距離的平方，即2＝，∴a2＋b2－2a－2b＋3的最小值為＋1＝. 11．(xx·唐山市二模)已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與圓C2：x2＋y2＝b2，若在橢圓C1上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂

52、直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是(　　) A．[，1) B．[，] C．[，1) D．[，1) [答案]　C [解析]　如圖，設(shè)切點(diǎn)為A、B，則OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠APB＝90°，連接OP，則∠APO＝45°，∴AO＝PA＝b，OP＝b，∴a≥b，∴a2≤2c2，∴≥，∴e≥， 又∵e<1，∴≤e<1. 12．(xx·河南八市質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若A(3，y0)且AF＝4，則△OAB的面積為(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　 由條件及拋物線的定義知，4＝3＋，∴p＝2

53、， ∴拋物線方程為y2＝4x，∴A(3,2)，kAF＝，∴l(xiāng)AB：y＝(x－1)，由可得3(x－1)2－4x＝0，解得x1＝3，x2＝，所以y1＝2，y2＝－， ∴S△AOB＝|OF|·|y1－y2| ＝×1×＝. 二、填空題 13．已知圓C：(x＋1)2＋y2＝8.若點(diǎn)Q(x，y)是圓C上一點(diǎn)，則x＋y的取值范圍為________． [答案]　[－5,3] [分析]　設(shè)x＋y＝t，則Q是⊙C與直線x＋y＝t的公共點(diǎn)，則問題轉(zhuǎn)化為直線與⊙C有公共點(diǎn)時(shí)，求參數(shù)t的取值范圍問題． [解析]　設(shè)x＋y＝t，∵Q(x，y)是⊙C上任意一點(diǎn)，∴直線與圓相交或相切，∴≤2，∴－5≤t≤3.

54、 14．已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F關(guān)于直線y＝x對稱，直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則圓C的方程為________． [答案]　x2＋(y－1)2＝10 [分析]　由圓心C與F關(guān)于直線y＝x對稱可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再由弦長|AB|＝6可求得圓的半徑，進(jìn)而可得圓的方程． [解析]　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)C(0,1)是圓心，C到直線4x－3y－2＝0的距離d＝＝1， 又圓截直線4x－3y－2＝0的弦長為6， ∴圓的半徑r＝＝. ∴圓方程為x2＋(y－1)2＝10. 15．(文)已知直線ax＋by＝1(其中a

55、、b為非零實(shí)數(shù))與圓x2＋y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB為直角三角形，則＋的最小值為________． [答案]　4 [解析]　∵△AOB為等腰直角三角形，⊙O的半徑為1，∴O到直線ax＋by－1＝0的距離為，即＝，∴2a2＋b2＝2，∴＋＝(＋)()＝2＋＋≥4，等號在＝， 即b2＝2a2＝1時(shí)成立，∴所求最小值為4. (理)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為α，長度不超過8的弦，弦所在的直線與圓x2＋y2＝有公共點(diǎn)，則α的取值范圍是________． [答案]　[，]∪[，] [解析]　F(1,0)，直線AB：y＝tanα(x－1)，由條件知，圓心(0

56、,0)到直線AB的距離d＝≤，∴－≤tanα≤.(1) 將y＝k(x－1)代入y2＝4x中消去y得， k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ∴x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝， ∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P(，)， ∵|AB|≤8，∴P到準(zhǔn)線的距離＋1≤4， ∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2) 由(1)(2)得≤α≤或≤α≤. 16．(文)(xx·吉林市質(zhì)檢)已知點(diǎn)F為拋物線y2＝－8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，A在拋物線上，且|AF|＝4，則|PA|＋|PO|的最小值是________． [答案]　2 [分析]　設(shè)O關(guān)于直線x＝2的對稱點(diǎn)

57、為O′，則|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|，故當(dāng)P、A、O′三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值． [解析]　如圖，∵|AF|＝4，∴A到準(zhǔn)線距離為4，又準(zhǔn)線方程為x＝2，∴A(－2,4)，作點(diǎn)O關(guān)于直線x＝2的對稱點(diǎn)O′，則O′的坐標(biāo)為(4,0)，連接AO′與直線x＝2相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求，|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|＝|AO′|＝2. (理)已知直線l1：x－y＋5＝0，和l2：x＋4＝0，拋物線C：y2＝16x，P是C上一動(dòng)點(diǎn)，則P到l1與l2距離之和的最小值為________． [分析]　觀察拋物線C與直線l2的系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，l2為C的準(zhǔn)線，由拋物線的定義可將P到l2的距

58、離轉(zhuǎn)化為P到焦點(diǎn)F的距離，則問題變?yōu)镻到F的距離與P到l1的距離之和最小，畫出圖形易見，當(dāng)PF⊥l1時(shí)，“距離之和”取到最小值． [答案]　 [解析]　在同一坐標(biāo)系中畫出直線l1、l2和曲線C如圖． P在C上任意一點(diǎn)，由拋物線的定義知，|PF|＝d2， ∴d1＋d2＝d1＋|PF|，顯見當(dāng)PF⊥l1，即P為P1點(diǎn)時(shí)d1＋d2＝|FM|，此時(shí)距離之和取到最小值， ∵|FM|＝，∴所求最小值為. [點(diǎn)評]　當(dāng)問題涉及拋物線上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)的距離，或雙曲線(橢圓)上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離時(shí)，應(yīng)考慮定義是否能發(fā)揮作用． 三、解答題 17．(文)已知圓C1：x2＋y2＝r2截直線x＋

59、y－＝0所得的弦長為.拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)在圓C1上． (1)求拋物線C2的方程； (2)過點(diǎn)A(－1,0)的直線l與拋物線C2交于B、C兩點(diǎn)，又分別過B、C兩點(diǎn)作拋物線C2的切線，當(dāng)兩條切線互相垂直時(shí)，求直線l的方程． [解析]　(1)易求得圓心到直線的距離為， 所以半徑r＝＝1.∴圓C1：x2＋y2＝1.拋物線的焦點(diǎn)(0，)在圓x2＋y2＝1上，得p＝2， 所以x2＝4y. (2)設(shè)所求直線的方程為y＝k(x＋1)， B(x1，y1)，C(x2，y2)． 將直線方程代入拋物線方程可得x2－4kx－4k＝0， ∴x1x2＝－4k. 因?yàn)閽佄锞€y＝，所以

60、y′＝， 所以兩條切線的斜率分別為、， 所以·＝－1＝，所以k＝1. 故所求直線方程為x－y＋1＝0. (理)(xx·唐山市一模)已知圓O：x2＋y2＝4，點(diǎn)A(，0)，以線段AB為直徑的圓O1內(nèi)切于圓O，記點(diǎn)B的軌跡為Γ. (1)求曲線Γ的方程； (2)當(dāng)OB與圓O1相切時(shí)，求直線AB的方程． [解析]　(1)設(shè)⊙O1與⊙O的切點(diǎn)為P，連OO1，O1P， 則|OO1|＋|O1P|＝|OP|＝2，取A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1，連A1B，故|A1B|＋|AB|＝2(|OO1|＋|O1P|)＝4. 所以點(diǎn)B的軌跡是以A1，A為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓． 其中，a＝2，c＝，b

61、＝1，則 曲線Γ的方程為＋y2＝1. (2)因?yàn)镺B與圓O1相切，所以⊥. 設(shè)B(x0，y0)，則x0(x0－)＋y＝0. 又＋y＝1，解得x0＝，y0＝±. 則kOB＝±，kAB＝?， 則直線AB的方程為y＝±(x－)，即 x＋y－＝0或x－y－＝0. 18．(xx·江西省質(zhì)量監(jiān)測)在平面平直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：ax2－y2＝1(a>0) (1)過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，若該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積不超過，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P，Q兩點(diǎn)，若l與圓x2＋y2＝1相切且⊥，求雙曲線的方程．

62、 [解析]　(1)雙曲線的漸近線方程為y＝±x 過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線是y＝x＋1，設(shè)兩直線的交點(diǎn)為A. 由解得∴A， ∴圍成的三角形的面積S＝··＝≤， 解得a≤. (2)設(shè)直線l：y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ?(a－1)x2－2mx－m2－1＝0(a≠1)， ∴x1＋x2＝，x1x2＝－， l與圓相切∴＝1?m2＝2.(1) ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0?x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0 2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0?－2·＋＋m2＝0(2) 解(1)(2)得：a＝2 當(dāng)a＝1時(shí)，不滿足題意． ∴所

63、求的雙曲線方程為：2x2－y2＝1. 19．(文)(xx·河南八市質(zhì)量監(jiān)測)已知橢圓C：＋y2＝1(a>1)的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切． (1)求橢圓C的方程； (2)若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，且·＝0.求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． [解析]　(1)A(0,1)，F(xiàn)(，0)， 直線AF：＋y＝1， 即x＋y－＝0， ∵AF與⊙M相切，圓心M(3,1)，半徑r＝， ∴＝，∵a>1，，∴a＝， ∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)由·＝0知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線AP的方程為

64、y＝kx＋1，直線AQ的方程為y＝－x＋1， 將y＝kx＋1代入橢圓C的方程， 整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0， 解得x＝0或x＝， 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)． 同理，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)． 所以直線l的斜率為＝. 則直線l的方程為y＝(x－)＋， 即y＝x－. 所以直線l過定點(diǎn)(0，－)． (理)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左右端點(diǎn)分別為A1，A2，拋物線y2＝4x與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)且其焦點(diǎn)與F2重合，AF2＝. (1)求橢圓的方程； (2)過點(diǎn)作直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)(不與A1，A2重合)，求證：直線A2P與A2Q垂直． [解

65、析]　(1)如圖所示：不妨設(shè)A(x0，y0)，(x0>0，y0>0)， 由題知AF2＝x0＋＝x0＋1＝，所以x0＝， 所以y＝4×＝?y0＝， ＋＝1，＋＝1，解得a2＝4， 所以c＝1，a＝2. 所以b2＝a2－1＝3，所以橢圓的方程為＋＝1. (2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x＝，由于?＝1－＝， 所以y＝±，所以P，Q，因?yàn)锳2(2,0)，所以kA2P＝＝－1， kA2Q＝＝1，所以kA2P×kA2Q＝－1，所以A2P⊥A2Q. ②當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)為k，則直線的方程為y＝k， ?49(3＋4k2)x2－112k2x＋16k2－12×49

66、＝0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A2(2,0)，則x1＋x2＝，x1x2＝， 所以kA2P×kA2Q＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝－1， 所以A2P和A2Q垂直． 20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(2,0)作直線與拋物線y2＝4x相交于A、B兩點(diǎn)，如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)． (1)求證：y1y2為定值； (2)若點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ADB面積的最小值． (3)求證：直線l：x＝1被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值． [解析]　(1)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，y1＝2，y2＝－2，因此y1y2＝－8. 當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)， 由，得ky2－4y－8k＝0，∴y1y2＝－8. 因此有y1y2＝－8為定值． (2)∵C(2,0)，∴C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)D(－2,0)， ∴DC＝4，S△ADB＝DC·|y1－y2|. 當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，S△ADB＝×4×4＝8； 當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)， 由(1)知y1＋y2＝，因此 |y1－y2|＝＝>4， ∴