《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性 三 相似三角形的判定創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性 三 相似三角形的判定創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-1（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 三 似三角形的判定及性質(zhì) 1．相似三角形的判定 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P7] 1．相似三角形 (1)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比或(相似系數(shù))． (2)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似． 2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似． (2)判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且

2、夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似． 引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊． (3)判定定理3：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似． [說(shuō)明]　1.在這些判定方法中，應(yīng)用最多的是判定定理1，即兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．因?yàn)樗臈l件最容易尋求．在實(shí)際證明當(dāng)中，要特別注意兩個(gè)三角形的公共角．判定定理2則常見(jiàn)于連續(xù)兩次證明相似時(shí)，在證明時(shí)第二次使用此定理的情況較多． 2．引理是平行

3、線分線段成比例定理的推論的逆定理，可以判定兩直線平行． 3．直角三角形相似的判定定理 (1)定理：①如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似； ②如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例那么它們相似． (2)定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似． [說(shuō)明]　對(duì)于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，還有其他特殊的方法，如直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似． 在證明直角三角形相似時(shí)，要特別注意直角這一隱含條件的利用． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P8] 相似三角形的判定 [例

4、1]　如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分線，證明：△ABC∽△BCD. [思路點(diǎn)撥]　已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分線，因此，可以考慮使用判定定理1. [證明]　∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72°. 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝36°， ∴∠A＝∠CBD. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD. 判定兩三角形相似，可按下面順序進(jìn)行：(1)有平行截線，用預(yù)備定理；(2)有一對(duì)等角時(shí)，①找另一對(duì)等角，②找?jiàn)A這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；(3)有兩對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí)，①找?jiàn)A角相等，②

5、找第三邊對(duì)應(yīng)成比例，③找一對(duì)直角． 1．如圖，BC∥FG∥ED，若每?jī)蓚€(gè)三角形相似，構(gòu)成一組相似三角形，那么圖中相似的三角形的組數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：△AED與△AFG相似，△AED與△ABC相似，△AFG與△ABC相似． 答案：C 2．如圖，O是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)，求證：△DEF∽△ABC. 證明：∵D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)， ∴DE＝AB，EF＝BC，F(xiàn)D＝CA. ∴＝＝＝. ∴△DEF∽△ABC. 3．如圖，D在AB上，且DE∥BC交AC于

6、E，F(xiàn)在AD上，且AD2＝AF·AB，求證：△AEF∽△ACD. 證明：∵DE∥BC，∴＝.① ∵AD2＝AF·AB，∴＝.② 由①②兩式得＝， 又∠A為公共角，∴△AEF∽△ACD. 直角三角形相似的判定 [例2]　如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP. [思路點(diǎn)撥]　由于這兩個(gè)三角形都是直角三角形，且已知條件是線段間的關(guān)系，故考慮證明對(duì)應(yīng)邊成比例，即只需證明＝即可． [證明]　在正方形ABCD中， ∵Q是CD的中點(diǎn)，∴＝2. ∵＝3，∴＝4. 又BC＝2DQ，∴＝2. 在△ADQ和△QCP

7、中， ＝＝2，∠C＝∠D＝90°， ∴△ADQ∽△QCP. 直角三角形相似的判定方法： (1)相似三角形的判定定理1,2,3都適用于直角三角形相似的判定． (2)兩個(gè)直角三角形，已經(jīng)具備直角對(duì)應(yīng)相等，只要再證明有一對(duì)銳角相等，或夾直角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以證明這兩個(gè)直角三角形相似． 4．如圖，∠C＝90°，D是AC上的一點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：△ADE∽△ABC. 證明：∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠DEA＝∠C. ∵∠A＝∠A. ∴△ADE∽△ABC 5．如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，寫出圖中所有

8、與△ACE相似的三角形． 解：∵∠ACE為公共角，由直角三角形判定定理1，知Rt△FDC∽R(shí)t△ACE. 又∠A為公共角，∴Rt△ABD∽R(shí)t△ACE. 又∵∠A＋∠ACE＝90°，∠A＋∠ABD＝90°， ∴∠ACE＝∠ABD.∴Rt△FBE∽R(shí)t△ACE. 故共有三個(gè)直角三角形，即Rt△ABD，Rt△FBE， Rt△FCD與Rt△ACE相似. 相似三角形的應(yīng)用 [例3]　如圖，D為△ABC的邊AB上一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，連接GH. 求證：GH∥AB. [思路點(diǎn)撥]　根據(jù)此圖形的特點(diǎn)可先證比例式＝成立，再證△EG

9、H∽△EDB，由相似三角形的定義得∠EHG＝∠EBD即可． [證明]　∵DE∥BC， ∴＝＝，即＝. 又∵DF∥AC，∴＝. ∴＝.∴＝. 又∠GEH＝∠DEB， ∴△EGH∽△EDB. ∴∠EHG＝∠EBD. ∴GH∥AB. 不僅可以由平行線得到比例式，也可以根據(jù)比例式的成立確定兩直線的平行關(guān)系．有時(shí)用它來(lái)證明角與角之間的數(shù)量關(guān)系，線段之間的數(shù)量關(guān)系． 6．如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)是2、6、7，△DEF的三邊長(zhǎng)是4、12、14，且△ABC與△DEF相似，則∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝________. ＝＝＝________.

10、 解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F. ＝＝＝. 答案：∠D　∠E　∠F　DE　BC　DF　 7.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，連接CF交AD于點(diǎn)E. (1)求證：△CDE∽△FAE； (2)當(dāng)E是AD的中點(diǎn)，且BC＝2CD時(shí)， 求證：∠F＝∠BCF. 證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD. 又∵點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上， ∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE. ∴△CDE∽△FAE. (2)∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE. 由△CDE∽△FAE，得＝. ∴CD＝FA. ∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD. 又∵BC＝

11、2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF. 8.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于F. 求證：＝. 證明：∵E是Rt△ADC斜邊AC上的中點(diǎn)， ∴AE＝EC＝ED. ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF. 又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠C. ∴∠BAD＝∠BDF. 又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF， ∴＝. 又在Rt△ABD與Rt△CBA中，＝， ∴＝. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P10] 一、選擇題 1．如圖所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，則圖中與△BOC相似的三角形共有(　　)

12、A．1個(gè)　　　　　　 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：根據(jù)相似三角形的判定定理可得： △OEF∽△OBC(∵EF∥BC)； △CHG∽△CBO(∵HG∥OB)； △OAD∽△OBC(∵AD∥BC)． 故與△BOC相似的三角形共有3個(gè)． 答案：C 2．下列判斷中，不正確的是(　　) A．兩直角邊分別是3.5,2和2.8,1.6的兩個(gè)直角三角形相似 B．斜邊和一直角邊長(zhǎng)分別是2，4和，2的兩個(gè)直角三角形相似 C．兩條邊長(zhǎng)分別是7,4和14,8的兩個(gè)直角三角形相似 D．兩個(gè)等腰直角三角形相似 解析：由直角三角形相似判定定理知A、B、D正確． 答案：C 3．如圖，

13、要使△ACD∽△BCA，下列各式中必須成立的是(　　) A.＝ B.＝ C．AC2＝CD·CB D．CD2＝AC·AB 解析：∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB時(shí)，才能使△ACD∽△BCA. 答案：C 4.如圖，在等邊三角形ABC中，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，使得＝，則有(　　) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 解析：因?yàn)椤螦＝∠C，＝＝2， 所以△AED∽△CBD. 答案：B 二、填空題 5．如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于點(diǎn)O，則圖中與△ABC相似的三角形共有__

14、______個(gè)，它們分別是____________________． 解析：與△ABC相似的有△GFC，△OGE，△ADE. 答案：3　△GFC，△OGE，△ADE 6．如圖所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BC＝3，AC＝4，則AD＝________，BD＝________. 解析：由題設(shè)可求得AB＝5， ∵Rt△ABC∽R(shí)t△ACD， ∴＝.∴AD＝＝. 又∵Rt△ABC∽R(shí)t△CBD， ∴＝.∴BD＝＝. 答案：　 7．已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，AD的垂直平分線EF與AD交于點(diǎn)E，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若CF＝4，BC＝5，則DF＝__

15、______. 解析：連接AF. ∵EF⊥AD，AE＝ED， ∴AF＝DF， ∠FAD＝∠FDA. 又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF， ∠FDA＝∠BAD＋∠B， 且∠DAC＝∠BAD， ∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB， ∴△AFC∽△BFA. ∴＝. ∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36. ∴AF＝6，即DF＝6. 答案：6 三、解答題 8．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，D是AB的中點(diǎn)，E在AB的延長(zhǎng)線上，且BE＝AB，求證：△ADC∽△ACE. 證明：∵D是AB的中點(diǎn)，∴＝. ∵AB＝AC，∴＝. ∵ BE＝AB，∴＝. 又AB＝

16、AC，∴＝. ∴＝. 又∠A為公共角，∴△ADC∽△ACE. 9.如圖，直線EF交AB、AC于點(diǎn)F、E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，AC⊥BC，且AB·CD＝DE·AC. 求證：AE·CE＝DE·EF. 證明：∵AB·CD＝DE·AC ∴＝. ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°. ∴△ACB∽△DCE. ∴∠A＝∠D. 又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC. ∴＝. ∴AE·CE＝DE·EF. 10．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE是∠CAB的角平分線，CD與AE相交于點(diǎn)F，EG⊥AB于G.求證：EG2＝FD·EB.

17、證明：因?yàn)椤螦CE＝90°，CD⊥AB， 所以∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°. 因?yàn)椤螦FD＝∠CFE， 所以∠FAD＋∠CFE＝90°. 又因?yàn)椤螩AE＝∠FAD， 所以∠AEC＝∠CFE. 所以CF＝CE. 因?yàn)锳E是∠CAB的平分線，EG⊥AB，EC⊥AC， 所以EC＝EG，CF＝EG. 因?yàn)椤螧＋∠CAB＝90°，∠ACF＋∠CAB＝90°， 所以∠ACF＝∠B.因?yàn)椤螩AF＝∠BAE， 所以△AFC∽△AEB，＝. 因?yàn)镃D⊥AB，EG⊥AB， 所以Rt△ADF∽R(shí)t△AGE. 所以＝，＝. 所以CF·EG＝FD·EB，EG2＝F

18、D·EB. 2．相似三角形的性質(zhì) [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P11] 1．相似三角形的性質(zhì)定理 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比． 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比． 相似三角形面積的比等于相似比的平方． 2．兩個(gè)相似三角形的外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比、面積比與相似比的關(guān)系 相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方． [說(shuō)明]　相似三角形中的“對(duì)應(yīng)線段”不僅僅指對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)中線、角平分線和高，應(yīng)包括一切“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”連接的線段；同時(shí)也可推演到對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓、外接圓的半徑． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P11] 利用相似三角形性

19、質(zhì)計(jì)算 [例1]　已知如圖，△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，若S△ABC＝36 cm2，S△AEF＝4 cm2，求sin A的值． [思路點(diǎn)撥]　由題目條件證明△AEC∽△AFB，得AE∶AF＝AC∶AB，由此推知△AEF∽△ACB，進(jìn)而求出線段EC與AC的比值． [解]　∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F， ∴∠AEC＝∠AFB＝90°. 又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB. ∴＝. 又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB. ∴()2＝＝. ∴＝＝. 設(shè)AE＝k， 則AC＝3k， ∴EC＝2k. ∴sin A＝＝. 利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的

20、計(jì)算往往與相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比及對(duì)應(yīng)角相等有關(guān)，解決此類問(wèn)題，要善于聯(lián)想，變換比例式，從而達(dá)到目的． 1．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)．AB＝8 cm，AC＝10 cm，若△ADE和△ABC相似，且S△ABC∶S△ADE＝4∶1，則AE＝________cm. 解析：因?yàn)椤鰽DE∽△ABC，且S△ABC∶S△ADE＝4∶1，所以其相似比為2∶1，即＝或＝，所以AE＝5或4(cm)． 答案：5或4 2.如圖，在?ABCD中，AE∶EB＝2∶3. (1)求△AEF與△CDF周長(zhǎng)的比； (2)若S△AEF＝8，求S△CDF. 解：(1)∵四邊形ABCD

21、是平行四邊形， ∴AB∥CD且AB＝CD.∵＝， ∴＝，即＝.∴＝. 又由AB∥CD知△AEF∽△CDF， ∴△AEF的周長(zhǎng)∶△CDF的周長(zhǎng)＝2∶5. (2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25， 又S△AEF＝8，∴S△CDF＝50. 利用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題 [例2]　如圖，一天早上，小張正向著教學(xué)樓AB走去，他發(fā)現(xiàn)教學(xué)樓后面有一水塔DC，可過(guò)了一會(huì)抬頭一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是納悶．經(jīng)過(guò)了解，教學(xué)樓、水塔的高分別是20米和30米，它們之間的距離為30米，小張身高為1.6米．小張要想看到水塔，他與教學(xué)樓之間的距離至少應(yīng)有多少米？ [思路點(diǎn)撥]　此題的

22、解法很多，其關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的知識(shí)解題． [解]　如圖，設(shè)小張與教學(xué)樓的距離至少應(yīng)有x米，才能看到水塔． 連接FD，由題意知，點(diǎn)A在FD上，過(guò)F作FG⊥CD于G，交AB于H，則四邊形FEBH，四邊形BCGH都是矩形． ∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG. ∴AH∶DG＝FH∶FG. 即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)， 解得x＝55.2(米)． 故小張與教學(xué)樓的距離至少應(yīng)有55.2米，才能看到水塔． 此類問(wèn)題是利用數(shù)學(xué)模型解實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于認(rèn)真分析題意，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)造相似三角形求解． 3.

23、如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成長(zhǎng)是寬的2倍的矩形零件，使矩形較短的邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，求這個(gè)矩形零件的邊長(zhǎng)． 解：設(shè)矩形EFGH為加工成的矩形零件，邊FG在BC上，則點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，△ABC的高AD與邊EH相交于點(diǎn)P，設(shè)矩形的邊EH的長(zhǎng)為x mm. 因?yàn)镋H∥BC，所以△AEH∽△ABC. 所以＝. 所以＝， 解得x＝(mm)， 2x＝ (mm)． 答：加工成的矩形零件的邊長(zhǎng)分別為 mm和 mm. 4．已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,5 cm，和它相似的另一個(gè)三角形

24、的最長(zhǎng)邊為12 cm，求另一個(gè)三角形內(nèi)切圓和外接圓的面積． 解：設(shè)邊長(zhǎng)為3 cm,4 cm,5 cm的三角形的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，因?yàn)樵撊切螢橹苯侨切危? 所以R＝，且(3＋4＋5)r＝×3×4，即r＝1. ∴S內(nèi)切圓＝π(cm2)，S外接圓＝π·()2＝(cm2)． 又兩三角形的相似比為， ∴S′內(nèi)切圓＝()2S內(nèi)切圓＝(cm2)， S′外接圓＝()2S外接圓＝36π(cm2)． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P12] 一、選擇題 1．如圖，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，則DB等于(　　) A．2 cm　　　　　　 B．6

25、cm C．4 cm D．8 cm 解析：由DE∥BC， 得△ADE∽△ABC， ∴＝. ∴＝＝. ∴DB＝4×2＝8(cm)． 答案：D 2．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比為3∶4，周長(zhǎng)之和是35，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是(　　) A．13和22 B．14和21 C．15和20 D．16和19 解析：由相似三角形周長(zhǎng)之比，中線之比均等于相似比可得． ∴周長(zhǎng)之比＝.又l1＋l2＝35， ∴l(xiāng)1＝15，l2＝20，即兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為15,20. 答案：C 3．如圖所示，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)F，

26、使△CBF∽△CDE，則BF的長(zhǎng)是(　　) A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8 解析：∵△CBF∽△CDE，∴＝. ∴BF＝＝＝1.8. 答案：D 4．如圖，是一個(gè)簡(jiǎn)單的幻燈機(jī)，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是30 cm，幻燈片到屏幕的距離是1.5 m，幻燈片上小樹的高度是10 cm，則屏幕上小樹的高度是(　　) A．50 cm B．500 cm C．60 cm D．600 cm 解析：圖中的兩個(gè)三角形相似．設(shè)屏幕上小樹的高度為x cm，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，得＝，解得x＝60 cm. 答案：C 二、填空題 5．在比例尺為

27、1∶500的地圖上，測(cè)得一塊三角形土地的周長(zhǎng)為12 cm，面積為6 cm2，則這塊土地的實(shí)際周長(zhǎng)是________m，實(shí)際面積是________m2. 解析：這塊土地的實(shí)際形狀與地圖上的形狀是兩個(gè)相似三角形，由比例尺可知，它們的相似比為，則實(shí)際周長(zhǎng)是12×500＝6 000(cm)＝60 m；實(shí)際面積是6×5002＝1 500 000(cm2)＝150 m2. 答案：60　150 6．如圖，在△ABC中，D為AC邊上的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長(zhǎng)線于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，則AE的長(zhǎng)為________． 解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE. ∴BF

28、∶AE＝BG∶GA＝3∶1. ∵D為AC中點(diǎn)，∴＝＝1. ∴AE＝CF. ∴BC∶AE＝2∶1.∵BC＝10，∴AE＝5. 答案：5 7．如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40 cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶5，則AE的長(zhǎng)為________． 解析：因?yàn)椤螧AD＝90°，AE⊥BD， 所以△ABE∽△DBA. 所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2. 因?yàn)镾△ABE∶S△DBA＝1∶5， 所以AB∶DB＝1∶. 設(shè)AB＝k cm，DB＝k cm， 則AD＝2k cm. 因?yàn)镾矩形ABCD＝40 cm2， 所以k·2k＝40，所以k

29、＝2(cm)． 所以BD＝k＝10 (cm)．AD＝4(cm)． 又因?yàn)镾△ABD＝BD·AE＝20， 所以·10·AE＝20. 所以AE＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答題 8．如圖，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為AB中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，BE、CD交于M.若AC＝3AE，求∠EMC的度數(shù)． 解：如圖，作EF⊥BC于F， 設(shè)AB＝AC＝3， 則AD＝，BC＝3， CE＝2，EF＝FC＝. ∴BF＝BC－FC＝2. ∴EF∶BF＝∶2＝1∶2＝AD∶AC. ∴△FEB∽△ADC.∴∠2＝∠1. ∵∠EMC＝∠2＋∠MCB， ∴∠EMC＝∠1

30、＋∠MCB＝∠ACB＝45°. 9.如圖，?ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE＝CD. (1)求證：△ABF∽△CEB； (2)若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD. ∴∠ABF＝∠E. ∴△ABF∽△CEB. (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. ∵DE＝CD， ∴＝()2＝， ＝()2＝. ∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8， ∴S四邊形BCDF＝S△BCE－S△DE

31、F＝16. ∴S?ABCD＝S四邊形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24. 10．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1 cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t秒表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤t≤6)，那么： (1)當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？ (2)對(duì)四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果無(wú)關(guān)的結(jié)論． (3)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？ 解：(1)由題意可知：AQ＝6－t(cm)，AP＝2t(cm)． 若△QAP為等腰直角三角形， 則AQ＝AP，即t＝2(s)． (2)S四邊形QAPC＝S矩形ABCD－S△DQC－S△PBC ＝12×6－×12×t－×6×(12－2t) ＝72－6t－36＋6t＝36(cm2)， 結(jié)論：無(wú)論P(yáng)、Q運(yùn)動(dòng)到何處， S四邊形QAPC都不變，為36 cm2. (3)①△QAP∽△ABC， ∴＝.∴＝. ∴t＝1.2 s. ②△QAP∽△CBA， ∴＝.∴＝.∴t＝3 s. 即t為1.2 s或3 s時(shí)， 以Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似． 18